《广义变分原理》第一章

变分原理的定义和分类
举例
例如：
1 p ij eij d f i ui d p i ui dS min S 2
1 约束条件： eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
利用Lagrange乘子构造一个新的泛函：
1 eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
即为协调律
本构律仍为非泛函的约束条件。
结论：最小余能原理的极值条件反映了物体的 协调律。
第一节
变分描述
小结
小结：
变分描述和求解弹性力学边值问题成
为可能且有效，并可推广到塑性力学和连
续介质力学问题中去。同时也为各种数值
第三节
变分原理的优点
优点
3、能提供近似解
通常以某种积分加权平均形式去近似微分关
系式。
例如：对基本微分方程取逼近方程；对边
界方程采用某中范围内的放松。
4、提供某些问题精确解的上、下限
描述这一过程的定理统称为变分原理。
第二节
变分原理的定义和分类
分类
分类：
1、自然变分原理 (a)物理意义明确（例最小势能原理、最小余 能原理）; (b)约束条件; (c)极值原理。 且对自变函数的连续性和可导性有一定的要求。
2、广义变分原理
(a)某种程度上放松约束的变分原理； (b)驻值原理。
第二节
'
1 p ij (ui. j u j .i ) eij d i (ui u i )dS Stationary S 2
称为新的泛函的广义泛函。
第二节
变分原理的定义和分类
举例
对于新的泛函而言：自变函数可以是 广义函数，或具有不连续，由此广义泛函 应用更广了。 由 ' 0 驻值条件得到的解答将和由
第一章
绪论
பைடு நூலகம்
变分描述
§1-1 弹性力学问题的变分描述
弹性力学边值问题两种平行的数学描述： 1、微分描述
2、变分描述
第一节
变分描述
微分描述
一、微分描述 （一）平衡律 ---反映物体的平衡规律
ij , j f i 0 ij n j p i () ( S )
（二）协调律---反映物体的连续条件
( S )
第一节
变分描述
最小余能原理
（二）最小余能原理
c B( ij )d ij n j ui dS min
Su
约束条件：
ij , j f i 0 ij n j p i () ( S )
第一节
变分描述
最小余能原理
由 c 0 得：
理。例最小势能原理和最小余能原理。
（一）最小势能原理
1 p ij eij d f i ui d p i ui dS min S 2
u i 为自变函数，是“容许位移”，受协调律的约束。
1 eij (ui , j u j ,i ) 约束条件： 2 ui u i ( ) ( Su )
p 0 的解答是相同的。
由此丰富了离散模型（如有限元法） 的形态和解法。这也是重视广义变分原理 研究的主要原因。
第一章
绪论
变分原理的优点
§1-3 变分原理的优点
1、变分原理中的泛函不随坐标而变（例能量泛函） 能反映微分描述困难的问题（例受集中荷 载）；常用的变分原理具有一定的物理意义；应 用范围广。 2、存在一族彼此等价的变分原理 带有约束的变分原理可以采用待定的 Lagrange乘子法转换为比原来更易求解的各种等 价的变分原理，使得具有求解更灵活和多样。
1 eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
( S )
（三）本构律---反映物体的本构关系
ij dijklekl , eij bijkl kl
第一节
变分描述
最小势能原理
二、变分描述
弹性力学边值问题的变分描述最早见于能量原
第一章第一章绪论绪论变分描述变分描述1微分描述2变分描述第一节变分描述微分描述一微分描述一平衡律反映物体的平衡规律二协调律反映物体的连续条件三本构律反映物体的本构关系klijklijklijklij第一节变分描述最小势能原理二变分描述弹性力学边值问题的变分描述最早见于能量原理
第一节 第二节 第三节
弹性力学边值问题的变分描述 固体力学中变分原理的定义和分类 变分原理的优点
方法的发展打下理论基础。
第一章
绪论
变分原理的定义和分类
§1-2 固体力学中变分原理的定义和分类
定义：考察物体存在下列形式的泛函
(ui ) F (ui , ui , j , )d E (ui , ui , j , )dS
S
由 (ui ) 0 求得问题的解答。
第一节
变分描述
最小势能原理
由 p 0 得：
ij , j f i 0 ij n j p i () ( S )
即为平衡律
结论：选取 u i 事先满足协调律，分析过程又 遵循本构律，最小势能原理的极值条件就反映用能 量形式的平衡律。
但本构律 ij i dijklekl , eij Bijkl kl 为非泛函的约束条件。