2017兰州市高三诊断理科(带解析)

兰州市2017年高考诊断考试
数学（理科）
第I 卷
一、
选择题
1. 已知集合{}0)1)(3(≥+-=x x x M ，{}22≤≤-=x x N ，则=N M （ ） A.[]2,1- B.[]1,2- C.[]1,1- D.[]1,2
2. 已知复数z 满足()2543=-z i ，则=z （ ） A.34i -- B.34i -+ C.34i + D.34i -
3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24753=++a a a ，则9S =（ ） A.36 B.72 C.144 D.288
4. 已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为5.175.6ˆ+=x y
，则表中m 的值为（ ） A.45 B.50
C.55
D.60
5. 下列命题中，真命题为（ ） A.R x ∈∃0, 00≤x e
B.R x ∈∀, 22x x >
C.已知b a ,为实数，则0=+b a 的充要条件是
1-=b
a
D.已知b a ,为实数，则1>a ，1>b 是1>ab 的充分不必要条件
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.(9π+
B.(9π+
C.(10π
D.(10π+
7. 设变量y x ,满足不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则22y x +的最小值是（ ）
A.2
B.
92
8. 右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入i b a ,,的值分别为0,8,6，则输入的=i （ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
9.已知圆()
()113:22
=-+-y x C 和两点()0,t A -，()0,t B ()0>t ，若圆C 上存在点P ，使得 90=∠APB
，
则当t 取得最大值时，点P 的坐标是（ ） A.⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛22323， B.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23223， C.⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛23323， D.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23233，
10.函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛<>∈+=2,0,)sin()(π
ϕωϕωR x x x f 的部分图象
如图所示：如果3
221π
=+x x ，则()()=+21x f x f （ ）
A.
2
3 B.
2
2 C.0
D.2
1-
11.已知12,F F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支
上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，
则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ． 43 C ．53 D ．2
12.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，对x R ∀∈有2()()f x f x x +-=，在(0,)+∞上，
'()0f x x -<,若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．(,2]-∞
C ．(,2][2,)-∞⋃+∞
D ．[2,2]-
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答。

13. 22
cos 165sin 15-=___________.
14. 6(1)x x
-的展开式中，2
x 项的系数为_____________.（用数字作答）
15.已知在三棱锥P ABC -中，,4
P ABC V APC π
-=
∠=,,
3BPC PA AC π∠=⊥
PB BC ⊥,且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P A B C -外接球的体积为
______________.
16.已知数列{}n a 中，11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和，且当2n ≥时，有2
21n
n n n
a a S S =-成立，则2017S =_____________. 三、解答题
17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos 0a B b A +=.
（I ）
求角A 的大小；
（II ）
若a =2b =，求ABC ∆的面积S
18.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
经调查年龄在[25,30），[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查. （I ）
求年龄在[25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（II ） 若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学
期望.
19.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,13AA =,点D 为BC 的中点
（I ）
求证：1A B //平面11AC D
（II ） 若点E 为1A C 上的点，且满足1(m R)A E mEC =∈，若二面角E AD C --的余弦
，求实数m 的值. 20.已知椭圆C ：222
21(0)x y a b a b +=>>
经过点
，且离心率为.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设.M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON （O 为坐标原点）的斜率之积为1
2
-
.若动点P 满足2OP OM ON =+,是探究是否存在两个定点12.F F ,使得12||||PF PF +为定值？若
存在，求12.F F 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数1()ln x
f x x ax
-=
+在(1,)+∞上是增函数，且0a >. （I ）求a 的取值范围； （II ）若0b >，试证明
1ln a b a
+<<. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x =R .
(Ⅰ)求m 的取值范围；
(Ⅱ)若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：3224x x n --≤-.
2017年兰州市高三参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.D
6.A
7.B
8. B 解析：6,8,a b i a ===
1,6868862i b =<→→≠→→=-=否否 2,62624i a =>→→=-=是 3,42422i a =>→→=-=是 4,22,2,4i x a b a i =>→→===否
9.D 解析：设(a,b)P 为圆上一点，由题意知，0AP BP ⋅= 即2()()b 0a t a t +-+=
2220a t b -+=
2
2222t a t b OP =-+=
max 213OP =+=
OP k =
所以OP 所在直线倾斜角为30
所以P 的纵坐标为3
2，P 的横坐标为3=
所以3
)2
P 10.C 解析：由图知：π=T ,2=ω,∴()()ϕ+=x x f 2sin ，将⎪⎭
⎫
⎝⎛03
，
π代入函数，根据ϕ的范围，则3
π
ϕ=，
∴()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=32sin πx x f 3221π=+x x ，∴21x x ，的中点为3π，则()()021=+x f x f ，故选C 11.C 解析 ：设1PF 与圆相切与点M ，则因为212PF F
F =，所以12PF F ∆为等腰三角形，所以1114F M PF =
，又因为在直角1
FMO ∆中，22222
11F M F O a c a =-=- 所以1114
F M b PF ==① 又12222PF PF a c a =+=+②，222
c a b =+③
故由①②③得，5
3
c e a ==，故本题选C.
12.A 解析：令21()()2g x f x x =-，22
11()()()()022
g x g x f x x f x x -+=--+-=，
∴函数()g x 为奇函数。

