第36讲 极坐标与参数方程-学案

一.自我诊断 知己知彼
1. 若圆M
的方程为，则圆M 的参数方程为 ． .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,
31,
x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．
3在极坐标系中，点（2，
6
π
）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为
，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．
5．直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是cos ,
(1sin ,
x y θθθ⎧=⎪⎨
=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ．
二.温故知新 夯实基础
1．平面直角坐标系
42
2
=+y x C 4cos 14sin x a y θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0
>,0
>,'
'λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=0
,tan 2
22x x y
y x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程
4.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数
的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)
()
(t g y t f x 就是曲线的参数方程．
5．常见曲线的参数方程和普通方程
三.典例剖析 举一反三
考点一 坐标系
（一）典例剖析
例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos 24sin 30ρθρθ+-=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．
（二）举一反三
1. 已知圆C
的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C
的交点的直角坐标为 ． 2. 将曲线
22
132x y +=按ϕ：
变换后的曲线的参数方程为（ ）
A. B. C.
D.
3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2
=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 .
4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,
,42A B ππ⎛
⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
．
（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．
考点二 参数方程
（一）典例剖析
例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建
cos ,
(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩
l sin 1ρθ=l
立平面直角坐标系，直线L
的参数方程是12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的
极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6
()sin
6x t t y t ππ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．
（二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．
2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==t
y t x 3（t 为参数），则1
C 与2C 交点的直角坐标是 ． 3. 参数方程sin cos 2x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．
),(n m n m +
4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值
为 .
考点三 综合问题
（一）典例剖析
例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，
0απ≤<），曲线C 的参数方
程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值.
例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π
，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =
P 的极坐标．
例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为
，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.
（二）举一反三
例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是
（t 是参数），以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．
例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 (α为参数)，以平面直角坐标系的原
点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3
AOB π
=，求
AOB 的面积的最大
值.
例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是
（α为参数），以该直角坐标系的原点O
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.
四.分层训练 能力进阶
【基础】
1. 曲线⎩
⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．
2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ⑴⎩⎨
⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t
y t
x 431（t 为参数）
3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t t
y t x ⎩⎨
⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是
A ．
5
1 B ．
5
2 C ．
54 D ．
5
6 4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+
π
θρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ
⎩
⎨
⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．
5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平
面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==t m x t y 2
22
2（t 是参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值．
【巩固】
1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.【2018天津卷12】)已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，
直线1,2
32
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .
3.【2018天津卷11】在极坐标系中，直线4ρcos (θ-6
π
)+1=0与圆ρ= 2sinθ的公共点的个数为 。

4.【2019全国2卷理22】在极坐标系中，O 为极点，点M ),(00θρ（00>ρ）在曲线C ：θρsin 4=上，
直线l 过点A )0,4(且与OM 垂直，垂足为P . （1）当3
0π
θ=
时，求0ρ及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
5.【2018全国2卷理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数），直线l 的参
数方程为 (t 为参数)
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1,2），求l 的斜率。

【拔高】
1. 在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为
(t 为参数),若以该直角坐标系的原点O 为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 . (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程
(2)已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设F(1,0),求
的值
2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2+cos ,sin P αα（α为参数）.以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，
取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
（1）求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
11
3. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆 已知曲线1C 上的点
)23,
1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3
,1(π
D （1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点),(1θρA ，)2
,(2π
θρ+B 在曲线1C 上，求
22
2
1
1
1
ρ
ρ
+
的值
4.【2019全国1卷理22文22】在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）. 以
坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.
直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点. （1）直线l 与曲线C 的直角坐标方程; （2）求C 上的点到l 距离的最小值.
5.【2018全国1卷理22文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为2+=x k y .以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为03cos 22
=-+θρρ.
（1）求C 2的直角坐标方程；
（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.
12。