专题5 分式有意义还是无意义（含答案）

第二章 分式
专题5 分式有意义还是无意义
知识引入：
古希腊有位著名哲学家——苏格拉底。

有人问苏格拉底：“怎样对同一间题从不同角度去看，才能得出不同的结论呢？”苏格拉底便问他：“你说一个干净人，一个脏人，他们谁需要洗澡呢？”那人说：“肯定是脏人。

”苏格拉底说：“错了，是干净人要洗，脏人不习惯洗澡，而干净人习惯洗澡。

现在你再说他们谁要洗澡呢？”那人说：“是干净人。

”苏格拉底说：“也错了，是脏人要洗，他很脏，有必要洗；而干净人没有必要洗。

现在你知道谁要洗澡了吧。

”那人说：“两人都洗。

”苏格拉底说：“你还是错了，他们都不需要洗，干净人根本不需要洗，而脏人又不习惯洗澡！”到底谁要洗澡？答案并不重要，但苏格拉底考虑问题全面的这种精神，值得我们学习。

知识解读
1.分式有意义、无意义条件
（1）分式有意义的条件：分母的值不等于零。

（2）分式无意义的条件：分母的值等于零。

2.分式值的讨论（值为零、值为正数、值为负数、值为1、值为一1）对于分式
B
A
来说， （1）若
B
A
的值为0，则00≠=B A 且； （2）若
B A
的值为正数，则;0000⎩
⎨⎧><⎩⎨⎧>>B A B A 或 （3）若B A
的值为负数，则⎩⎨
⎧><⎩⎨⎧<>0000B A B A 或； （4）若
B A
的值为1，则；且00≠=B A （5）若B
A
的值为一1，则0=+B A 且0≠B .
培优学案
【典例示范】
一、分式有（无）意义中的“且”与“或”
例1 求分式
x
--1111有意义的条件。

【提示】此题中含有两重分母，它们必须都不为0，分式才有意义。

【解答】
【技巧点评】
在解题的时候，可能只认为x -1是分母，忽略x
--
11
1也是分母，造成漏解，得到错误的答案为1≠x .
跟踪训练1
1、（希望杯试题）要使分式
x
x -11
有意义，则x 的取值范围是（ ）； A. 0≠x ； B.0≠x 且1≠x ； C.0≠x 或1±≠x ； D.0≠x 且1±≠x ；
例2 当x 取何值时，分式4
52
322++++x x x x 有意义？
【提示】对一个分式来说，当分母不等于零时，分式有意义。

【解答】
【技巧点评】
如果分母是一个多项式，应尽可能因式分解，化成几个整式乘积的形式，然后利用“0≠abc ，则0≠a 且0≠b 且0≠c ”这一结论列出不等式组解决问题，注意这里用的是“且”不是“或”。

分式是否有意义，只与分母是否等于0有关，与分子没有任何关系.
跟踪训练2
2.（1）当x 为何值时，分式
)
2)(1(2
-+-x x x 有意义？
（2）当x 取什么值时，分式6
51
222+---x x x x 没有意义？
二、分式值的讨论 1.分式的值为0
例3 当x 取何值时，分式1
1
2--x x 的值为零？
【提示】分式的值等于零的条件分式的分子等于零而分母不等于零。

【解答】
【技巧点评】
必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式值的情况。

如果分式的分子、分母都含有字母，那么只有当分母的值不为0时，这个分式才有意义。

所以在考虑分式的值时，一定要排除分母中的字母取某些值使分母的值为0的情况。

跟踪训练3
3.要使分式2
4
2--a a 的值为零，则a 的值为 。

2.分式值为士1的讨论
例4 当=x 时，分式5
3
4-+x x 的值为1-. 【提示】由于分式
5
3
4-+x x 的值为-1，所以这个分式的分子、分母互为相反数，因此0)5()34(=-++x x ，解得5
2
=x 。

【技巧点评】
分式
1-=B
A
，则A 与B 互为相反数，同时也需要检验分式是否有意义。

跟踪训练4
4.分式x
x x --221
的值有没有可能等于1？
3.分式值为正数（负数）的讨论
例5 若分式
a
a
++13的值为正，则a 的取值范围是（ ） A 、1->a ； B 、3-<a ； C 、13<<-a ； D 、1->a 或3-<a 【提示】要使分式的值为正，分子、分母必须同号。

【解答】
【技巧点评】
这是一道讨论当x 满足什么条件时，分式值正负的问题。

当
0>B A
时，则B A ,同号，即⎩⎨⎧>>0
0B A 或⎩
⎨
⎧<<00
B A 跟踪训练5 5.分式
2
3
+-x x 的值为负数，求x 的取值范围。

4.分式值为整数的条件
例6 若分式
1
2
22
--x x 的值为整数，求整数x 的值. 【提示】先将这个分式化简，化简为，再讨论2除以哪些整数，结果仍然是整数。

【解答】
【技巧点评】
形如
1
2
+x 型分式的值是否是整数讨论的时候，可讨论2除以哪些整数后结果仍然是整数，无论什么分式问题，都需要讨论分式是否有意义. 跟踪训练6
6.能使分式3
222)2()2()
4()2(3-+--x x x x 的值为正整数值的整数x 的个数为 （ ）
A 、1个；
B 、2个；
C 、3个；
D 、无数个 【拓展延伸】
例7 当分式212
x
x -+的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围. 【提示】
212x x -+化成会A
B
的形式. 【解答】
【技巧点评】 （1）当会
A
B ＞0时，则A ，B 同号，00A B ⎧⎨⎩＞＞或00A B ⎧⎨⎩
＜＜；
（2）当
A
B ＜0时，则A ，B 异号，即00A B ⎧⎨⎩＞＜或00A B ⎧⎨⎩
＜＞；
（3）当
A
B
＝0时，则A ＝0且B ≠0. 跟踪训练7
7．当x 为何值时，分式21
1
x x -+的值大于1、等于1、小于1？
【竞赛训练】
例8 若分式
21
2x x m
-+不论x 取任何实数总有意义，则m 的取值范围是 .
【提示】要证明分式总有意义，则需要证明分母220x x m -+≠.
跟踪训练8 8．已知分式23
5x x x a
--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ；当a ＜6时，使分式无意义
的x 的值共有个.
培优训练
直击中考
1．★下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A ．2211m m +-
B . 2211
m m -+
C . 211
m m +-
D . 211
m m ++
2．★（2017·山东淄博）若分式11
x x -+的值为零，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．2
3．太当x 时，分式
1
5
x -+的值为正；当x 时，分式一的值为负. 4．★若a ，b 满足条件 时，分式的值为0. 5．★若分式
3
3x
--的值为正整数，则整数x 的取值为 . 6．★如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米.
7．★已知分式228
3
x x -+.
（1）当x 取什么值时，分式有意义? （2）当x 取什么值时，分式为零？ （3）当x 取什么值时，分式的值为负数？
8．★当x 为何值时，分式
5
9
x -的值为－1？
9．★★★★（2017·浙江杭州）若
33
=
11
m m
m
m m
--
⋅
--
，求m的值.
挑战竞赛
1．★★（希望杯试题）若a使分式
24
13
1
2
a
a
a
-
+
+
没有意义，那么a的值应是（）
A．0B．1
3
或0C．±2或0D．
1
5
-或0
2．★当x＝时，分式
2
2
4
54
x
x x
-
+-
的值为零.
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