第13课时函数的基础知识

第13课时函数的基础知识
一、知识点:
1.平面直角坐标系:平面直角坐标系概念, 坐标平面内点的坐标特征, 不同位置点的坐标特征.
2. 函数: 函数概念, 函数自变量取值范围, 函数的表示法(解析法,列表法,图象法), 函数的图象.
三、中考知识梳理
1.平面直角坐标系的有关概念
平面直角坐标系的有关概念不要死记硬背,应紧密结合坐标系来认识;在坐标平面内会正确地描点,对于坐标平面内的点要借助图形正确地写出,特别注意各象限内点的坐标符号.
2.坐标平面内点的坐标特征
注意两坐标轴上点的坐标的不同,且x轴、y轴不属于任何一个象限.
3.不同位置点的坐标特征
对于平行于两坐标轴的直线上点的坐标特点应借助于平面直角坐标系来应用.
对于对称点的坐标特征应遵循:关于x轴对称的两点,横坐标不变,纵坐标相反; 关于y轴对称的两点,横坐标相反,纵坐标不变;关于原点对称的两点, 横纵坐标都互为相反数,或借助图形来完成,切忌死背.
注意P(x,y)到两坐标轴的距离与线段长度的区分.
4.函数概念
对于函数的概念要正确地理解两个变量的关系.
5.自变量取值范围
自变量的取值范围首先要考虑自变量所在代数式是分式还是偶次根式还要整式,然后从自变量取值必须使解析式有意义等方面来求解,注意实际问题要实际对待.
6.函数的图象
描点法画函数图象的三个步骤:列表、描点、连线，选取点时,尽量选取有代表性的合理的点,连线时,应用光滑的曲线连结.
对观察实际问题的图象,要正确理解横纵坐标表示的意义.
四、中考题型例析
1．坐标平面内点的坐标特征
例1 (2003·潍坊)如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第____象限.
解析:由M在第二象限,可知a+b<0,ab>0可确定a<0,b<0,从而确定N在第三象限.
答案:三.
点评:本题主要考查各象限内点的坐标特征,即点P(x,y)在第一象限⇔x>0,y>0; 点P(x,y)在第二象限⇔x<0,y>0;点P(x,y)在第三象限⇔x<0,y<0;点P(x,y)在第四象限⇔x>0,y<0.
例2 (2004.广州)点P在第二象限,若该点到x到y轴的距离为1,则点P的坐标是( )
解析:点P(x,y)到x轴的距离是│y│,到y轴的距离是│x│,且P在第二象限知x<0,y>0,可确定点P的坐标.
答案:A.
2.不同位置点的坐标特征
例3 (2003·辽宁)在平面直角坐标系中,点P(-1,1)关于x轴的对称点在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:点P(-1,1)关于x轴对称点的横坐标不变,纵坐标相反,∴P(-1,1)关于x 轴的对称点坐标为(-1,-1)在第三象限.
答案:C.
点评:关于x轴对称点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称点的纵坐标相等,横坐标互为相反数;关于原点对称点的横、纵坐标都互为相反数.
例4 (2003·潍城)已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB∥x轴,则m值为____.
解析:根据平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相同,可得m-1=-2,可得m=-1. 答案:-1.
点评:平行于x 轴的直线上所有点的纵坐标相同,平行于y 轴的直线上所有点的横坐标相同.
3.自变量取值范围
例5 (2003·南通)函数
y=
x
中自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥-1 B.x>0 C.x>-1且x ≠0 D.x ≥-1且x ≠0 解析:要使
,需既使分式有意义,又使偶次根式有意义,即x ≠0且x+1≥0,得x ≥-1且x ≠0.
答案:D.
点评:考查自变量取值范围是历年中考热点,本题中既要使根式有意义又要使分式有意义,需两者都考虑.
4. 函数图象
例6 (2003·四川)小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车.车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).
t s
o
A
B
t
s
o
C
t
s
o
D
t
s
o
解析:A 表示小明一直在停下来修车,而没继续向前走,B 表示没有停下来修车,相反速度骑的比原来更快,D 表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C 符合题意.
答案:C.
点评:会看图象中横纵坐标表示的实际意义是解题的关键,此题主要考查函数知识及数形结合的数学思想.
5.实际问题中函数解析式的求法
例7 (2003·新疆)乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600km,火车从乌鲁木齐出发, 其平均速度为58km/h,则火车离库尔勒的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式是________.
解析:已知s 表示火车离库尔勒的距离,t 表示火车从乌鲁木齐出发行驶的时间, 火车速度已知,所以s=总路程-火车从乌鲁木齐出发行驶的路程.
答案:s=600-58t.
点评:此题主要考查实际问题中函数解析式的求法.理解题意, 弄清题目中数量关系是解题的关键.
达标练习
一、选择题
1.(2004.哈尔滨)已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在( ) A.第一象限 B.第二象限; C.第三象限 D.第四象限
2.(2004.呼和浩特)在函数
中,自变量x 的取值范围是( ) A.x>1 B.x>3 C.x ≠1 D.x ≠3
3.(200
4.南京)在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2003.重庆)三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为a 3
m ,平均每天流出的水量控制在b 3
m .当蓄水位低于135m 时, b< a; 当蓄水位达到135m 时,b=a.设库区的蓄水量y(3
m )是时间t(天)的函数,那么这个函数的大致图象是( )
O
t
y
A
O
B
t
y O
C
t y
O
D
t
y
5.(2004.沈阳)小丽的家与学校的距离为0d km,她从家到学校先以匀速1v 跑步前进,后以匀速221()v v v <走完余下的路程,共用0t h . 下列能大致表示小丽距学校的距离y(km)与离家时间t(h)之间关系的图象是( )
t 0
d 0O
t
y A
t 0
d 0O
B
t
y
t 0
d 0
O
C
t
y t 0
d 0O
D
t
y
6.(2004.长沙)如图是一个数值转换机,若输入的a值为2, 则输出的结果应为( )
240.5
a a
→→-→⨯→
输入输出
A.2
B.-2
C.1
D.-1
二、填空题
1.(2003·上海)已知函数f(x)=
1
x
x
+
,那么f(2-1)=_______.
