八年级初二数学 提高题专题复习平行四边形练习题及解析

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八年级初二数学 提高题专题复习平行四边形练习题及解析
一、解答题
1.如图,矩形OBCD 中,OB =5,OD =3,以O 为原点建立平面直角坐标系,点B ,点D
分别在x 轴,y 轴上,点C 在第一象限内,若平面内有一动点P ,且满足S △POB =13S 矩形OBCD ,问:
(1)当点P 在矩形的对角线OC 上,求点P 的坐标;
(2)当点P 到O ,B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时,求点P 的坐标.
2.如图,点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点,连接EB 并延长,使BF =BE ,连接EC 并延
长,使CG =CE ,连接FG .H 为FG 的中点,连接DH ,AF .
(1)若∠BAE =70°,∠DCE =20°,求∠DEC 的度数;
(2)求证:四边形AFHD 为平行四边形;
(3)连接EH ,交BC 于点O ,若OC =OH ,求证:EF ⊥EG .
3.如图,在Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,30C ∠=︒,12AC cm =,点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动,同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点
A 运动,运动时间为t 秒(06t <<),过点D 作DF BC ⊥于点F .
(1)试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长;
(2)如图①,连接EF ,求证四边形AEFD 是平行四边形;
(3)如图②,连接DE ,当t 为何值时,四边形EBFD 是矩形?并说明理由.
4.如图1,在正方形ABCD 中,点M 、N 分别在边BC 、CD 上,AM 、AN 分别交BD 于点
P 、Q ,连接CQ 、MQ .且CQ MQ =.
(1)求证:QAB QMC ∠=∠
(2)求证:90AQM ∠=︒
(3)如图2,连接MN ,当2BM =,3CN =,求AMN 的面积
图1 图2
5.矩形ABCD 中,AB =3,BC =4.点E ,F 在对角线AC 上,点M ,N 分别在边AD ,BC 上. (1)如图1,若AE =CF =1,M ,N 分别是AD ,BC 的中点.求证:四边形EMFN 为矩形.
(2)如图2,若AE =CF =0.5,02AM CN x x ==<<()
,且四边形EMFN 为矩形,求x 的值.
6.如图,等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -,过A 作y
轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动,当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动,设运动时间为t .当C 、D 停止运动时,将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ,1
AB 与CD 相交于点E ,P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式,并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时,求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1,若P 从B 点出发向右运动,运动时间为x ,请用含x 的代数式表
示△PAE 的面积.
7.如图,四边形ABCD为矩形,C点在x轴上,A点在y轴上,D(0,0),B(3,4),矩形ABCD沿直线EF折叠,点B落在AD边上的G处,E、F分别在BC、AB边上且F(1,4).
(1)求G点坐标
(2)求直线EF解析式
(3)点N在坐标轴上,直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由
8.已知:如图,在ABC中,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,CF BA交PQ于点F,连接AF.
过点C作//
(1)求证:四边形AECF是菱形;
AC ,AE=5,则求菱形AECF的面积.
(2)若8
9.已知:正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ,AE=AF (AE <AD ),连接DE 、BF ,P 是DE 的中点,连接AP .将△AEF 绕点A 逆时针旋转.
(1)如图①,当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时,则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ,数量关系为 .
(2)当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时,证明:第(1)问中的结论仍然成
立.
(3)若AB=3,AE=1,则线段AP 的取值范围为 .
10.如图,ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==,
点P 从点A 出发,沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动,连接PO ,并延长交BC
于点Q .设点P 的运动时间为t 秒.
(1)求BQ 的长(用含t 的代数式表示);
(2)当四边形ABQP 是平行四边形时,求t 的值;
(3)当325
t =时,点O 是否在线段AP 的垂直平分线上?请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、解答题
1.(1)P (
103,2);(2)(52,2)或(﹣52,2) 【分析】
(1)根据已知条件得到C (5,3),设直线OC 的解析式为y =kx ,求得直线OC 的解析式
为y =35x ,设P (m ,35m ),根据S △POB =13
S 矩形OBCD ,列方程即可得到结论;
(2)设点P的纵坐标为h,得到点P在直线y=2或y=﹣2的直线上,作B关于直线y=2的对称点E,则点E的坐标为(5,4),连接OE交直线y=2于P,则此时PO+PB的值最小,设直线OE的解析式为y=nx,于是得到结论.
【详解】
(1)如图:
∵矩形OBCD中,OB=5,OD=3,
∴C(5,3),
设直线OC的解析式为y=kx,
∴3=5k,
∴k=3
5

