高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.2.2圆周角定理课件新人教B版选修4_1

数是30°.
【答案】 30°
[质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1：
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解惑：
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解惑：
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【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形.先求弦所对的圆心角度 数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数.
【尝试解答】
如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
∵OD⊥AB，OD 经过圆心 O，
【命题意图】 本题主要考查圆周角定理的推论及直角三角形的射影定理.
【解析】
如题图，连接 AC、BC，则∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，AD＝5DB，
∴CD2＝AD· DB，∴CD＝
5DB.
又 AD＋DB＝AB＝2AO，
∴AO＝3DB，∴OD＝2DB，
∴tan
θ＝O CD D＝
5 2.
【答案】
5 2
类型二 与圆周角定理相关的证明 (辽宁高考)如图 1-2-24，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外
接圆于点 E.
图 1-2-24
(1)证明：△ABE∽△ADC；
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似.
(2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小. (2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小.
【提示】 不一定相等.一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所 对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对 的圆周角既相等又互补.
2.在推论 2 中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立 吗？
【提示】 不成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是 不相等的.
[自主· 测评] 1.如图 1- 2- 20，CD 是⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，
图 1- 2- 20
若∠ABD＝20°，则∠ADC 的度数为( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
︵
︵
【解析】 ∵∠ABD＝20°，∴AD的度数为 40°，从而AC的度数为 140°，
∴∠ADC＝70°.
【答案】 D
2.在△ABC
圆心角为(
)
A.22.5°
C.90°
中，AB＝AC，AB⊥AC，⊙O
B.45° D.不确定
是△ABC
︵ 的外接圆，则AB所对的
︵ 【解析】 ∵∠ACB＝45°，∴AB所对的圆心角为2∠ACB＝90°.
【答案】 C
3.如图 1- 2- 21， A、 B、 C 是⊙O 的圆周上三点， 若∠BOC＝3∠BOA， 则∠CAB 是∠ACB 的______________________________________倍.
[再练一题] 2.如图 1-2-25，△ABC 内接于⊙O，高 AD、BE 相交于 H，AD 的延长线交 ⊙O 于 F，求证：BF＝BH.
图 1-2-25
【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AHE＝∠C. ∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.
[真题链接赏析]
【尝试解答】
(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以A AB E＝A AD C ，即 AB· AC＝AD· AE.
又 S＝1 2AB· ACsin∠BAC 且 S＝1 2AD· AE，
故 AB· ACsin∠BAC＝AD· AE，
则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为△ABC 内角，所以∠BAC＝90°.
1.解答本题(2)时关键是利用 AB·AC＝AD·AE 以及面积 S＝12AB·ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值.
2.利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性， 寻求相关的圆周角作为桥梁； (2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形 中处理相关问题.
∴此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
[再练一题]
︵
︵
︵
1.已知如图 1- 2- 23，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，点 D 是BC上任意一点，
AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求 DE 的长.
图 1- 2- 23
︵︵ 【解】 ∵AB＝AC， ∴∠ADB＝∠CDE.
︵︵ 又∵BD＝BD， ∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴CADD＝BEDD.即63＝E5D. ∴ED＝2.5cm.
图 1- 2- 21
【解析】 ∵∠BOC＝3∠BOA， ︵︵
∴BC＝3AB， ∴∠CAB＝3∠ACB.
【答案】 3
4.如图
1- 2- 22
︵ 所示， 两个同心圆中， CmD的度数是
小圆半径
︵ r＝2，则AnB的度数是________.
30°， 且大圆半径
R＝4，
图 1- 2- 22
︵
︵
︵
【解析】 AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度
疑问 2：
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解惑：
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疑问 3：
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(教材 P17 练习 T3) 已知如图 1-2-26：CD 是△ABC 的中线，AB＝2CD，∠B＝60°.求证：△ABC 外接圆的半径等于 CB.
图 1-2-26
图 1-2-27
如图1-2-27，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂 足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tan θ 的值为________.
∴AD＝BD＝5
2
3 cm.
︵
︵
∵∠AOB＝120°，∴劣弧AEB的度数为 在 Rt△AOD 中，
OD＝ OA2－AD2＝52cm，
120°，优弧ACB的度数为
240°.
∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.
∴∠AEB＝12×240°＝120°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝60°.
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阶1.2圆周角定理
段 一
学业分1.2圆周角定理
层
测
阶1.2圆周角定理
评
段
二
1.理解圆周角定理及其推论. 2.能用圆周角定理及其推论解决有关问题.
3.圆周角定理的推论 推论 1 直径(或半圆)所对的圆周角都是 . 推论 2 同弧或等弧所对的圆周角 . 推论 3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的 .
[思考·探究直]角 1.圆的一条弦所对的圆周角都相等相吗等？ 直径