湖北省宜昌一中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

宜昌市第一中学2015年秋季学期高一年级期中考试
数 学 试 题
命题：孙红波 审题：余信欢 考试时间：120分钟 满分：150分
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}1,3,5A =，{}2,,B a b =，若{}1,3A
B =，则a b +的值为
A.4
B.7
C.9
D.10 2.函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D.(,)-∞+∞
3.下列各组函数中表示同一函数的是 A.x x f =)(与2)()(x x g = B.||)(x x f =与3
3)(x x g =
C.x
e x
f ln )(=与x
e
x g ln )(= D.1
1
)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=x x x g
4.下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是
A.2
(1)
y x =- B.y =
C.2x y -=
D.0.5log (1)y x =+
5.如图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是
A.①13
y x = ②2
y x = ③12
y x = ④1
y x -= B.①13y x = ②12
y x = ③2
y x = ④
1y x -=
C.①2
y x = ②3
y x = ③12
y x = ④1y x -= D.①3y x = ②2
y x = ③12
y x = ④
1y x -=
6.若非空数集{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|322B x x =≤≤，则能使B A ⊆成立的所有
a 的
集合是
A.{}|19a a ≤≤
B.{}|69a a ≤≤
C.{}|9a a ≤
D.∅
7.定义域为R 的函数()y f x =的值域为[],a b ，则函数()y f x a =+的值域为 A.[],a b B.[]2,a a b + C.[]0,b a - D.[],a a b -+ 8.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。

音量大小的单位是分贝
)(dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0
10lg
I
I η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的
声音强度为2I ，则1I 是2I 的
A.6
7
倍 B.10倍 C.6
710倍 D.6
7ln
倍
9.定义两种运算: a b ⊕=，a b ⊗=，则函数2()(2)2
x
f x x ⊕=
⊗-的解
析式为
A.(][)(),22,f x x =
∈-∞-+∞ B.[)(]()2,00,2f x x =
∈-
C.(][)(),22,f x x =∈-∞-+∞
D.[)(]()2,00,2f x x =∈-
10.已知定义在
R 上的函数
()2
1x m
f x -=-为偶函数，
()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为
A.a b c <<
B.a c b <<
C.c a b <<
D.c b a <<
11.如图，面积为8的平行四边形OABC ，对角线AC CO ⊥，AC 与BO 交 于点E ，某指数函数()0,1x y a a a =>≠且，经过点,E B ，则a =
C.2
D.3
12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M
N =Q ，M N =∅，
M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割。

试判断，
对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中不可能成立的是
A.M 没有最大元素，N 有一个最小元素
B.M 没有最大元素，N 也没有最小元素
C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
D.M 有一个最大元素，N 没有最小元素
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号的位
置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13.设,,x y z 都是非零实数，给出集合|,,y xy x M m m x y R x y xy ⎧⎫⎪⎪
==
++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则用列举法表示这个集合是__________________________. 14.函数54)(2++-=
x x x f 的单调递减区间为 .
15.已知函数2()m f x x -=是定义在2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m = . 16.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，t min 后物体的温度C θ可由公式()0.24010t
e
θθθθ-=+-求得．把温度是100C 的物体，放在
10C 的空气中冷却t min 后，物体的温度是40C ，那么t 的值约等于 。