∴直线OC的解析式为y=3
5 x,
∵点P在矩形的对角线OC上,
∴设P(m,3
5 m),
∵S△POB=1
3
S矩形OBCD,
∴1
2
⨯5×
3
5
m=
1
3
⨯3×5,
∴m=10
3

∴P(10
3
,2);
(2)∵S△POB=1
3
S矩形OBCD,
∴设点P的纵坐标为h,
∴1
2
h×5=
1
3
3
⨯⨯5,
∴h=2,
∴点P在直线y=2或y=﹣2上,作B关于直线y=2的对称点E,则点E的坐标为(5,4),
连接OE交直线y=2于P,则此时PO+PB的值最小,
设直线OE的解析式为y=nx,
∴4=5n,
∴n=4
5

∴直线OE的解析式为y=4
5 x,
当y=2时,x=5
2

∴P(5
2
,2),
同理,点P在直线y=﹣2上,
P(5
2
,﹣2),
∴点P的坐标为(5
2
,2)或(﹣
5
2
,2).
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题,矩形的性质,待定系数法求函数的解析式,正确的找到点P在位置是解题的关键.
2.(1)50°;(2)见解析;(3)见解析
【分析】
(1)由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可;
(2)由平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC;证明BC是△EFG的中位线,得出
BC∥FG,BC=1
2
FG,证出AD∥FH,AD∥FH,由平行四边形的判定方法即可得出结论;
(3)连接EH,CH,根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论.
【详解】
明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAE=∠BCD=70°,AD∥BC,
∵∠DCE=20°,
∵AB∥CD,
∴∠CDE=180°﹣∠BAE=110°,
∴∠DEC =180°﹣∠DCE ﹣∠CDE =50°;
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD =BC ,AD ∥BC ,∠BAE =∠BCD ,
∵BF =BE ,CG =CE ,
∴BC 是△EFG 的中位线,
∴BC ∥FG ,BC =12FG , ∵H 为FG 的中点,
∴FH =12
FG , ∴BC ∥FH ,BC =FH ,
∴AD ∥FH ,AD ∥FH ,
∴四边形AFHD 是平行四边形;
(3)连接EH ,CH ,
∵CE =CG ,FH =HG ,
∴CH =12
EF ,CH ∥EF , ∵EB =BF =
12EF , ∴BE =CH ,
∴四边形EBHC 是平行四边形,
∴OB =OC ,OE =OH ,
∵OC =OH ,
∴OE =OB =OC =12
BC , ∴△BCE 是直角三角形,
∴∠FEG =90°,
∴EF ⊥EG .
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形
内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
3.(1)AE t =;122AD t =-;DF t =;(2)证明见解析;(3)3t =;理由见解
析.
【分析】
(1)根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ,结合图形表示出AD ,根据直角三角形的性质表
示出DF ;
(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;
(3)根据矩形的定义列出方程,解方程即可.
【详解】
解:(1)由题意得,AE t =,2CD t =,
则122AD AC CD t =-=-,
∵DF BC ⊥,30C ∠=︒,∴12
DF CD t =
= (2)∵90ABC ∠=︒,DF BC ⊥,∴AB DF , ∵AE t =,DF t =,∴AE DF =,
∴四边形AEFD 是平行四边形;
(3)当3t =时,四边形EBFD 是矩形,
理由如下:∵90ABC ∠=︒,30C ∠=︒, ∴162
BC AC cm =
=, ∵BE DF ∥, ∴BE DF =时,四边形EBFD 是平行四边形,
即6t t -=,解得,3t =,
∵90ABC ∠=︒,∴四边形EBFD 是矩形,
∴3t =时,四边形EBFD 是矩形.
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定,掌握平行四边形、矩
形的判定定理是解题的关键.
4.(1)见解析
(2)见解析
(3)15
【分析】
(1)根据四边形ABCD 是正方形,得到∠QBA =∠QBC ,进而可得△QBA ≌ △QBC ,
∠QAB =∠QCB ,再根据CQ =MQ ,得到∠QCB =∠QMC ,即可求证;
(2)根据∠QAB =∠QMC ,∠QMC +∠QMB =180°,得到∠QAB +∠QMB =180°,在四边形QABM 中,∠QAB +∠QMB +∠ABM +∠AQM =360°可得∠ABM +∠AQM =
180°,再根据∠ABM =90°即可求解;
(3)设正方形ABCD 的边长为a ,延长ND 至点H ,使DH =BM =2,证得△ADH ≌