(0,)x ∈+∞时，'()'()0g x f x x =-<，
故函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是减函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是减函数，
(4)()f m f m ∴--2211
(4)(4)()22g m m g m m =-+---
(4)()8484g m g m m m =--+-≥-
(4)()g m g m ∴-≥ 4m m ∴-≤ 解得：2m ≥ 故本题选A.
13.解析：22223
cos 165sin 15cos 15sin 15cos30-=-==
14.解析：在6(1)x x
-的展开式中，它的通项公式为：516(1)r
r r r T C x -+=⋅⋅-
令52r -=，求得3r =，可得2x 项的系数为3
620C -=-
15.解析： 取PC 的中点O ，连接AO ,
BO ，设球半径为R ，则2,,
PC R PB R ==BC =，又AO
R =，且由已知条件AO ⊥
平面PBC ，
所以由体积可得1132P ABC V R R -=
⨯⨯⨯=
解得2R =，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为343233
V R π
π==. 16.解析：当2n ≥时，由
2
21n n n n
a a S S =-，得2
112()n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-， 所以
1
22
1n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，所以
2
1n
n S =+，故 21n S n =
+，则201711009S = 17.解析：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=
∴sin sin sin cos 0A B B A += 即 sin (sin cos )0B A A += 由于B 为三角形内角，
所以sin cos 0A A +=
)04
A π
+
=而A 为三角形内角
∴3=
4
A π
……………………6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2
2
2
2cos a c b cb A =+-
即2
2044(2
c c =+--
，解得c =-
（舍）或c =
∴11sin 22222
S bc A =
=⨯⨯= ……………………12分 18.解： (Ⅰ) 设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ，
所以23253()10
C P A C == …………… 4分
(Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3
所以223222531(0)10C C P X C C ===， 11221123232122
532
(1)5C C C C C C P X C C +=== 221111223221225313(2)30C C C C C C P X C C +===，21122122531
(3)15
C C C P X C C ===
X
所以1213122
()0123105301515
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= …………… 12分 19.解：（Ⅰ）证明，连接
1A C
交
1
AC 于F ，则F 为
1
AC 的中点
连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D
所以1//A B 平面1AC D ； …………………… 6分 （Ⅱ）方法一：过E 作EM ⊥AC 于M ，则EM ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AD ，垂足为N ，连EN ，则EN ⊥AD ，所以ENM ∠为二面角E AD C --的一个平面角.
设EM h =，则
32
h CM
=，所以23h CM =，所以223h AM =-
因为MN AM CD AC =， 所以13AM h
MN AC ==- 故2
2
2
2
2
(1)3
h EN EM MN h =+=+-
因cos ENM ∠=，故2
22(1)1310(1)3
h h h -=+-，解得32h =
此时， 点E 为1AC 的中点，所以
1m = …………………… 12分 方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，设EM h =，则(2,0,0)A
，1(2D ，2(,0,)3h E h ，所以2(2,0,)3h EA h =-
-
，3(,22
AD =-
依题意1(0,0,3)CC =为平面ADC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =为平面ADE 一个法向量，
则由00
n EA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22(1,3,)3n h =
-
62-解得32h =，所以1
m = 20.解：(Ⅰ)∵e = ∴2212b
a
=
又∵椭圆C 经过点 ∴2221
1a b
+=
解得：24a =， 2
2b =
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=． ……………………5分 A
B
C A 1
B 1
D
E
M N C
z
(Ⅱ)设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+得
即12122,2x x x y y y =+=+，
因为点M ，N 在椭圆22
142
x y +=上， 所以221124x y +=，22
2224x y +=，
故222222112211222(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++
1212204(2)x x y y =++
设OM k ，ON k 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，
12121 2OM ON y y k k x x ⋅=
=-，因此121220x x y y += 所以22220x y +=，故点P 是椭圆22
12010
x y +=上的点， 所以由椭圆的定义知存在点1F 、2F ，满足
12||||PF PF +=
又因为12||F F == 所以1F 、2F
坐标分别为(
、．……………………12分
21.解：（Ⅰ）22
111()ax f x ax x ax -'=-+=， 由于()0f x '≥，且 0a > ，所以10ax -≥，即1x a ≥
由于(1,)x ∈+∞ 所以11a
≤，即1a ≥ ……………………4分 （Ⅱ）因为0b >，由（Ⅰ）知1a ≥，所以1a b b +>，1()ln x f x x ax
-=+在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)a b f f b +>，即1ln 0a b a b b a b b a b +-
++>+⋅， 化简得1ln a b a b b
+<+， ……………………8分
ln a b a b b +<等价为ln ln(1)0a b a a a b b b b
+-=+-<， 令()ln(1)([0,))g x x x x =+-∈+∞，则1()1011x g x x x -'=
-=<++， 所以函数()g x 在[0,)+∞上为减函数. 所以()ln(1)ln (0)0a
a a
b a g g b b b b
+=+=-<=， 综上1ln a b a a b b b
+<<+得证. ……………………12分 22.解析：（1）解 ：（I ）圆C 的直角坐标方程为222()24
a a x y +-=； 直线l 的普通方程为4380x y +-=.
（II ）圆C ：2221()24
a
x y a +-=，直线l ：4380x y +-=， ∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C
∴圆心C 到直线的距离3|
8|1||2522a a d -==⨯， 23.【解析】（I ）因为函数的定义域为R ，所以|1||3|0x x m ++--≥恒成立，
设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，
又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4
所以4m ≤. ……………………5分 （II ）当m 取最大值4时，原不等式等价于|3|24x x --≤
所以有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩
， 解得3x ≥或133
x -≤<. 所以，原不等式的解集为1
{|}3x x ≥-. ……………………10分
1522m -
<<． …………10分。