一元一次方程全章知识点详细讲解与练习

知识点一：一元一次方程的相关概念
例1.1.1：什么是方程？
下列各式中，不属于方程的是( )
A、2x+3－(x+2)=0
B、3x+1－(4x－2)
C、3x－1=4x+2
D、x=7
小结：具备（1）含有未知数；（2）是等式；两个条件的称为方程；
变式训练1：
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。

（1）5x＝0；（2）42÷6＝7；
（3）y2＝4＋y；（4）3m＋2＝1－m；（5）1＋3x. （6）-2+5=3
（7）3χ-1=7 （8）m=0
（9）χ﹥ 3 （10）χ+y=8
（11）2χ2-5χ+1=0 （12） 2a +b
例1.1.2：什么是一元一次方程？
在下列方程中：①2χ+1=3; ②y2-2y+1=0;
③2a+b=3; ④2-6y=1;⑤2χ2+5=6;
属于一元一次方程有_________。

小结：具备（1）有未知数，如x、y、a、b等（2）未知数只有一个；（3）未知数的指数
是1次；（4）含有等号的等式；4个条件
缺一不可
变式训练1：
方程3x m-2 + 5=0是一元一次方程，则代数
4m-5=_____。

变式训练2：
方程(a+6)x2 +3x-8=7是关于x的一元一次方程
则a= _____。

例1.1.3：等式的性质下列说法中，正确的个数是( )
①若mx=my,则mx－my=0 ②若mx=my,则x=y
③若mx=my,则mx+my=2my④若x=y,则mx=my
A.1
B.2
C.3
D.4
小结：（1）等式两边可以加上或减去同一个数；
（2）等式两边可以乘以或除以同一个数，
但是0除外；
变式训练1：
下列变形符合等式性质的是( )
A.如果2x－3=7,那么2x=7－3
B.如果3x－2=x+1,那么3x－x=1－2
C.如果－2x=5,那么x=5+2
D.如果－
1
3
x=1,那么x=－31.
变式训练2：
如果x+y=0,则x=_____,根据_________________.
例1.1.4：什么叫解方程
已知320
x+=，则43
x-=
小结：解方程即时利用等式性质求出x=？的过程
变式训练1：
若2
|1|(2)0
a b
-+-=，则方程1
ax b
-=的解为
__________。