△ABM ,得到∠DAH =∠BAM ,且AH =AM ,由(2)知,△QAM 是等腰直角三角形,易得∠NAM =∠NAH ,进而得到△NAM ≌ △NAH ,在Rt △MNC 中,利用勾股定理得到6a =,即可求解.
【详解】
解:(1)∵四边形ABCD 是正方形
∴∠QBA =∠QBC
在△QBA 和△QBC 中
BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△QBA ≌ △QBC (SAS )
∴∠QAB =∠QCB
又∵CQ =MQ
∴∠QCB =∠QMC
∴∠QAB =∠QMC (2)∵∠QAB =∠QMC
又∵∠QMC +∠QMB =180°
∴∠QAB +∠QMB =180°
在四边形QABM 中
∠QAB +∠QMB +∠ABM +∠AQM =360°
∴∠ABM +∠AQM =180°
而∠ABM =90°
∴∠AQM =90°
(3)设正方形ABCD 的边长为a ,则
2MC a =-,3ND a =-
延长ND 至点H ,使DH =BM =2
易证△ADH ≌ △ABM
∴∠DAH =∠BAM ,且AH =AM
由(2)知,△QAM 是等腰直角三角形
∴∠QAM =45°
∴∠DAN +∠BAM =45°
∴∠DAN +∠DAH =45°
即∠NAH =45°
∴∠NAM =∠NAH
∴△NAM ≌ △NAH (SAS )
∴NM =NH =()321a a -+=-
在Rt △MNC 中,222MN MC NC =+
∴()()222123a a -=-+
∴6a = ∴11651522
AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=
【点睛】
此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理,灵活运用性质是解题关键.
5.(1)见详解;(2)
7
2
2 x=-
【分析】
(1)连接MN,由勾股定理求出AC=5,证出四边形ABNM是矩形,得MN=AB=3,证
△AME≌△CNF(SAS),得出EM=FN,∠AEM=∠CFN,证EM∥FN,得四边形EMFN是平行四边形,求出MN=EF,即可得出结论;
(2)连接MN,作MH⊥BC于H,则MH=AB=3,BH=AM=x,得HN=BC-BH-CN=4-2x,由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4,在Rt△MHN中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【详解】
(1)证明:连接MN,如图1所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠B=90°,
∴∠EAM=∠FCN,2222
345
AB BC
+=+=,
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴AM=DM=BN=CN,AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,
又∵∠B=90°,
∴四边形ABNM是矩形,
∴MN=AB=3,
在△AME 和△CNF 中,
AM CN EAM FCN AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AME ≌△CNF (SAS ),
∴EM=FN ,∠AEM=∠CFN ,
∴∠MEF=∠NFE ,
∴EM ∥FN ,
∴四边形EMFN 是平行四边形,
又∵AE=CF=1,
∴EF=AC-AE-CF=3,
∴MN=EF ,
∴四边形EMFN 为矩形.
(2)解:连接MN ,作MH ⊥BC 于H ,如图2所示:
则四边形ABHM 是矩形,
∴MH=AB=3,BH=AM=x ,
∴HN=BC-BH-CN=4-2x ,
∵四边形EMFN 为矩形,AE=CF=0.5,
∴MN=EF=AC-AE-CF=4,
在Rt △MHN 中,由勾股定理得:32+(4-2x )2=42,
解得:x=72±
, ∵0<x <2,
∴x=722
-. 【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键.
6.(1)2t =;(2)222=2433PD PE PD PE ++⋅-; (3)①当06x ≤≤时,
S △PAE =(6)(33)x -+,②当6x ≥时, S △PAE =(6)(33)x -+. 【解析】 【分析】
(1)设直线AB 为3y kx =+,把B(-3,0)代入,求得k ,确定解析式;再设设t 秒后构成平行四边形,根据题意列出方程,求出t 即可;
(2)过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由(1)得到当t=2时,有C (3,0),D(33+,3),再根据AB ∥CD ,求出直线CD 和AB 1的解析式,确定E 的坐标;然后再通过乘法公式和线段运算,即可完成解答.
(3)根据(1)可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况,然后分类讨论即可.
【详解】
(1)解:设直线AB 为3y kx =+,把B(-3,0)代入得:
033k =-+
∴1k =
∴3y x
由题意得:
设t 秒后构成平行四边形,则
3333222t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
解之得:2t =,
