北京市2017届高三数学(理)综合练习55 含答案

北京市2017届高三综合练习
数学（理)
选择题 （共40分）
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1。

复数11i
+在复平面上对应的点的坐标是
A ．(1,1)
B 。

(1,1)-
C 。

(1,1)--
D 。

(1,1)-
2。

已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为
A {1}
B 。

{0,1}
C 。

{1,2}
D 。

{0,1,2} 3．函数21
()log
f x x x
=-
的零点所在区间 A ．1
(0,)2
B. 1
(,1)2
C 。

(1,2)
D 。

(2,3)
4。

若直线l 的参数方程为13()24x t
t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为
A ．45
- B ．
35
-
C ． 35
D ．
4
5
5。

某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:
甲
乙
9 8 8 1 7 7 9 9
6 1 0 2 2 5 6
7 9 9
B
A
5 3 2 0 3 0 2 3
7 1 0 4
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正．．确．
的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数
C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是
7．若椭圆1
C :
12
1
22
1
2=+
b y a x （011>>b a ）和椭圆2C :
12
2
22
2
2
=+
b y a x （022>>b a ）
的焦点相同且1
2a
a >。

给出如下四个结论：
①
椭圆1
C 和椭圆2
C 一定没有公共点； ②11
22
a b a b
>；
③
2
2
2
12
22
1b b a a -=-; ④1
2
12a a
b b -<-。

其中，所有正确结论的序号是
主视图
左视图
B
A
C D
A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D 。

①②③
8. 在一个正方体111
1
ABCD A BC D -中，P
为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方
形
ABCD
的中心,,M N 分别为,AB BC 中点,点Q 为平面ABCD 内一点，
线段1
D Q 与OP 互相平分，则满足
MQ MN
λ=的实
数λ的值有
A. 0个
B. 1个 C 。

2个 D. 3个
非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为
_______。

10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =的值为
.
11．若4
234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，
其中2
6a =-，则实数m 的值为
12345a a a a a ++++的值为 。

12．如图，已知
O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，
2BD =,且D 为OC 的中点，则CD 的长为 。

A 1
D 1
A 1
C 1
B D
C B
O
P
N
M Q
13．已知数列{}n a 满足1
,a
t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，
记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = 。

14。

已知函数sin ()x f x x
=
（1）判断下列三个命题的真假:
①()f x 是偶函数；②()1f x < ;③当32
x π= 时，()f x 取得极小值。

其中真命题有____________________；(写出所有真命题的序号） (2）满足()()6
6
6
n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.
三、解答题： 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程.
15。

（本小题共13分） 已知函数
2
()cos
cos f x x x x ωωω= (0)ω>的最小正周期为π.
（Ⅰ）求2()3
f π的值;
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.
16。

（本小题共13分）
某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。

（Ⅰ） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ） 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.
17。

(本小题共14分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和
PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点,E 为PA 的中点．
（Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；
(Ⅲ）求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．
18. （本小题共14分)
已知函数2
21
()()ln 2
f x ax
x x ax x =--+.()a ∈R .
（I)当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）; （II)求函数()f x 的单调区间.
19．（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O 。

（Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；
（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ,试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论。

20。

(本小题共13分）
A
D
O
C
P B
E
对于数列1
2
n
A a a a ：，，，,若满足{}0,1(1,2,3,,)i
a i n ∈=⋅⋅⋅,则称数列A 为“0—1
数列”。

定义变换T ，T 将“0—1数列"A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0。

例如A :1，0,1,则():0,1,1,0,0,1.T A 设0
A 是“0-1
数列”,令1(),k
k A
T A -=
12k =，，3,
.
（Ⅰ） 若数列2A :1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；
（Ⅱ) 若数列0A 共有10项,则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若0A 为0，1，记数列k
A 中连续两项都是0的数对个数为
k l ,1,2,3,k =⋅⋅⋅。

求k l 关于k 的表达式。

答案及评分参考
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分）
非选择题 （共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分。

共30分.有两空的题目，第一空3分,第二空2分)
9. 6 10. 11 11.
32
,
116
12。

13.
22
2, (4
(1), (4
t t
t t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14。

①② ,
9
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
15。

（共13分) 解
：
（
Ⅰ）
1()(1cos 2)22f x x x
=++ωω
(2)
分
1sin(2)26
x =
++π
ω, ………………
…………3分 因为
()
f x 最小正周期为
π
,所以
22π
πω
=，解得
1ω=，
…………………………4分
所
以
1
()sin(2)62
πf x x =++，
……………
…………… 5分 所
以
21(
)32
πf =-. ………
…………………6分
(Ⅱ)分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262
k x k k Z πππ
ππ+≤+≤+∈
可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈
………………8分
所以，函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππ
ππ-+∈； ()
f x 的单调减区间为
2[,],().6
3k k k Z π
π
ππ+
+
∈
………………………10分
由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26
k π
x πk Z =+∈。

所以,()
f x 图象的对称轴方程为
()
26
k π
x πk Z =+∈。

…………………………13分
16。

（共13分)
解:（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为
A ，
…………………………1分
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
13
， ……………………………3分
则
4
265
()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭。

……
………………………6分 （
Ⅱ
）
X
的
可能取值为0，1,2,3，
4， …………………………7分
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13
，且每个人下电梯互
不影响， 所以
,
1
(4,)
3
X
B 。