例1.1.5：什么叫方程的解？
已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，则a=______
小结：（1）方程的解是一步一步解出来的
（2）方程的解是能满足等式的未知数的值；
变式训练1：
如果方程5x=-3x+k的解为-1，则k=
变式训练2：
如果方程3x+2a=12和方程3x-4=2的解相同，那
么a=
知识点二：一元一次方程的解法
例 1.2.1：
系数化
为“1”
解下列方
程：
10
5
3
x
-=-
13
76
34
x x
-+=--
小结：（1）
当左
边只
剩下
含x
的一
项
时，
用常
数除
以x
前面
的系
数，
即可
求出
x=？
，这
个过
程叫
做系
数化
为
“1”
；
（2）
当方
程左
右两
边不
止一
项时，先合并为一项，再系数化为“1”；
变式训练1：
11134x x -+=
31142x --=-
例1.2.2：移向法则 解下列方程：
x x -=-324 15
2
+-=-x x
911
z +72=92z －75 55912
x ÷=
小结：（1）移向变号，不移则不变； （2）未知数移一边，常数另一边； （3）合并同类项后再系数化为“1”
变式训练1：
155
366x x +-= 1835+=-x x
2.1670.06x -= 63518x x -=-
例1.2.3： 去括号法则
3 x = 8 +2(x -7)
(x+1)-2(x-1)=1-3x
3x-7(x-1)=3-2(x+3)
小结：右括号的按照去括号法则先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为“1”；
变式训练1：
18x+3x-3=18-2(2x-1)
15-(8-5x)=7x+(4-3x )
例1.2.4：去分母法则
1
112
x x -+=-
3
53235x
x -=-
6
3
222--+x x
3
)
7(2235)3(2--
=+x x x
小结：（1）去分母首先要看清楚有方程两边有几项，乘以分母的最小公倍数； （2）每项都要乘到，注意一个数字也是一项，需要乘； （3）符号不变，约分后是多项则需要先打括号，再去括号；
变式训练1：
11
523
x x --=-
38
123
x x ---=
例1.2.5：法则的概念运用
（1）解方程6x+1=-4，移项正确的是（ ）
A. 6x=4-1
B. -6x=-4-1
C. 6x=1+4
D.6x=-4-1
（2）下列解方程过程中，变形正确的是（ ） Ａ、由2x-1=3得2x=3-1
Ｂ、由
13
5542-=-x
x 得12056-=-x x Ｃ、由-75x=76得x=-76
75
Ｄ、由3x -2
x
=1得2x-3x=6
（3）方程324
4(1)102x a x ++=-的解为3x =，则a 的值为 ．
（4）当x = 时，代数式13
x
x +-的值等
于2
小结：（1）移向重点是动则变，不动则不变； （2）去分母运算易错点4个：
a 、单独数字忘记乘
b 、多项约分不括号
c 、括号前面是负号，总是忘记要变号；
d 、去括号时每项乘，漏乘一项也错了； 变式训练1：
（1）解方程-3x+5=2x-1, 移项正确的是（ ）
A.3x-2x=-1+5
B.-3x-2x=5-1
C.3x-2x=-1-5
D.-3x-2x=-1-5 （2）下面的去分母正确吗？应怎样改正？
② 57y
=y+1去分母后：7y=y+1
②3
1
12-=-x x 去分母后：1233-=-x x （3）若关于x 的一元一次方程
12
332=---k
x k x 的解是1-=x ，
则k 的值为 （4） 若代数式27x -与
2
13
x +的值相等，则x
的值为
1、若35
240n x
--=为一元一次方程，则n=
2、代数式12+a 与a 21+互为相反数，则=a
3、已知023=+x ，则=-34x
4、若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a 2
+2
5、若2
|1|a b -+-，则方程1ax b -=的解为 6、下列各对方程中，解
相同的方程
是（ ） A 、3x =与
390x +=
B 、36x +=与
36x x x +=
C
、7435x +=与
7156x -=
D 、39x =与
390x +=
7、若代数式34
a b x
2与0.2b
1
3-x 4a 是同类
项，则x 的值是（ ）
Ａ、12
Ｂ
、
１
Ｃ、13
Ｄ、０ 8、下列变形中，错误的是( ) A
、
2x+6=0变形为2x=－6
B.
x x +=+22
3
变形为x+3=4+2x C. －2(x-4)=-2变形为x-4=1
D.-2
1
21x =+可变形为-x+1=1 9、解方程315362
x x x
+---=
，去分母所得结论正确的是（ ）的解． A ．23115x x x +-+=- B ．261153x x x +-+=- C ．26115x x x +--=- D ．231153x x x +-+=- 10、解方程：
2x +3=x －1 1)1(5=-x
3 2.465x x +=
155366x x +-=
2(x+4)-3(5x+1)=2-x
615+x =819+x －3
1x
-
131(1)(2)24234
x
x ---=
（1至9题各8分，10题28分，共
100分） 1、 在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-12
x=x+1
④x+2y=3中方程有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 2、x=2是下列方程( )的解.
A.2x=6
B.(x-3)(x+2)=0
C.x 2
=3 D.3x-6=0
3、下列根据等式的性质正确的是（ ）
A. 由y x 3
2
31=-
，得y x 2= B. 由2223+=-x x ，得4=x C. 由x x 332=-，得3=x D. 由753=-x ，得573-=x
4、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A.;342
=-x x B.;0=x C.;12=+y x D..11x
x =- 5、解方程
16
1
10312=+-+x x 时，去分母后，正确结果是（ ）
A. 111014=+-+x x
B. 111024=--+x x
C. 611024=--+x x
D. 611024=+-+x x
6、方程
42=-+a x 的
解
是
2-=x ，则
a 等于
（ ）
A ．;8- B.;0
C.;2
D..8 7、关于x 的方程
32x +=与
20
x a +=的解相同，那么a 的值是（ ） A 、1
19
3
B 、2
203
C 、2223
D 、20 8、如果3x+2=8,那么6x+1=（ ） A.
11
B.26
C.13
D.-11 9、如果方程
5
3x 2n －7
－
7
1=1是关于x 的一元一次方程，则n 的值为_______。