2.(2003·寒亭)直角坐标系中,第四象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为3,2, 则M点
的坐标是________.
3.(2004·哈尔滨)函数y=5
3x
x
+-
-
中自变量x的取值范围是_________.
4.(2003·长沙)图表示长沙市2003
年6月份某一天的气温随时间变
化的情况,请观察此图回答下列
问题:
(1)这天的最高气温是______度;
(2)这天共有_______个小时的气
温在31度以上;
(3)这天在_______(时间)范围内
温度在上升;
(4)请你预测一下,次日凌晨1点
的气温大约是多少度?答:_______.
三、解答题
1.(2003·武汉)小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边
长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
2.(2003·南宁)南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查,并从《南宁晚
报》中收集到下列数据:
根据上表解答下列问题:
(1)请你按体积=面积×高来估算,南湖的淤泥量大约有多少万立方米?
(2)设清除淤泥x天后,剩余的淤泥量为y(万米3),求y与x的函数关系.(不要求写出x
的取值范围.
(3)为了使南湖的生物链不遭破坏,仍需保留一定量的淤泥. 若需保留的淤泥量约为22 万米3,求清涂淤泥所需天数.
3.(2002.吉林)一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便, 他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:
(1)农民自带的零钱是多少?(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元,问他一共带了多少千克土豆.
能力提高
一、学科内综合题
1.(2004·济南)如图,方格纸上一圆经过
(2,5),(-2,1),(2,-3),(6,1) 四点,则该圆
圆心的坐标为( ).
A.(2,-1)
B.(2,2)
C.(2,1)
D.(3,1)
2.(2002·聊城)如图,正方形ABCD的边长为
2cm,P是边CD上一点,连结AP并延长与BC
的延长线交于点E.当点P在边CD上移动时,
△ABE的面积随之变化.
(1)设PD=xcm(0<x≤2),求△ABE的面积y与
x的函数关系式,并画出函数的图象;
(2)根据(1)中的函数关系式,确定点P在什么位置时S△
ABE=400cm2.
E
P
D
C
B
A
二、开放探索题
3.(2003·黄冈)同学们都做过《代数》课本第三册第87页第4题: 某礼堂共有25排座位,第一排有20个座位,后面每一排都比前一排多1个座位, 写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式并写出自变量n的取值范围.
上题中,在其他条件不变的情况下,请探究下列问题:
(1)当后面每一排都比前一排多2个座位时,则每排的座位数m与这排的排数n 的函数关系式是________(1≤n≤25,且n是整数).
(2)当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时,则每排的座位数m 与这排的排数n的函数关系式分别是_____________、___________(1≤n≤25,且n是整数).
(3)某礼堂共有p排座位,第一排有a个座位,后面每排都比前一排多b个座位, 试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式,并指出自变量n的取值范围.
三、实际应用题
4.(2002·吉林)一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的
体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( ).
5.( 2004·四川) 汽车由重庆驶往相距400km 的成都. 如果汽车的平均速度是100km/h,
那么汽车距成都的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为( ).
6.(2004·安徽)初三(2)班同学为了探索泥茶壶盛水喝起来凉的原因, 对泥茶壶和塑料壶
盛水散热情况进行对比实验.在同等的情况下,把稍高于室温(25.5℃)的水放入两壶中,每隔一小时同时测出两壶水温,所得数据如下表:
室温25.5℃时两壶水温的变化 (单位:℃)
(1)请在同一坐标系中,画出
泥茶壶与塑料壶水温的变化曲线;
(2)比较泥茶壶和塑料壶水温
变化情况的不同点.
四、跨学科综合题
7.(2002·辽宁)两个物体A、B所受压强分别为P A(P a)
与P B(P a)(P A、P B为常数),它们所受压力F(N)与受力
面积S(m2)的函数关系图象分别是射线L A、L B,如图所
示,则( )
A.P A<P B
B.P A=P B
C.P A>P B
D.P A≤P B
8.(2002·安徽) 我们知道,溶液的酸碱度由PH确定,当
PH>7时, 溶液呈碱性; 当PH<7时,溶液呈酸性,若将
给定的HCI溶液加水稀释,那么在下列图象中,能反映HCI溶液的PH与所加水的体积(V)的变化关系的是( )
答案:
基础达标验收卷
一、1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D
二、1.2+2 2.(2,-3) 3.3<x≤5
4.(1)37; (2)9; (3)3点～15点;(4)23 ℃～26℃均可.
三、1.解:y=80-2x ∵x+x=2x>y,
∴0<y=80-2x<2x. 解得20<x<40,
∴y=80-2x(20<x<40).
2.解:(1)160×0.7=112(万米2);
(2)y=-0.6x+112;
(3)当y=22时,22=-0.6x+112,0.6x=112-22,0.6x=90,x=150(天).
答:需要150天.
3.解:(1)农民自带的零钱是5元.
(2)(20-5)÷30=0.5(元).
答:降价前他每千克土豆卖0.5元.
(3)(26-20)÷0.4+30=45(千克)
答:他一共带了45千克土豆.。