高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何

离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程
s AB 3i 3 j 6k 是路程向量, 故
W F s 4i 2 j 2k 3i 3 j 6k 18 .
设 F 与 s 的夹角为 ，因为
F s
18
1
cos
Fs
42 22 22
32 (3)2 62 2 ,
所以,
F
与
s 的夹角为
π 3
.
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
Ⅴ： x＞0 y＞0 z＜0
Ⅵ Ⅵ： x＜0 y＞0 z＜0
Ⅶ： x＜0 y＜0 z＜0
Ⅷ： x＞0 y＜0 z＜0
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
➢向量与点的坐标：
故规定:
既
是向量 的坐标
z
R(0,0, z)
又是点 的坐标. C(x, o, z) 坐标面上的点A、B、C
io
k
r
j
u
prju bn
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
例 设 正 四 面 体 的 两 条 棱 分 别 为 OA 和 AB , 且
OA a ,求 OA 在 AB 方向上的投影 Prj OA . AB
解 如图所示,记 OAB ,有 cos cos π 1 ,于
32
是 Prj OA OA cos a .
x x1, y y1, z z1 x2 x, y2 y, z2 z
z
从而
OM
x, y, z
(
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
)
1 1 1
A
B
M y
这就是点 M 的坐标
O
x
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
数量积 ➢定义：
W F S cos
M1
F
s
M2
a b a b cos(a,b)
cos(a,b) a b ab
prjab
b
cos(a,b)
a
b
cos(a, b )) a
ab a
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
➢性质：① a (b c) a b a c
② ab ba
③ (a) b (a b)
④ 设a (ax , ay , az ),
b
(bx
,by
,
bz)
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
方向角:
与三坐标轴的夹角 , ,
方向余弦: cos x
r
x x2 y2 z2
cos y r
y ,
x2 y2 z2
cos
DMU
z
r
o
y
xz
x2 y2 z2
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
方向余弦的性质:
cos2 cos2 cos2
1, (cos, cos , cos )
M2
则 M1M2 OM 2 OM1 (x2, y2, z2 ) (x1, y1, z1)
平a行向0,量则对a应// b坐标b成 比例a(x：2 x1, y2 y1, z2 z1)
(bx ,by ,bz ) (ax , ay , az )
bx ax
by ay
bz az
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
即
32 32
y y
12 12
z z
22 22
42
y
y 22 z 52 z 12,
22 ,
解得
y z
1, 2,
故所
求点
坐标为 (0,1, 2)
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
•方向角与方向余弦
称 =∠AOB (0≤≤ ) 为向量
a
,b
的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
第一节 向影 prju b b cos(b,u)
b
M1
M1M2 cos
N1
若 aN 1N(2x,或y,(zb))u N1N2
则（a）x x,
(a) y
y,
(a)z
z
prju (b1 b2 bn ) prju b1
DMU
M2
N2
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
[行列式]
a11 a21
可得
Prj b
a=
b
=3.
（4）由 a b =
a
Prj a
b
可得
Prj a
b=
ab |a|
=
3. 2
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
例 一质点在力 F 4i 2 j 2k 的作用下,从 A2,1, 0 移动到
点 B 5, 2, 6 ,求 F 所做的功及 F 与 AB 间的夹角.
解 由 数 量 积 的 定 义 知 , F 所 做 的 功 是 W Fs , 其 中
ABCD 是平行四边形 DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
空间直角坐标系与向量的坐标分解
定理 a 为非零向量 , 则 a∥b 注:零向量与任何向量平行.
( 为唯一实数)
➢数轴的建立: 给定一个点和一个单位向量就可以建
立一条数轴. 如给定点O及单位向量 可建立x 轴.
➢向量与点的坐标：
故规定: 既是向量的坐标又是点的坐标.
axbx ayby azbz
a b(a 0, b 0) a b 0
axbx ayby azbz 0
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
例
a
5, b 2,
a, b
π 3
，求
a
b
及向量
u
a
2b
的模.
解 由已知可得
a b a b cos a,b 5 2 cos π 5 , 3
(cos
,
cos
,
cos
)
2(
1 2
,
2 , 1) (1, 22
2,1) .