10、解方程:
40.7102x += 2.1670.06x -=
84 1.2 2.4x -⨯= 55
912
x ÷=
()()x x 2152831--=--
026
2
921=---x x
131(1)(2)24234
x
x ---=
（1至9题各8分，10题28分，共100分）
1、若方程2
3
(21)570b a x x
-++-=是一元一次方程，则方程1ax b +=的解是（ ） A 、6x =
B 、6x =-
C 、8x =-
D 、8x =
2、如果0x =是关于x 的方程324x m -=的解，则m 的值是（ ） A 、
43 B 、4
3
- C 、2- D 、1-
3、如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）
A. 103
B. 310
C. -103
D.- 3
10
4、方程21
2=-x 的解是（ ）
A.;41
-=x B.;4-=x
C.;4
1
=x D..4-=x
5、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．．
成立的是（ ）
A.;253b a =-
B.;6213+=+b a
C.;523+=bc ac
D..3
5
32+=b a
6、解方程2
631x
x =+-，去分母，得（ ）
A ．;331x x =-- B.;336x x =-- C.;336x x =+- D..331x x =+-
7、已知y 1=5x 6
1
y ,1x 322-=+-,若y 1+y 2=20,
则x=( )
A.-30
B.-48
C.48
D.30
8、关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.
9、在公式()h b a s +=2
1
中，已知
4,3,16===h a s ，则=b ＿＿＿.
10、解方程：
2557x x +=-
63518
x x -=-
()(
37132x x --=-
12
36
x x x -+-
=-
242320.50.4
x x
--+=
112[(1)]223
x x --=
解方程：
816231x x -+=-+
15424x x --=--
11
2322
y y -=-
433
2354
x x -+=--
8512733x x x +-=--+
14
3321=---m
m
124362
x x x
-+--=
131(1)(2)24234
x
x ---=
解方程：
52-x －10
3+x －
3
5
2-x +3=0
11
124
x x x -=
++
35
10
1022010=+--x x
112
[(1)](1)223
x x x --=-
0.10.21
30.020.5
x x -+-=
52
221+-=--
y y y
131(1)(2)24234
x
x ---=
2x 4x 72312
－－＝－-
0.30.10.10.20.3
x x --
-
43(1)32322x ⎡⎤
---⎢⎥⎣⎦
6(3
1
[21---x x x
（限时50分钟）
（最后两题8分，其余每题7分，共100分）
312
x
x =- 12131=--x
3
1
2121-=-x x
31257
243
y y +-=-
14
3321=---m
m
29
6182+=--y
y y
341
125
x x -+-=
124362
x x -+-
-=
()()
721341x x ---
()0.40.2 1.5x -+=
()()
2151
1
36
x x
++
=-
0.10.20.30.2
1
0.20.4
x x
--
-=-
（前4题各13分，后3题各16分）
12
1
36
x x
x
-+
-=-
2423
20
0.50.4
x x
--
+=
124
362
x x x
-+-
-=
()()
3206411
y y y
-=--
)9
6(
3
2
8
2
1
3
5
12
7-
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-x
x
x
x2
1
4
1
3
2
2
3
-
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
知识点一：
基本关系
量之字母
表示数
例3.1.1：五
大基本
关系（和
差倍分
比）
用含字母的
式子表示下
面各题的数
量关系：
（1）m
与
3
的
和
的
5
倍；
（2）比3x少6的数；
（3）比a的4倍少b的一半的数；
（4）比a的3
5
少b的
1
4
的数；
（5）比b少30%的数；
（6）求与a的比是3:4的数
小结：（1）知多求少减，知少求多加；
（2）求和、求总加，知和反求加数减；
（3）倍数关系：知小求大乘，知大求小
除，求倍数除；
（4）分数认准单位“1”，永远都是单位
“1”的几分之几；
（5）多、少几分之几同样还是单位“1”。