（保
留三位有效数字，参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）
三、解答题：本大题共6小题，共计70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）
（1）计算：2213
log lg14
81
2
lg
1)27100
-
⎛⎫-++- ⎪⎝⎭
（2）已知1
12
2
3x x -
+=，求
2212
3
x x x x --+-+-的值.
18．（本题满分10分）设集合{}A x x =是小于6的正整数，{}
(1)(2)0B x x x =--=，
{}(1)10C x m x =--=；
（1）求A B ，A B ；
（2）若B C C =，求由实数m 为元素所构成的集合M .
19．（本题满分12分）设函数()10log )(≠>=a a x x f a 且，函数2()g x x bx c =-++，且
(4)(2)1f f -=，()g x 的图像过点(4,5)A -及(25)B --，．
（1）求)(x f 和()g x 的表达式；
（2）求函数()[]x g f 的定义域和值域．
20．（本题满分12分）已知幂函数22
42
()(1)m m f x m x
-+=-在(0,)+∞上单调递增，函数
()2x g x k =-． （1）求m 的值；
（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别为集合A 、B ，若A B A = ，求实
数k 的取值范围.
21．（本题满分12分）已知集合{
}
2
|()(1)0A x x x a x a ⎡⎤=--+>⎣⎦，2
1
2B x y x x ⎧==-+⎨⎩
5,032x ⎫
≤≤⎬⎭
. （1）若A B =∅，求a 的取值范围；
（2）当a 取使得不等式21x ax +≥恒成立的a 的最小值时，求()
R C A B .
22．（本题满分14分）已知定义在区间()0,+∞上的函数()4
()5f x t x x
=+-，其中常数
0t >.
（1）若函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调，试求t 的取值范围； （2）当1t =时，方程()f x m =有四个不相等的实根1234,,,x x x x . ①证明：123416x x x x =；
②是否存在实数,a b ，使得函数()f x 在区间[],a b 单调，且()f x 的取值范围为
[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
宜昌一中2015---2016学年度高一年级上学期期中考试
数学试题参考答案
二、填空题 13.{}3,1,3--
14.[]2,5 15.1-
16.4.58
三、解答题 17.（1）原式21219
()21134344
-=--+=--=- 5分 （2）1
11
2
22
2()2327x x
x x -
-+=+-=-=
则原式1221()474
15374
x x x x --+--===+-- 10分
18.（1）{}
{}1,2,3,4,5A x x ==是小于6的正整数，{}1,2B =
{}1,2A B =，{}
1,2,3,4,5A B =
5分
（2）
B C C =，C B ∴⊆
当C =∅时，此时1m =，符合题意 7分
当C ≠∅时，1m ≠，此时11C x x m ⎧
⎫==⎨⎬-⎩⎭
C B ⊆，1121m ∴=-或；解得：3
22
m =或
综上所述：实数m 为元素所构成的集合31,2,2M ⎧
⎫=⎨⎬⎩⎭
10分
19.（1）由(4)(2)1f f -=得log 4log 21a a -= 即4
log log 212
a
a == ∴2a = 2分 又由题意得22
445(2)25b c b c ⎧-++=-⎨---+=-⎩
解得2
3b c =⎧⎨=⎩ 4分 ∴()()32log 22++-==x x x g x
x f 6分
（2）()2
2log (23)f g x x x =-++⎡⎤⎣⎦
由2230x x -++>得13x -<< 8分 ∴()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为(1,3)- 9分
又()22
22log (23)log (1)4f g x x x x ⎡⎤=-++=--+⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∵(1,3)x ∈- ∴()2log 42f g x ≤=⎡⎤⎣⎦ 11分 ∴()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为(],2-∞ 12分
20.（1）∵()f x 为幂函数 ∴2(1)10m m -=⇒=或2 2分 当0m =时，2
()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足题意 3分
当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足题意，舍去 4分 ∴0m = 5分 （2）由（1）知，2()f x x =
∵()f x 、()g x 在[]1,2上单调递增 ∴[]1,4A = []2,4B k k =-- 8分 ∵A B A = ∴B A ⊆ 10分 ∴21
0144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨
-≤⎩
故实数k 的取值范围为[]0,1A = 12分
21. 2
{|1A x x a =>+或}x a < 2
分
又22151
(1)2222
y x x x =-+=-+ ∵03x ≤≤ ∴24
y ≤≤ ∴
{}|24B y y =≤≤
4分
（1）∵A B =∅ ∴214
2
a a ⎧+≥⎨≤⎩ 2a ≤≤或a ≤ 6
分
（2）由21x ax +≥得210x ax -+≥
依题意240a ∆=-≤ 则22a -≤≤ ∴a 的最小值为2- 8分
当2a =-时，{|5A x x =>或2}x <- 10分 ∴{}|25R C A x x =-≤≤
11分 ∴{}()|24R C A B x x =≤≤
12分
22.（1）设4()()h x t x x
=+
∵0t > ∴函数()h x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调 且()4h x t ≥ 要使函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调 则只需5
4504
t t -≥⇒≥ 4分
（2）①当1t =时，44()5()5x m x m x x
+-=⇒+-=或4()5x m x
+-=-
即2(5)40x m x -++=或2
(5)40x m x +-+=
∵1234,,,x x x x 为方程()f x m =的四个不相等的实根
∴由根与系数的关系得12344416x x x x =⨯= 8
分
②如图，可知01m <<，()f x 在(0,1)、(1,2)、(2,4)、(4,)+∞ 均为单调函数
（i ）当[](],0,1a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递减
则()()f a mb
f b ma =⎧⎨
=⎩
两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=
∵(],0,1a b ∈ ∴上式不成立 即,a b 无解，m 无取值 10分 （ii ）当[](],1,2a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递增
则()()f a ma f b mb
=⎧⎨=⎩ 即2451m a a =-+-在(]1,2a ∈有两个不等实根
而令11,12t a ⎡⎫
=∈⎪⎢⎣⎭
则2245591()4()816t t a a ϕ-+-==--+
作()t ϕ在1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
的图像可知，19216m ≤< 12
分
（iii ）当[](],2,4a b ⊆时，()f x 在[],a b 上单调递减
则()()f a mb
f b ma
=⎧⎨
=⎩ 两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=
∴5a b += ∴5b a a =-> ∴5
22a <<
由45a mb a --+=得24544115255(5)()24
a a m a a a a --
==+=+
---- 则m 关于a 的函数是单调的，而455a a m a
--
=
-应有两个不同的解 ∴此种情况无解 13分 （iiii ）当[][),4,a b ⊆+∞时，同（i ）可以解得m 无取值 综上，m 的取值范围为19,216⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
14分。