(2)如图:过E 作关于x 轴对于点E ',
连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.
由(1)t=2得:
∴C 30),D(33,3)
∵AB ∥CD
∴设CD 为1y x b =+
把C 0)代入得
b 1=
∴CD 为:y x =-易得1AB 为:3y x =-+
∴3y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩
解之得:
∴222222332()32422PD PE PD PE PD PE E D '⎛⎛++⋅=+==++=- ⎝⎭⎝⎭
(3)①当06x ≤≤时
S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=
1(6)32x ⎛--= ⎝
⎭ ②当6x ≥时:
S △PAE =S △PAB1-S △P EB1=13(6)(3(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题是一次函数的综合题型,主要考查了用待定系数求一次函数的关系式,点的坐标的确定,动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.
7.(1)G (0,2)4y =++3)
234,,(1,4M M M -+⎝⎝⎝. 【解析】
【分析】
1(1)由F (1,4),B (3,4),得出AF=1,BF=2,根据折叠的性质得到GF=BF=2,
在Rt △AGF 中,利用勾股定理求出AG =,那么OG=OA-AG=4-
,于是G (0,);
(2)先在Rt △AGF 中,由tan 1
AG AFG AF ∠===,得出∠AFG=60°,再由折叠
的性质得出∠GFE=∠BFE=60°,解Rt △BFE ,求出BE=BF tan60°,那么CE=4-
2E (3,.设直线EF 的表达式为y=kx+b ,将E (3,F (1,4)代入,利用待定系数法即可求出直线EF 的解析.(3)因为M 、N 均为动点,只有F 、G 已经确定,所以可从此入手,结合图形,按照FG 为一边,N 点在x 轴上;FG 为一边,N 点在y 轴上;FG 为对角线的思路,顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位
置与形状之后,利用平行四边形及平移的性质求得M 点的坐标.
【详解】
解:(1)∵F (1,4),B (3,4),
∴AF=1,BF=2,
由折叠的性质得:GF=BF=2,
在Rt △AGF 中,由勾股定理得, 223AG GF AF =-= ∵B (3,4
),
∴OA=4,
∴OG=4-3,
∴G (0,4-3);
(2)在Rt △AGF 中,
∵3tan 31
AG AFG AF ∠=== , ∴∠AFG=60°,由折叠的性质得知:∠GFE=∠BFE=60°,
在Rt △BFE 中,
∵BE=BF tan60°=23,
.CE=4-23,
.E (3,4-23).
设直线EF 的表达式为y=kx+b ,
∵E (3,4-23),F (1,4),
∴34234k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得343
k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ ∴343y x =-++ ;
(3)若以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形,则分如下四种情况: ①FG 为平行四边形的一边,N 点在x 轴上,GFMN 为平行四边形,如图1所示. 过点G 作EF 的平行线,交x 轴于点N 1,再过点N :作GF 的平行线,交EF 于点M ,得平
行四边形GFM 1N 1.
∵GN 1∥EF ,直线EF 的解析式为343,(0,43)y x G =-++-
∴直线GN 1的解析式为34-3y x =-+,
当y=0时,1433433,,0x N ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
. ∵GFM 1N 1是平行四边形,且G (0,4-3),F (1,4),N 1(4333- ,0), ∴M ,(43 ,3);
②FG 为平行四边形的一边,N 点在x 轴上,GFNM 为平行四边形,如图2所示. ∵GFN 2M 2为平行四边形,
∴GN ₂与FM 2互相平分.
∴G (0,3N2点纵坐标为0
∴GN :中点的纵坐标为32-, 设GN ₂中点的坐标为(x ,32. ∵GN 2中点与FM 2中点重合,
∴33432x +=-
439+ ∵.GN 2的中点的坐标为(
4393,262-), .∴N 2点的坐标为(393
,0). ∵GFN 2M 2为平行四边形,且G (0,3F (1,4),N 2439+,0),
∴M2(436
,3
3
+
-);
③FG为平行四边形的一边,N点在y轴上,GFNM为平行四边形,如图3所示.∵GFN3M3为平行四边形,.
∴GN3与FM3互相平分.
∵G(0,4-3),N2点横坐标为0,
.∴GN3中点的横坐标为0,
∴F与M3的横坐标互为相反数,
∴M3的横坐标为-1,
当x=-1时,y=3(1)43423
-⨯-++=+,
∴M3(-1,4+23);
④FG为平行四边形的对角线,GMFN为平行四边形,如图4所示.
过点G作EF的平行线,交x轴于点N4,连结N4与GF的中点并延长,交EF于点M。