变式训练1：
徒弟每天做a个零件，师傅每天做的零件数比徒弟的2倍少10个。

（1）用式子表示师傅每天做多少个零件；
（2）用式子表示两人一天合作的零件个数。

变式训练2：
六年级有a名男生，女生人数是男生人数的3
5
，六年级一共有学生多少名？
知识点二：基本关系量之列方程
例3.2.1：五大基本关系列方程（和差倍分比）
（1）小明储蓄66元，小刚储蓄的钱数比小明的4倍少10元。

小刚储蓄多少元？（一步列）
（2）甲、乙两人做机器零件，甲比乙多做400
个，且甲做的零件个数是乙的3倍，问甲、乙两
人各做多少个零件？（两步列）
（3）哥哥比弟弟多种了26棵树，弟弟种的
树是哥哥的
1
3
倍，问兄弟两人各种多少棵树？
（4）已知长方形的周长是28，长与宽的比是
3:4，求长方形的面积？
小结：（1）一步列：设完直接写等式；
（2）二步列：设完先表示，再列等式；
（3）注意：设未知数原则是尽可能更简单
表示出其它量；
（4）多少关系设少的，倍数关系设小的，
分数关系设单位“1”，比例关系设单位份
数；
变式训练1：
小丽有铅笔与圆珠笔若干支，铅笔的4倍与
圆珠笔的2倍相等，且圆珠笔比铅笔多10支。

问
小丽有多少支铅笔，多少支圆珠笔？
变式训练2：
小明的爸爸办了一个养鸡场，今年比去年多
养了4000只小鸡，且今年的小鸡数比去年的3倍
多2000只，问今年、去年各养了多少只小鸡？
变式训练3：
万县
今年的苹果
产量比去年
的多30%，今
年和去年的
产量总和是
46万吨，问
今年的苹果
产量？
变式训练4：
已知
梯形的上底
与下底之比
是2:5，高是
5cm，且面积
是35cm2，求
梯形的上、
下底之长？
知识点三：
年龄问题
例3.3.1：年
龄问题
（1）儿
子今年10
岁，5年前母
亲的年龄是
他的6倍，
母亲今年多
少岁？
（2）兄
弟二人的年
龄相差5岁，
兄3年后的
年龄为弟4年前的3倍。

问：兄、弟二人今年各多少岁？
小结：年龄问题关键是年龄同增同减；
变式训练1：
今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？
变式训练2：
哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
知识点四：数字问题
例3.4.1：年龄问题
（1）三个连续奇数的和是387，求这三个奇数。

（2）一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这三个数。

小结：（1）连续数有连续自然数、奇数、偶数，表示关键设中间数或最小的数；
（2）数的大小表示，个位不变，十位乘以
10，百位乘以100，再相加；
变式训练1：
三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10，这三个连续偶数是什么？它们的和是多少？变式训练2：
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字
小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五
分之一，求这个两位数。

知识点五：较难的和差倍综合问题
例3.4.1：两个量之间的调入分配问题
（1）甲比乙多存140元，如果乙取出60元，
甲存入60元，则甲的存款为乙的3倍，问甲乙两
人原有存款各是多少元？
（2）甲、乙两人各带150元、70元去买东
西，两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是
乙的5倍，问甲、乙两人身上还各剩多少钱？每
人花了多少钱？
（3）一个书架分上、下两层，上层的书的
本数是下层的4倍。

从下层拿5本放入上层后，
上层的本数正好是下层的5倍。

原来下层有几本
书？
小结：关系两较复杂时可以借助表格表示其
变化关系，从而列出方程
变式训练1：
甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6
本，则甲组的图书是乙组的5倍，原来甲组有图
书多少本？
变式训练2：
两根
同样长的铁
丝，第一根
剪去18厘
米，第二根
剪去26厘
米，余下的
铁丝第一根
是第二根的
3倍。

原来两
根铁丝各长
多少厘米？
变式训练3：
两筐
橘子，如果
从甲筐拿出
8个放进乙
筐，两筐的
橘子就同样
多；如果从
乙筐拿出13
个放到甲
筐，甲筐里
德橘子是乙
筐的2倍。

