2017版高考数学(江苏专用理科)专题加练半小时专题10计数原理、概率与统计89

1．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 1
2的概率也均为0.2，若记V (ξ1)、V (ξ2)分别
为ξ1，ξ2的方差，试判断V (ξ1)与V (ξ2)的大小关系．
2．(2015·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的概率分布和均值．
3．某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩(满分60分)，统计后获得成绩数据的茎叶图(以十位数字为茎，个位数字为叶)，如图所示．
(1)分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好； (2)从这两组数据中各取2个数据，求其中至少有2个满分(60分)的概率；
(3)规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X 表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X 的概率分布及均值．
4．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的概率分布与均值； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
5．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2
3，中
奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为7
9，
求P 0；
(2)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
答案解析
1．解 由已知可知E (ξ1)＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，
E (ξ2)＝0.2·(x 1＋x 22＋x 2＋x 32＋x 3＋x 42＋x 4＋x 52＋x 5＋x 1
2)＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，
∴E (ξ1)＝E (ξ2)，
V (ξ1)＝0.2{[x 1－E (ξ1)]2＋[x 2－E (ξ1)]2＋…＋[x 5－E (ξ1)]2}
＝0.2(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－[E (ξ1)]2
，
V (ξ2)＝0.2{[x 1＋x 22－E (ξ2)]2＋[x 2＋x 32－E (ξ2)]2＋…＋[x 5＋x 1
2－E (ξ2)]2}
＝0.2[(x 1＋x 22)2＋(x 2＋x 32)2＋…＋(x 5＋x 12)2
]－[E (ξ2)]2，
∵(x 1＋x 22)2＋(x 2＋x 32)2＋…＋(x 5＋x 12
)2
＝2x 21＋2x 22＋…＋2x 25＋2x 1x 2＋2x 2x 3＋…＋2x 1x 54<2x 21＋2x 22＋…＋2x 25＋2x 21＋2x 22＋…＋2x 254
＝x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 2
5，
∴V (ξ1)>V (ξ2)．
2．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，
C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意知，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2
＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.
因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，
所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝1
5
，
P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝2
5×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝7
10
.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为1
5，所以
X ～B ⎝⎛⎭
⎫3，1
5.于是 P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125
， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的概率分布为
X 的均值为E (X )＝3×15＝3
5
.
3.解 (1)甲、乙两组数据平均数分别为51.5,49， 甲班的客观题平均成绩更好． (2)设从这两组数据中各取2个数据， 其中至少有2个满分为事件A ，
则P (A )＝C 22C 29＋C 12C 18C 19＋C 19
C 210C 2
10＝775
. (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4 P (X ＝0)＝C 410
C 420＝14323
P (X ＝1)＝C 310·C 110
C 420＝80323
P (X ＝2)＝C 210·C 210C 420＝135
323
P (X ＝3)＝C 110·C 310
C 420＝80323
P (X ＝4)＝C 410
C 420＝14323
所以X 的概率分布为
E (X )＝0×14323＋1×80323＋2×135323＋3×80323＋4×14
323
＝2.
4.解 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)．根据题意，P (A i )＝1
13，
且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．
(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5＋A 8. 所以P (B )＝P (A 5＋A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝2
13.
(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且
P (X ＝1)＝P (A 3＋A 6＋A 7＋A 11)＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝4
13，
P (X ＝2)＝P (A 1＋A 2＋A 12＋A 13)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝4
13，
P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝5
13.
所以X 的概率分布为
故X 的均值E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝12
13.
(3)从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大． 5.解 (1)由已知得，张三中奖的概率为2
3，
李四中奖的概率为P 0， 且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝2
3
P 0，
所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝7
9，
所以P 0＝1
3
.
(2)设张三、李四都选择方案甲抽奖的中奖次数为X 1， 都选择方案乙抽奖的中奖次数为X 2，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的均值为E (3X 2)． 由已知可得，X 1～B (2，2
3)，X 2～B (2，P 0)，
所以E (X 1)＝2×23＝4
3，E (X 2)＝2P 0，
从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝8
3，
E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0.
若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<4
9，
若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒4
9<P 0<1，
若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝4
9
.
综上所述，当0<P 0<4
9时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大；
当4
9<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖时， 累计得分的均值较大；
4
当P0＝
9时，他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的均值相等．。