八年级初二数学提高题专题复习平行四边形练习题及解析

八年级初二数学提高题专题复习平行四边形练习题及解析
一、解答题
1．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，
①BCF ∠= ；
②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13
CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．
．
2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．
（1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为3cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
3．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕
与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；
②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．
①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
4．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
5．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．
7．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系．
8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =
①求证：EF 与BD 互相平分；
②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
9．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说
明理由．
10．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；
（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；
（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角
形，AH BC ⊥，可得132
==
=BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．
【详解】 解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∴∠BAD+∠DAC=60°
在菱形ADEF 中
AD=AF
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°
∴∠CAF=∠DAB
又∵AC=AB ，AF=AD
∴△ACF ≌△ABD
∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°
故答案为：120°
②∵BC=BD+CD ，BD=CF
∴BD=CF+CD
故答案为：BC=CD+CF
（2）不成立
理由：∵ABC ∆是等边三角形
∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =
又∵60DAF ∠=
∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠
∴FAC DAB ∠=∠
∵四边形ADEF 是菱形
∴AD AF =
∴≅△△ADB AFC
∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=
∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=
∵BC CD BD =-
∴BC CD CF =-
（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是∵60BAC DAF ∠=∠=
∴BAD CAF ∠=∠
又∵AB AC =，AD AF =
∴≅△△ADB AFC ∴1
6683
CF BD BC CD ==+=+⨯=
∴如图，
过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD
∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322
BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=
∵22236927AH AB BH =-=-= ∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯
⨯=菱形 【点睛】
此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．
2．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN 3＝3cm ，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴CF ＝AE ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AF ∥CE ；
（2）如图1，过点A 作AN ⊥CD 于N ，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
t×3＝
3
2
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，
∴DF＝ME，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝1
2
AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，
∴1+1
2t+
1
2
t＝2，
∴t＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．（1）①等腰；②BE ；（2）①2；②存在，
2
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；
②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝
BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；
（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性
质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；
②当点F在边BC上时，得S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的
性质得CE＝CB＝EF＝
当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝
1 2KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，得S△BEF≤
1
2
S
矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝
1
2
CD＝
2
，点E
与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】
解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE；
故答案为：BE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
由折叠的性质得：CE＝CB＝23，
即EF＝23；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S△EKF＝1
2
KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，
∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤1
2
S矩形ABCD＝3，
即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，
此时，DF＝1
2
CD＝
3
2
，点E与点A重合，BEF的面积为3，
∴EF22
AD DF
＝51
2
；
综上所述，BEF 的面积存在最大值，此时EF 的长为23或
51． 【点睛】 此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
4．（1）详见解析；（2）2BH AE =，理由详见解析
【分析】
1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明
△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =
，得结论；
【详解】
证明：（1）如图1，连接DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴ADE ∆≌FDE ∆，
∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，
∴90DFG ∠=︒，
在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，
∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩
∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），
∴GF GC =；
（2）2BH =，理由是：
如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
∵AD AB =，
∴DM BE =，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
∵90ADC ∠=︒，
∴123490∠+∠+∠+∠=︒，
∴222390∠+∠=︒，
∴2345∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
∵EH DE ⊥，
∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，
∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，
∴1BEH ∠=∠，
在DME ∆和EBH ∆中，
1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DME ∆≌EBH ∆
∴EM BH =，
Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =， ∴2EM AE =
， ∴2BH AE ；
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
5．【发现与证明．．
】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】
【发现与证明．．
】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出
∠CB′D=∠B′DA=1
2
（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，
即可得出B′D∥AC；
【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．
【详解】
【发现与证明
．．】:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ACDB′是正方形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=45°，
∴AC=
2
2
2
BC ；
②如图2所示：AC=BC=2；
综上所述：AC2或2.【点睛】
本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．
】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．
】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA 和AB’共线和BC 和B’C 两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.
6．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出1452
DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出MF=2CF 即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同
(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同
(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，1452
DBE ABC ∠=∠=，
∴45
∠=∠+∠=+，
BEF DBE BDFα
∵BF⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴9045
∠=-∠=-,
EBF BEFα
故答案为：45°-α；
③线段BF，CF，DF之间的数量关系是DF BF
=+．
证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°
∴∠CDM=∠CBF=45°-α，
∴△CDM≌△CBF（SAS）．
∴DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF．
∴∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD=90°，
∴MF
．
∴
=+=+
DF DM MF BF
.