甲乙两筐原
来各有多少
个橘子？
1、原产量n千克增产20%之后的产量应为（）
A.（1－20%）n千克
B.（1+20%）n千克
C. n+20%千克
D.n×20%千克
2、甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x岁，乙y岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（）
A.(x+y)
B.(x－y)
C.3(x－y)
D.3(x+y)
3、一架照相机和它的皮套共100元钱，这架照相
机比皮套贵90元，问皮套多少钱?
4、两个连续偶数的和是102，求这两个偶数各是
多少?
5、一个两位数，十位数字与个位数字的和为9，
十位数字比个位数字多3，求这个两位数。

6、两个水桶共盛水50千克。

如果把第一桶里的
水倒出6千克，两个水桶中的水就一样多了，第一桶原盛水多少千克?
7、今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年
的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？8、甲比乙多做了50个零件，如果甲给了乙100
个零件之后，甲的零件个数就是乙的一半，问
甲、乙两人原来各做了多少个零件？
9、甲、乙仓存有货物，若从甲仓去31吨放入乙
仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓去14吨
入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两
仓各存货物多少吨？
10、甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，
从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之
三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本。

乙书架原来有书多少本？
（每题10分，共100分）
1、小丁期中考试考了a分，之后他继续努力，期
末考试比期中考试提高了b%，小丁期末考试考
了_______分.
2、一个有31排，每排29个座位的电影院，演a
场电影，每场座无虚席，共出售电影票______
张，如果每张电影票售价b元，则电影院收入
__________元.
3、某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第
二天比第一天多12件，第三天是第一天的2
倍，则该服装店这三天共卖出服装________
件；
4、班级的同学参加活动小组，已知参加语文小组
的同学比参加数学小组的多26人，且语文小
组的人
数比数
学小组
人数的3
倍少14
人，问参
加两类
兴趣小
组的同
学各有
多少
人？
5、甲、乙两
箱共有水果
50千克，若
从甲箱中取
6
千克放
到乙箱中，
这时两箱一
样重，甲乙
原有
各多少
千克？
6、一套书有
上、中、
下三册，
上册比
中册贵3
元，中册
比下册
贵6元，
这样的
四套书
共值300
元，求
上、中、
下三册各多少元?
7、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如
果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新
数比原数大54，求原来的两位数。

8、1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4
倍。

2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄
之和的2倍。

问：父亲出生在哪一年？
9、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面
粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。

食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？
10、有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆
车上。

已知甲车装的千克数正好是乙车的2
倍，乙车比丙车多装200千克。

甲、乙、丙三
辆车各装货物多少千克？
（每题10分，共100分）
1、某水果市场，苹果的零售价为每斤2元，一人
要买x斤苹果需付款__________，另一人付资
y元，需给苹果__________斤.
2、小明有m张邮票，小亮有n张邮票，小亮过生
日时，小明把自己的邮票的一半作为礼物送给
小亮，现在小亮有_______张邮票；
3、某种蔬菜今天的价格比昨天上涨了20%，如果
昨天的价格为每千克a元，那么这种蔬菜今天
的价格为每千克____元，当a=1.2时，今天蔬
菜的价格为____元.
4、某校举办跳绳比赛，第一组有男生m人，
女生n人，男生平均每分钟跳105次，女
生平均每分钟跳110次，一分钟第一组学
生共跳绳多少次？当m=5，n=5时，结果是
多少？
5、大桶装水是小桶的3倍，如果从大桶运出35
千克，从小桶倒出千克那么剩下的水是一样多的。

问两个桶原有多少千克水？
6、水果店有苹果120千克，梨子 90千克，卖出
同样多之后，苹果的重量恰好是梨子的4倍，问
两种水果各剩下多少千克？各卖出多少千克？
7、甲、乙两个仓库共存大米58吨，如果从
甲仓库调3吨大米到乙仓库，两个仓库所存
的大米的吨数正好相等，求甲、乙两仓库各
存大米多少吨?
8、有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多
1，将两个数字对调后，所得的数比原数小36，求
原数。

9、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一
和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男
生人数是女生人数2倍。