……………………………9分
………………………………11分
14
()433
E X =⨯=。

………………………………13分
17.（共14分）
（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点,连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =,//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD
PB ==，
∴
PO BD
⊥，
……………………
…………。

.2分 ∵BD ==
∴PO =
=1
2
AO BD =
= 在三角形PAO 中，
2
224PO AO PA +==,∴PO AO ⊥， (4)
分 ∵
AO
BD O
=,∴
PO ⊥
平面
A
D
O
C
P
B
E F
ABCD ;
……………………………5分
（Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点,E 为PA 中点, ∴//OE PF ，
∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC , ∴
//
OE 平面
PDC 。

……………………
………9分
方法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线,以它们做,x y 轴,以OP 为z
轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
由已知得:
(1,1,0)A --,(1,1,0)B -，(1,1,0)D -
(1,1,0)F ，(1,3,0)C
,P ，
11(,,222
E --，
则11(,222
OE =--
，(1,1,PF =
，(1,1,PD =-
,(1,3,PC =. ∴12
OE PF =-
∴//OE PF
∵OE ⊄平面PDC ,PF ⊂平面PDC ， ∴
//
OE 平面
PDC ；
…………………………
………9分
（Ⅲ） 设平面PDC 的法向量为1
1
1
(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，
则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即111111300
x y x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，
解得111
0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，
又(2,2,0)CB =--
则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线
CB
与平面
PDC
所成角的正弦值为
3
………………………………………14分
18. （共14分）
解：（I)当0a =时,()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所
以
()0
f e =，
'()1
f e =-， ………………………4分
所以曲线
()
y f x =在
(e,(e))
f 处的切线方程为
y x e
=-+.………………………5分
（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞
21
'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x
=-+--+=-, (6)
分 ①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x < 所以
()
f x 在
(0,1)
上单调递增,在
(1,)
+∞上递
减; ……………………………………………8分
②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1
(1,)2a
上'()0f x < 所以
()
f x 在
(0,1)
和
1
(
,)2a
+∞上单调递增,在
1(1,
)2a
上递
减；………………………10分
③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，
所
以
()
f x 在
(0,)
+∞上单调递
增； ……………………………………………12分
④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1
(,1)2a
上'()0f x <
所以
()
f x 在
1
(0,
)2a
和
(1,)
+∞上单调递增,在
1(
,1)2a
上递
减……………………………14分
19．（共13分） 解
：(I ）由题意可得
OP OM
⊥， (2)
分 所
以
OP OM ⋅=，
即
(,)(,4)0x y x -=
………………………………4分
即
240
x y -=，即动点
P
的轨迹
W
的方程为
24x y = ……………5分
(II)设直线l 的方程为4y kx =-，1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，则1
1
'(,)A x y -. 由
2
4
4y kx x y
=-⎧⎨=⎩消
y
整理得
24160x kx -+=, ………………………………6分
则
216640
k ∆=->，即
||2k >。

(7)
分
12124,16x x k x x +==。

……………
……………………9分
直线21
2
221
':()y y A B y y
x x x x --=
-+
21
22
21
222
2122122
2212
122
2112
()1()4()41444 y 44
y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=
-++-∴=-++--∴=
-+-∴=+
……………………………
………12分
即2
1
44
x x y x -=+ 所
以,直线
'A B
恒过定点
(0,4).
……………………………………13分 20. (共13分) 解
:（
Ⅰ
）
由
变
换
T
的
定
义
可
得
1:0,1,1,0,0,1A
…………………………………2分
0:1,0,1A
…………………
………………4分 (Ⅱ) 数列
A 中连续两项相等的数对至少有
10
对 …………………………………5分
证明:对于任意一个“0—1数列”0
A ,0
A 中每一个1在2
A 中对应连续四
项1，0，0，1，在0
A 中每一个0在2
A 中对应的连续四项为0，1，1，
0,
因此,共有10项的“0—1数列”0
A 中的每一个项在2
A 中都会对应一个
连续相等的数对， 所以
2
A 中至少有10对连续相等的数
对. …………………………………………………………8分 （Ⅲ） 设k
A 中有k
b 个01数对，
1k A +中的00数对只能由k
A 中的01数对得到，所以1
k k l
b +=，
1k A +中的
01数对有两个产生途径:①由k
A 中的1得到； ②由k
A 中00得
到，
由变换T 的定义及0:0,1A 可得k
A 中0和1的个数总相等，且共有1
2k +个，
所以1
2k k k b l +=+， 所以2
2k k k l
l +=+，
由0
:0,1A 可得1
:1,0,0,1A ，2
:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以1
21,1l
l ==，
当3k ≥时， 若k 为偶数，222k k
k l
l --=+
4
2
4
2
k k k l l ---=+
2
4
2
2l l =+
上述各式相加可得1
2
2421(14)11222(21)143
k k k
k
l
---=+++
+=
=--，
经检验,2k =时，也满足1
(21)3
k k
l =- 若k 为奇数，222k k
k l
l --=+
4
2
4
2k k k l l ---=+
3
1
2l l =+
上述各式相加可得1
2
322(14)112221(21)143
k k k
k
l
---=+++
+=+
=+-，
经检验，1k =时,也满足1
(21)3
k k
l
=+
所
以
1(21),31(21),3
k
k k k l k ⎧+⎪⎪=⎨
⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………
(13)
说明：其它正确解法按相应步骤给分。