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，，理由如下：
在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF，∠BCM=∠DCF．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴
，
∴；
③当点E在线段CB的延长线上时，；理由如下：
在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，
∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴
,
即，
∴
;
综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：
+=．
=，或BF DF
=，或BF DF
DF BF
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
7．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =
；（3）222EG AG CE =+. 【分析】
（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，
OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．
（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =，
EDO FBO ∴∠=∠，
在DOE ∆和BOF ∆中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DOE BOF ∴∆≅∆，
EO OF ∴=，OB OD =，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
EF BD ⊥，OB OD =，
EB ED ∴=，
∴四边形EBFD 是菱形．
②BE 平分ABD ∠，
ABE EBD ∴∠=∠，
EB ED =，
EBD EDB ∴∠=∠，
2ABD ADB ∴∠=∠，
90ABD ADB ∠+∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，
30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBF ∴∠=︒．
（2）结论：
3IH FH =．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．
四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，
EB BF ED ∴==，//DE BF ，
在DHJ ∆和GHF ∆中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DHJ GHF ∴∆≅∆，
DJ FG ∴=，JH HF =，
EJ BG EM BI ∴===，
BE IM BF ∴==，
60MEJ B ∠=∠=︒，
MEJ ∴∆是等边三角形，
MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒
在BIF ∆和MJI ∆中，
BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BIF MJI ∴∆≅∆，
IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，
IH JF ∴⊥，
120BFI BIF ∠+∠=︒，
120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，
60JIF ∴∠=︒，
JIF ∴∆是等边三角形，
在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，
30FIH ∴∠=︒， 3
IH FH ∴=．
（3）结论：222EG AG CE =+．
理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，
90FAD DEF ∠+∠=︒，
AFED ∴四点共圆，
45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，
45ADF EDC ∴∠+∠=︒，
45
CDM CDE EDG
∴∠+∠=︒=∠，
在DEM
∆和DEG
∆中，
DE DE
EDG EDM
DG DM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
DEG DEM
∴∆≅∆，
GE EM
∴=，
45
DCM DAG ACD
∠=∠=∠=︒，AG CM
=，
90
ECM
∴∠=︒
222
EC CM EM
∴+=，
EG EM
=，AG CM
=，
222
GE AG CE
∴=+．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）26
22
PD=-
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝
1
2
BD，OE＝OF＝
1
2
EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，
理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP2BE，
2+2PD＝6，
∴2BE+2PD＝6，即BE+PD＝6，
∵AB＝4，
∴（26）2+PE 2＝2×42，
解得，PE ＝22，
∴BE ＝22，
∴PD ＝26﹣22．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.
9．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0
【分析】
（1）先证明()EAB DAC SAS ∆≅∆，得60ABE C ∠=∠=︒，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，证明90AEB =︒∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；
（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得BD 的长．
【详解】
解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：
ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=︒，
EAB DAC ∴∠=∠，
()EAB DAC SAS ∴∆≅∆，
60ABE C ∴∠=∠=︒，
60BAC ∠=︒，
BAC ABE ∴∠=∠，
//AC BE ∴，
//EF BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，ADE ∆是等边三角形，且DE AB ⊥，
30EAB DAB ∴∠=∠=︒，
由（1）知：60ABE ∠=︒，
90AEB ∴∠=︒， 1322
BE AB ∴==， ∴四边形BCFE 的周长3
2()2(3)92BE BC =+=⨯+=；
（3）分2种情况：
①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，
由（1）知：3BE CD ==，
336BD ∴=+=；
②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；
综上，BD 的长为6或0．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.
【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明
EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF 2AE =．
理由：四边形ABFD 是平行四边形，
AB DF ∴=，
AB AC =，
AC DF ∴=，
DE EC =，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
故答案为AF 2AE
=．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴， DKE ABC 45∠∠∴==，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，
ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，
EKF ADE ∠∠∴=，
DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
=时，四边形ABFD是菱形，易知
如图④中当AD AC
=-=-=，
AE AH EH32222
综上所述，满足条件的AE的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．。