这个学校共有学生多少
人？
10、同学们
带着水果去
看敬老院的
老人，带的
苹果是橘子
的3倍。

如
果每个老人
拿2个橘子
和4个苹果，
那么，橘子
正好分完，
苹果还多14
个。

问同学
们把苹果分
给了几位老
人？
知识点一：
比例分配
型
例 4.1.1：
鸡兔同
笼型
某文艺
团体为
“希望
工程”募
捐组织
了一场
义演，共售
出1000张
票，其中成
人票是每张
8元，学生票
是每张5元，筹得票款6950元。

问成人票与学生票各售出多少张？
上面的问题中包括哪些量？
售出的票包括____________票和__________票；所得票款包括____________款和__________款；上面的问题中包括哪些等量关系？
______________+____________=1000张 (1) ______________+____________=6950元 (2)
解法一: 设售出的成人票为x张,请填写下表:
学生成人票数 / 张
票款 / 元
根据等量关系(2) ,可以列出方程:________ ____________________________________；
解得x=____________
因此,售出的成人票为___________张,学生票为___________张。

解法二: 设所得的学生票款为y元,请填写下表:
学生成人
票数 / 张
票款 / 元
根据等量关系(1) ,可以列出方程:____________________________
解得y=____________
因此,售出的成人票为___________张,学生票为___________张。

小结：（1）全部数量=各个量的数量之和；
（2）设其一表示其二，再表示总量，最后
列方程；
变式训练1：
用人民币10元买得10分和20分的邮票共80枚，则其中10分的邮票枚，20分的邮票枚．变式训练2：
一张试卷有25道题，做对一道得4分，做
错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则
他做对了道题
变式训练3：
某车间100个工人，每人平均每天可加螺栓
18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配
套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓
和螺母的工人？
知识点二：调配问题
例4.2.1：调配类型
甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲
队人数是乙队人数的2倍，设从乙队抽调x人到甲
队.（完成下表的填空）
原来人数调动人数现有人数
甲队调入
乙队
相等
关系
甲队人数是乙队
列出
方程
方程
的解
X=________
小结：抓准
变化
关
系，
一步
一步
的变
化，
一步
一步
的表
示，
最后
列出
等量
关
系；
变式训练1：
一筐
苹果和一筐
梨的个数相
同，卖掉40
个苹果核15
个梨后，剩
下的梨是苹
果的6倍，
原来两筐水
果一共有多
少个？
变式训练2：
养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公 鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍。

原来养鸡场一共养了多少只鸡？
知识点三：盈亏问题
例4.3.1：盈亏类型
（1）小朋友分糖果，如果每人分4粒，则多9粒；若每人分5粒，则少6粒。

一共有多少个小朋友？一共有多少粒糖果？
小结：分配盈亏问题，隐藏分配数、需分配数不变这两个个等量关系，一般设人数，利用总量相等列方程；
变式训练1：
把一筐桃分给一些小猴。

每只小猴分5个桃，最后多16个；每只小猴分7个，又缺12个桃子不够分。

小猴有几只？桃有几个？
变式训练2：
同学们擦教学楼的玻璃，如果每人擦15块，还剩下30块；如果每人擦18块，还剩下12块。

每人擦几块正好擦完。

例4.3.2：改变盈亏量类型
六一儿童节那天，某班同学去划船，他们租了一些船，如果每船4人，则多1人，如果每船5人则可以少租2条船。

一共有多少个同学？
小结：根据盈亏的需分配数转变为盈亏的分配数，从而转变成普通盈亏类型；
变式训练1：
一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，那么这批宿舍有多少间，人有多少个？
变式训练2：
有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1
条船，正好每条船坐9
个人。

这个
班共有多少
名同学？
变式训练3：
李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5天完
成。

这批零
件共有多少个？
1、有一块合金重量是50千克，其中所含铜与锌的比为3∶
2，则合金中含铜 千克，含锌 千克。

2、小月买了A 、B 两瓶果汁，一共花了8元，其中A 果汁比B 果汁贵2元，则A 果汁单价为____ 元，B 果汁单价为 元。

3、妈妈送给阿明一个相册。

阿明把他的相片全部装入相册。

如果每页装3张，最后空着2页。

如果每页装5张，最后空9页。

阿明共有（ ）张相片。

4、一个大人一餐能吃四个面包,两个幼儿一餐共吃一个，大人和幼儿共7人，14个面包，则大人有 个，幼儿有 个。

5、某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数1∶2，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，刚好配套.求多少人生产螺栓？设：有x 名工人生产螺栓，其余人生产螺母.依题意列方程应为（ ）。

