课时作业12：2．4.1 抛物线及其标准方程

§2.4 抛物线
2．4.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )
A ．开口向上，焦点为(0,1)
B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116
C ．开口向右，焦点为(1,0)
D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭
⎫0，116 2．若抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的左焦点重合，则a 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．－8 D ．4
3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．4 4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于点A .若|AF |＝3，则点A 的坐标为( )
A ．(2,22)
B ．(2，－22)
C ．(2，±22)
D ．(1，±2)
6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A ．(－1,0)
B ．(1,0)
C ．(0，－1)
D ．(0,1)
二、填空题
7．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．
8．以双曲线x 216－y 2
9
＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 9．已知抛物线y 2＝2x 上一点P (m,2)，则m ＝________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．
10．已知抛物线y 2＝4x 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是________．
三、解答题
11．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭
⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．
12．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．
答案精析
1．B [由y ＝4x 2得x 2＝14
y ，∴开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116.] 2．C [由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，
∴抛物线开口向左且p 2
＝2，∴p ＝4， 故方程为y 2＝－8x ，∴a ＝－8.]
3．C [抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2
，它与圆相切，所以必有 3－⎝⎛⎭
⎫－p 2＝4，p ＝2.] 4．D [a 2x 2＋b 2y 2＝1，可化为x 21a 2＋y 2
1
b 2
＝1， 因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，其表示焦点在y 轴上的椭圆；而ax ＋by 2＝0可化为y 2＝－a b
x ，其表示开口向左的抛物线，故应选D.]
5．C [∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，
∴A 点的横坐标为2，代入抛物线方程中得纵坐标为±22，故选C.]
6．B [抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p 2
＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.]
7．y 2＝－4x
解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，
则有－p 2
＝－1，得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝－4x .
8．y 2＝16x
解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29
＝1， ∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，
则p 2
＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x . 9．2 52
解析 将(m,2)代入抛物线中得4＝2m ，
得m ＝2，
由抛物线的定义可知点P 到抛物线的焦点F 的距离为2＋12＝52
. 10．2
解析 设AB 中点为M ，准线为x ＝－1，
焦点F (1,0)，过M 作准线的垂线MN ，
作AC 垂直准线于C ，
BD 垂直准线于D ，则：MN ＝AC ＋BD 2
， 由抛物线的性质 ：AC ＝AF ，BD ＝BF ，
所以MN ＝AF ＋BF 2
， AF ＋BF ≥AB ，当AB 过F 点时，
满足AF ＋BF ＝AB ，
所以，MN ≥AB 2
，又AB ＝6， 所以，MN ≥3，设M 到y 轴的距离为d ，显然有：d ＝MN －1，所以，d ≥2，
即AB 中点M 到y 轴最短距离为2.
11．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线
方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为
x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差
2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 2
3
4
＝1. 12.解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标
系(如图)．
设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)，
由题意知(4，－5)在抛物线上，
故：16＝－2p ×(－5)，
所以p ＝85
， 则抛物线的方程是x 2＝－165
y (－4≤x ≤4)， 设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航，
设B (2，y ′)，所以22＝－165y ′⇒y ′＝－54
，
即水面与拱顶相距为0.75＋54
＝2(米)，
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船不能通航．
13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线为x ＝－p 2
.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵|AF |＋|BF |＝8，
∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2
＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .
∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，
∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2 ＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，
又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，
∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.
∵AB 与x 轴不垂直，
∴x 1≠x 2.
故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，
即p ＝4.
从而抛物线方程为y 2＝8x .。