,得平行四边形GM4FN4
∵G(0,
F(1,4),
∴FG
中点坐标为(
1
,4
2
),
∵M4N4的中点与FG的中点重合,且N4的纵坐标为0,.∴M4的纵坐标为
5-45
解方程48
+=
,得
6
3
x
-
=
∴M4

6
,8
3
-
.
综上所述,直线EF上存在点M,使以M,N,F,G为顶点的四边形是平行四边形,此时M
点坐标为:
234
,,(1,4
M M M
-+-
⎝⎝⎝。

【点睛】
本题是一次函数的综合题,涉及到的考点包括待定系数法求一次函数的解析式,矩形、平行四边形的性质,轴对称、平移的性质,勾股定理等,对解题能力要求较高.难点在于第(3)问,这是一个存在性问题,注意平行四边形有四种可能的情形,需要一一分析并求解,避免遗漏.
8.(1)答案见解析;(2)24
【分析】
(1) 首先利用ASA证明△CDF≌△ADE,进而得到AE=CF,于是得四边形AECF是平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论;
(2)首先利用勾股定理求出DE的长,再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.
【详解】
(1)∵CF// AB,
∴∠DCF= ∠DAE,
∵PQ垂直平分AC,
∴CD= AD,
在△CDF和△ADE中,
DCF DAE
CD AD
CDF ADE
∠=∠