A.12x =18(28－x )
B.2×12x =18(28－x )
C.12×18x =18(28－x )
D.12x =2×18(28－x )
6、甲、乙两班共90人，期中考试后，由甲班转入乙班4人，这时甲班人数是乙班人数的80%，问期中考试前两班各有多少人？
7、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？
8、甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2，乙、丙两仓存粮数之比是1：2.5，求甲、乙、丙三个粮仓各存粮
多少吨？
9、在全国足球甲A 联赛的前11轮比赛中，某队
保持连续不败（不败含取胜和打平）共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求该队在这11场比赛中共胜了多少场？
10、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，这批学生可能有多少人？
（每题10分，共100分）
1、小明买了笔记本和练习本共12本，共花了13.1元，笔记本单价是1.5元，练习本单价是0.8元，则小明买了笔记本 本，练习本 本。

2、小亮家今年承包的鱼塘到期了，共抓起鲫鱼和 鳊鱼500千克，共卖了2800元，已知鲫鱼和鳊 鱼每千克分别为6元和5元，则鲫鱼 千克，鳊鱼 千克。

3、小菲和同学去参观科学宫和博物馆，买10张门票共花了98元，已知大门票每张20元，小门票每张3元，则大门票买了 张，小门票买了 张。

4、动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。

如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分8个桃子，正好分完。

一共
有
（ ）只猴子，有（ ）个桃子。

5、四一班同学参加植
树，如果
每人种5棵，还剩下3棵。

如果其中2人各种4棵，其余的同学各种6棵，正好种完。

四一班
有
（ ）名同学，一共种了（ ）
棵树。

6、我校数学活动小组，女生的人数比男生的人数的少2人，如果女生增加3人，男生减少1
人，那么女生的人数比全组人数的多3人，求原来男女生的人数。

7、丰台二中进行小测（数学），一共10道题。

每
做对一道得8分，错一道扣5分。

一位同学得了41分。

问那位同学对几道，错几道？
8、在全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，W队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平场得1分，那么该队共胜了多少场？
9、甲、乙两池共存水40吨，甲池注水4吨，乙
池出水8吨后，两池水恰好相等，求甲、乙两池原有多少吨水？10、若干人开会，分坐于几条长凳上，如果5人
坐一条长凳，则有2人没有凳坐，如果6人坐
一条长凳，则其余4条凳正好每条凳坐4人，
求人数与凳数。

（每题10分，共100分）
1、现在，王刚妈妈的年龄是王刚年龄的4倍．4
年后，王刚妈妈的年龄是王刚年龄的3倍，那
么王刚和他妈妈现在的年龄分别
是．
2、王老师把几本《数学大世界》让学生们阅读．若
每人3本则剩下3本．若每人5本，则有一位
同学分不到书看．总共有个同学，
本书．
3、王老师把几本《数学大世界》让学生们阅读．若
每人3本则剩下3本．若每人5本，则有一位
同学分不到书看．总共有个同学，
本书．
4、（2006，南京）某停车场的收费标准如下：中
型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车
费为4元/辆，现在停车场有50辆中、小型汽
车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型
汽车各有多少辆？
5、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，
改进生产技术后，第二季度生产这两种机器共
554台，其中甲种机器的产量要比第一季度增
加10%，乙种机器的产量要比第一季度增加
20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多
少台？
6、某校150
名学生
参加数
学考试，
平均每
人55分，
其中及
格人数
人均77
分，不及
格人数
均47分，
求及格、
不及格
的人数
各多
少？
7、李白无事
街上走，
提壶去
买酒，遇
店加一
倍，见花
喝一斗
（斗为
古代盛
器皿），
三遇店
和花喝
完壶中
酒，问壶
中原有
多少斗
酒？
8、老师给同学分图画纸，如果每人分3张，则缺2张，如果每人分5章，则缺32张，有多少名学生？一共有多少张图画纸？
9、运动会上同学们到检录处检录，如果每张长椅上坐8人，则剩下50人没有座位，如果每张长椅上坐12人，则空出10个座位，如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？
10、某学生预计若干天看完一本书，如果他每天看32页，则有31页来不及看，如果他每天看36页，则最后1天须看39页才可看完，问这本书有几页？预计几天看完？
知识点一：基本概念 例5.1.1：打折概念
（1）一只钢笔原价30元，现打8折出售，现售价是 元.
小结：（1）原价一般指标价，现售价一般简称现价，即售价，原价（标价）×折扣=现价（售价）
（2）标价：标出的价格，不一定是实际价格，也可能等于售价；
变式训练1：
一件服装原价是120元，按原价打8折售出， 则这件服装实际售价是 元。