再 设 P2 的 坐 标 为 x, y, z ， 于 是 有 P1P2 (x 1, y, z 3) , 故
(x 1, y, z 3) (1, 2,1) ,即 x, y, z 2, 2,2 或 2, 2,4 . DMU
π 4
和
π 3
,如果
P1
的坐标为
(1,0,3)
,求
P2
的坐标.
解
设向 量 P1P2 的方向 角为 , , . 由已知
π , cos 1 ,
3
2
π ,cos 2 , 又 因 为 cos2 cos2 cos2 1, 所 以 cos 1 . 于
4
2
2
是 P1P2
P1 P2
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
•空间直角坐标系[O; i , j, k ]
• 坐标原点 • 坐标轴
z z 轴(竖轴)
• 坐标面
Ⅲ
Ⅱ • 卦限(八个)
Ⅳ
Ⅶ
x
x轴(横轴) Ⅷ
yOz 面
OxOy面
Ⅴ
Ⅰ： x＞0 y＞0 z＞0
Ⅰ Ⅱ： x＜0 y＞0 z＞0
y
Ⅲ： x＜0 y＜0 z＞0
y轴(纵轴) Ⅳ： x＞0 y＜0 z＞0
向量积
c ab c b c a
O
F
M1
c a b sin(a,b)
M ➢性质：
b
a
c
① ab ba ② a (b c) a b a c
③ (a) (b) (a b)
a // b(a 0,b 0) a b 0
ab 0
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
➢向量积的坐标表示：
例 已知两点 A x1, y1, z1 和 B x2, y2, z2 以及实数 1在直线 AB 上
求一点 M 使 AM MB
解
设 所 求 点 为 M x, y, z
则 AM (x x1, y y1, z z1)
MB (x2 x, y2 y, z2 z) 依题意有 AM MB 即
角 ；（3） a 在 b 上的投影（4） b 在 a 上的投影.
解 （1） a b 111 (2) (4) 2 9.
（2）因为 cos
axbx ayby azbz
1 , 所以 3π .
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
2
4
ab
（3）由 a b
=
b
Prj a b
坐标轴上的点P、Q、R x P(x,0,0)
DMU
B(0, y, z)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
•向量的模及两点间的距离公式
a (ax, ay , az )
OM a
a
ax2 ay2 az2
设 M1(x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2 )
2
u u u a 2b a 2b
2
2
aa 2ab 2ba 4bb a 4ab 4 b
52 45 4 22 21，
所以 u 21 .
DMU
第二节 数量积 向量积 混合积
例 a 1,1, 4 ， b 1, 2, 2 ，求（1） a b ；（2） a 与 b 的夹
设 a {ax , ay ,az}, b {bx ,by ,bz}
则 a axi ay j azk b bxi by j bzk
ab
(axi
ay
j
azk ) (bxi
by
j
bzk )
(a
ybz
azby )i
(azbx
axbz )
j
(axby
aybx )k
i jk
ax ay az bx by bz
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量.
M2
单位向量: 模为 1 的向量,记作 a 或 a . M1
则 M1M2
x
z
M (ax, ay , az ) a o
y
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
例 在 yOz 面上，求与三点 A(3,1, 2) , B(4, 2, 2) , C(0,5,1)
等距离的点．
解 所求点在 yOz 面上，设为 P(0, y, z) ,点 P 与三点 A, B,C 等距
r
r
r
例 已知
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解 M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
2π , 3
DMU
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 ,
2
cos 2
2
π, 3
3π 4
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
例 设有向量 P1P2 ,已知 | P1P2 | 2 ,它与 x 轴和 y 轴的夹角分别为
AB
2
O
AA
C B
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量的坐标运算
a (ax , ay , az ) , b (bx , by , bz ) M1
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax , ay , az )
O
设 M1(x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2 )
三角形法则可推广到多个向量相加 .
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
➢ 向量的减法
a
三角不等式
•
向量与数的乘法 与 a 的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
1可a见 a; 1a a ;
运算律 : 满足结合律、分配律.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
例 u 2a b 2c,v a 4b c ，试求 4u 3v .