=

⎪∠=∠

,
∴△CDF≌△ADE,
∴CF=AE,
∵CF∥AE,
∴四边形AECF是平行四边形,∵PQ垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴四边形AECF是菱形;(2)∵四边形AECF是菱形,∴△ADE是直角三角形,
∵AD=1
4
2
AC,AE=5 ,
∴3
==,∴EF= 2DE=6,
∴菱形AECF的面积为11
8624 22
AC EF
⋅=⨯⨯=.
【点睛】
此题考查菱形的判定及性质定理,三角形全等的判定定理,线段垂直平分线的性质定理,勾股定理,正确掌握菱形的判定及性质定理是解题的关键.
9.(1)AP⊥BF,
1
2
AP BF
=(2)见解析;(3)1≤AP≤2
【分析】
(1)根据直角三角形斜边中线定理可得
1
2
AP ED PD
==,即△APD为等腰三角形推出
∠DAP=∠EDA,可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得
∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得
11
22
AP ED BF
==即
1
2
AP BF
=
(2)延长AP至Q点使得DQ∥AE,PA延长线交于G点,利用P是DE中点,构造
△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到
∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等
可得
11
22 AP AQ FB ==
(3)由于
1
2
AP BF
=即求BF的取值范围,当BF最小时,即F在AB上,此时BF=2,
AP=1
当BF最大时,即F在BA延长线上,此时BF=4,AP=2可得1≤AP≤2【详解】
(1)
根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得
1
2
AP ED PD
==,即△APD为等
腰三角形.
∴∠DAP=∠EDA
又AE=AF,∠BAF=∠DAE=90°,AB=AD ∴△AED≌△ABF
∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED
设AP与BF相交于点O
∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB
∴∠AOF=90°即AP⊥BF

11
22
AP ED BF
==即
1
2
AP BF
=
故答案为AP⊥BF,
1
2 AP BF
=
(2)
延长AP至Q点使得DQ∥AE,PA延长线交于G点∴∠EAP=∠PQD,∠AEP=∠QDP
∵P是DE中点,
∴EP=DP
∴△AEP≌△PDQ
则∠EAP=∠PQD,DQ=AE=FA
∠QDA=180°-(∠PAD+∠PQD)
=180°-∠EAD
而∠FAB=180°-∠EAD,则∠QDA=∠FAB ∵AF=DQ,∠QDA=∠FAB ,AB=AD
∴△FAB≌△QDA
∴∠AFB=∠PQD=∠EAP,AQ=FB
而∠EAP+∠FAG=90°
∴∠AFB+∠FAG=90°
∴∠FAG=90°
∴AG⊥FB
即AP⊥BF

11
22 AP AQ FB ==

1 AP
2
BF
=
(3)∵
1
2 AP BF
=
∴即求BF的取值范围
BF最小时,即F在AB上,此时BF=2,AP=1
BF最大时,即F在BA延长线上,此时BF=4,AP=2
∴ 1≤AP≤2
【点睛】
掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线,灵活运用各种角关系是解题的关键.10.(1)10-t;(2)5秒;(3)见解析
【分析】
(1)先证明△APO≌△CQO,可得出AP=CQ=t,则BQ即可用t表示;
(2)由题意知AP∥BQ,根据AP=BQ,列出方程即可得解;
(3)过点O作直线EF⊥AP,垂足为E,与BC交于F,利用三角形面积公式求出EF,得到OE,利用勾股定理求出AE,再说明AP=2AE即可.
【详解】
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠PAO=∠QCO,
∵∠AOP=∠COQ,
∴△APO≌△CQO(ASA),
∴AP=CQ=t,
∵BC=10,
∴BQ=10-t;
(2)∵AP∥BQ,
当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
即t=10-t,解得:t=5,
∴当t为5秒时,四边形ABQP是平行四边形;
(3)过点O作直线EF⊥AP,垂足为E,与BC交于F,在Rt△ABC中,∵AB=6,BC=10,
∴AC=22=8
BC AB
-,
∴AO=CO=1
2
AC=4,
∵S△ABC=1
2
AB AC
⋅=
1
2
BC EF
⋅,
∴AB•AC=BC•EF,∴6×8=10×EF,
∴EF=24
5

∴OE=12
5

∴AE=22
AO OE
-=16
5


32
5
t=时,AP=32
5

∴2AE=AP,即点E是AP中点,
∴点O在线段AP的垂直平分线上.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,垂直平分线的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题.。

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