变式训练2：
一个书包，打9折后售价45元，原价 元.
例5.1.2：提价、降价概念
原价100元的商品提价40%后的价格为
元；
小结：提价a%后的价格：现价=原价×（1+a%） 降价a%后的价格：现价=原价×（1-a%）
变式训练1：
原价100元的商品提价P %后的价格为
元； 变式训练2：
原价X 元的商品降价40%后的价格为 元；
例5.1.3：利润、利润率概念
一件衬衫进价是80元，售价是100元，则这件衬衫的利润是 元，利润率是 .
小结：（1）利润=售价-
进价（成本）
（2）利润：卖出价格扣除成本价格的剩
余
，即赚的实际钱数； （3）
利
润
率
=
利润
进价（成本）
×100%
（4）
利润率：即赚的实际钱数与投入成本的百分比；
变式训练1：
某件商品进价100元，售价
150元，则其利润
是
元，利润率
是 .
变式训练2：
某商品进价是1000元,标价为1500元,商店要求利润是200元,则商品应打几折进行销售?
变式训练3：
某商品进价是1000元,标价为1500元,商店要求按利润率是5%的售价出售,则此商品需打几折?
变式训练4：
一只钢笔原价30元，现打8折出售，现售价是 元；如果这支钢笔的成本价为12
元，那么不打折前商家每支可以获利
元，打折之后，商家每支还可以获利 元
例5.1.4：盈利、亏本概念
一件商品成本价是250元，一季度按定价300元出售，问一季度每件商品盈利________元，盈利_________%；二季度按定价的6折出售，问二季度每件商品是盈利还是亏损，盈（亏） _______元，盈（亏）________%
小结：（1）盈利即是赚钱，盈利的钱数相当于利润，盈利的百分比相当于利润率； （2）亏损即是赔钱，亏损的钱数相当于负 利润，亏损百分比=
100%´亏损钱数
成本
变式训练1：
某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了120元，其中一个盈利20%，成本是_________元，盈利______元；另一个亏本20%，成本是_____元； 亏本_______元；
例5.1.5：单利润、总利润概念
读题填图：小张和小王购进了同一类书，进价都是每本10元.小张按标价15元的8折出售，一天售出1000本书；小王按标价的9折出售，一天售出500本书.问：小张小王一天内的利润分别是多少？请填下表： 单价：（元） 项目 姓名 每本进价 每本售价 每本利润
利润率 总利润 小张 小王
小结：销售总利润=销售单利润×销售数量
变式训练1：
某服装店销售A 、B 两种款式的衣服，两种款式的衣服标价都是150元，A 款式的成本每件100元，B 款式的成本每件120元。

服装店对A 款衣服按标价8折出售，一天售出20件；对B 款式衣服按标价的9折出售，一天售出30件.问：一
天A 、B 两种款式衣服的总利润是多少？
请填下表： 单价：（元）
项目 姓名 每件进价 每件售价 每件利润 利润率 总利
润
A 款
B 款
知识点二：概念综合应用（列方程解）
例5.2.1： 打折与利润
一件服装标价200元
①按标价的8折销售，仍可获利20元，该服装的进价是 元； ②按标价的8折销售，仍可获利10%，该服装的标价是 元
小结：（1）
谨记按售价-进价
（成本）=利润这个关系式列方程
（2）
设要尽量设单位“1”，成本是利润率的单位。