平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

变条件)点C在线段AB上,且 = ,则=______,
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念




1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
2
1
则λ+μ的值是__________.
2
1
【解析】由= (+)得出点P为BC的中点,在平行四边形ABCD中,
2
1
1
1
1
=,=,=+= -= -,所以λ=-1,μ= ,则λ+μ=- .
2
2
2
2
μ,
【加练备选】
1
(2023·福州模拟)在△ABC中,点P为BC边上一点,且= +λ,则实数λ=(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件




)
【解析】选B.由 = 表示单位向量相等,则a,b同向,但不能确定它们的模是否相
等,即不能推出a=b,由a=b表示a,b同向且模相等,








则 = ,所以“ = ”是“a=b”的必要不充分条件.
2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的
平面向量为载体考查平行四边形法则、三角形法则,题目多以选择题、填空题形式
出现.
角度1
平面向量的加、减运算的几何意义
[例1]如图所示,已知在矩形ABCD中, =4 3,设=a,=b,=c.
8 3
则 + + =__________.
【解析】a+b+c=++=+,
7
所以=2+2- = +2,所以λ= ,μ=2.
4
4
4
)
(2)(2023·安庆模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,=x+y,且=4,
则(
)
1
2
A.x= ,y=
3
3
2
1
B.x= ,y=
3
3
3
1
C.x= ,y=
4
4
1
3
D.x= ,y=
4
4
3
【解析】选C.由=4可得= ,
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
4
3
2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∥b,则a与b方向相同或相反.(
×
)
提示:(1)若a=0,零向量的方向任意,错误;
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
×
)
提示: (2)取b=0,则a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,错误;
(3)若a=b,b=c,则a=c.(
1
1
1
2
1
2 1
所以=-=- =- (+)=- + =- + ×
3
3
3
3
3
3 2
1
1
1
1
1 1
=- + =- + =- a+ b.
3
3
3
3
3 3
1
3.(2023·北京模拟)在平行四边形ABCD中,点P满足= (+),若=λ+
2
=
1
1
-++ =- +,故A错误;
2
2
1
1
对B,=+=- += +,故B正确;
2
2
1
1 1
5
1
对C,=+=+ =+ (- +)= + ,故C正确;
3
3 2
6
3
1
1
对D,+=- ++ +=2,故D正确.
延长BC至E,使CE=BC,连接DE,
由于==,所以CE
AD,
所以四边形ACED是平行四边形,所以=,
所以+=+=,所以 + + = =2 =2 =8 3.
解题技法
利用向量加、减法的几何意义解决问题的常用方法
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解
3
1
A.
3
1
B.
2
2
C.
3
3
D.
4
【解析】选C.如图,过点P作PD∥AB,交AC于点D,作PE∥AC交AB于点E,
1
1
1
1
因为= +λ,所以= ,= ,所以= ,
3
3
3
3
2
1
2
2
所以= ,所以=+= + ,所以λ= .
3
3
3
3
)
考点三 向量共线定理及其应用
向量:
a和d,e和b
①是共线向量的有____________;
a和d,b和e
②方向相反的向量有____________;
a,c,d
③模相等的向量有__________.
【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;
③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.
第六章
第一节
平面向量、复数
平面向量的概念及其线性运算
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平
面向量的几何表示和基本要素.
2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的
的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可
考虑利用向量知识来求解.
角度2
平面向量的线性运算
[例2](1)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若=a,=b,则=(
A.3a-2b
1 1
B. a+ b
2 2
C.-a+2b
D.a-2b
【解析】选D.=-=2-=2 + -=2b+2-a,
解题技法
平面向量有关概念的关注点
(1)共线向量即为平行向量;
(2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性;
(3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关;


(4)与向量a同向的单位向量是 .
考点二 平面向量的线性运算
考情提示
平面向量的线性运算主要考查平面向量加、减运算、运算规则及其几何意义,常以
微点拨 只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一.
常用结论
1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,
1
则= (+).
2
2.若G 为△ABC 的重心,则有
(1)++=0;
1
(2)=
3
+ .
3.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
4
3
3
3
1
3
1
所以=+=+ =+ (-)= + ,所以x= ,y= .
4
4
4
4
4
4
解题技法
与向量的线性运算有关的参数问题解题策略
一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关
参数的值.
提醒:有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,
定义
求两个向量和
的运算
法则(或几何意义)
运算律
交换律:a+b=_____;
b+a
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求a与b的相反
减法
向量-b的和的
a-b=a+(-b)
运算
|λ||a|
|λa|=_____,
数乘
相同
求实数λ与向量 当λ>0时,λa与a的方向______;
1
CD= AB,E,F分别为DC,AE的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则(
2
7
A.λ=
2
B.μ=2
7
C.λ=
4
D.μ=1
1
【解析】选BC.因为CD∥AB,CD= AB,
2
1
所以=+=- ,因为F为AE的中点,
4
所以=2=2(+)=2+2,
1
7
为±


名称
Hale Waihona Puke 平行向量(共线向量)相等向量
相反向量
定义
相同
相反
方向______或______的非零向量
长度相等且方向相同的向量
长度相等且方向相反的向量
备注
0与任意向量平行(共线)
相等向量一定是平行向量,
平行向量不一定是相等向量
若非零向量a, b互为相反
向量,则a=-b
2.向量的线性运算
向量运算
加法
所以=a-2b.
)
(2)(多选题)(2023·河源模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,
则(
)
1
A.=-
3
1
B.=+
2
1
5
C.= +
3
6
D.+=2
1
= ,
3
1
【解析】选BCD.对A,由题意得=+=++=++
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
2
2
解题技法
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四
边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行
四边形或三角形中求解.
角度3
根据向量线性运算求参数
[例3](1)(多选题)(2023·梅州模拟)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,
把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练
1.如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,
则向量=(
)
A.b-2a
+
B.
2
−
C.
2
D.2(b-a)
【解析】选D.由题设及题图知:=2且=-=b-a,所以=2(b-a).
2.(2023·赣州模拟)如图,平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,点F在线段AE上,且
AF=2FE,记a=,b=,则=(
1 2
A. a- b
3 3
1 2
B.- a+ b
4 3
5 1
C.- a+ b
8 3
1 1
D.- a+ b
3 3
)
【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AF=2FE,=b,=a,
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = − 2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
√
)
提示: (3)a=b,b=c,则a=c,正确;
(4)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.(
×
)
提示: (4)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等或相反,错误.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,
则= (
)
A.3m-2n