广东省东莞七中2012-2013学年高二数学下学期3月月考试卷 文(含解析)新人教A版

2012-2013学年广东省东莞七中高二（下）3月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．
1．（5分）函数y=2x2+1在闭区间[1，1+△x]内的平均变化率为（）
A．1+2△x B．2+△x C．3+2△x D．4+2△x
考
点：
变化的快慢与变化率．
专
题：
计算题．
分
析：
直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．
解
答：
解：函数y=f（x）=2x2+1在闭区间[1，1+△x]内的平均变化率为：
=．
故选D．
点评：本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．
2．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）
A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数
考
点：
反证法．
专
题：
计算题．
分
析：
用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．
解答：解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，
故选C．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
3．（5分）函数y=sinx的图象上一点处的切线的斜率为（）
A．1B．C．D．
考
点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专
题：
计算题．
分
析：
求出函数y=sinx在处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率．
解
答：
解：因为函数y=sinx，所以导函数y′=cosx，
函数y=sinx的图象上一点处的切线的斜率为：y′=cos=．
故选D．
点
评：
本题考查导数的几何意义，考查导数的求法，计算能力．
4．（5分）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）
A．c os2x B．﹣cos2x C．s inxcosx D．2cos2x
考
点：
简单复合函数的导数．
专
题：
导数的概念及应用．
分
析：
直接利用基本初等函数的求导公式和简单的符合函数的求导法则运算．
解答：解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．
故选D．
点评：本题考查了简单复合函数的求导法则，对于复合函数的导数运算，一定不要忘记对内层函数求导，此题是基础题．
5．（5分）各项都为正数的数列{a n}中，a1=1，a2=3，a3=6，a4=10猜想数列{a n}的通项（）A．B．C．D．
考
点：
归纳推理．
专
题：
阅读型；探究型．
分根据题目给出的数列{a n}的前四项，把每一项变形为含有项数和常数的形式，然后进
析：行归纳猜想数列{a n}的通项．
解
答：
由此归纳猜测数列{a n}的通项．故选A．
点评：本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，是基础题．
6．（5分）函数y=3x﹣x3的单调递增区间是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
考
点：
利用导数研究函数的单调性．
专
题：
导数的概念及应用．
分
析：
解f′（x）＞0即可得到函数f（x）的单调递增区间．
解答：解：∵函数y=3x﹣x3，∴f′（x）=3﹣3x2=﹣3（x+1）（x﹣1）．令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜1．
∴函数y=3x﹣x3的单调递增区间（﹣1，1）．
故选A．
点
评：
熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．
7．（5分）（2013•河池模拟）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．C．D．
考利用导数研究函数的单调性．
点：
专
题：
数形结合．
分析：根据导函数图象可知，函数在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论．
解答：解：根据导函数图象可知，函数在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A
故选A．
点评：本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题．
8．（5分）函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）
A．1B．C．0D．﹣1
考
点：
利用导数求闭区间上函数的最值．
专
题：
计算题．
分析：先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．
解答：解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）
令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）
当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，∴当x=时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）=1
故选A．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，属于基础题．
9．（5分）由直线x=1，x=2，曲线y=x2及x轴所围图形的面积为（）A．3B．7C．D．
考
点：
定积分在求面积中的应用．
专
题：
计算题．
分析：先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：解：先根据题意画出图形，
曲线y=x2，直线x=1，x=2及 x轴所围成的曲边梯形的面积为：
S=∫12（x2）dx
而∫12（x2）dx=（）|12=﹣=∴曲边梯形的面积是
故选C．
点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题．
10．（5分）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f（n）表示这n条直线交点的个数，f（n）=（）
A ．B
．
C
．
D
．
考
点：
进行简单的合情推理．
专
题：
规律型．
分析：首先由图可得f（4）的值，进而逐一给出f（3），f（4），…，的值，分析可得从n ﹣1条直线增加为n条直线时，交点的数目会增加n﹣1，即f（n）=f（n﹣1）+n﹣1，然后利用数列求和的办法计算可得答案．
解答：解：如图，4条直线有5个交点，故f（4）=5，
由f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
分析可得，从n﹣1条直线增加为n条直线时，交点的数目会增加n﹣1，f（n）=f（n﹣1）+n﹣1，
累加可得f（n）=2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）
==．
故选A．
点评：本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
11．（5分）（2011•合肥模拟）计算= ．
考
点：
定积分．
专
题：
计算题．
分
析：
欲求定积分，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数y=与x轴在0→1所围成的图形的面积即可．
解答：解：根据积分的几何意义，原积分的值即为单位圆在第一象限的面积．∴=，
故答案为：．
点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想，属于基础题．
12．（5分）一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是．
考
点：
定积分．
专
题：
计算题．
分析：先求出v（t）=2t﹣3在t∈（0，5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求．
解
答：
解：∵当时，；
当时，．
∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程
S==（3t﹣t2）+（t2﹣3t）=（米）
故答案为：
点评：本题主要考查了定积分几何意义，以及定积分的应用，解题的关键是弄清位移与路程的区别，属于基础题．
13．（5分）函数在区间[1，e]上的最大值是．
考
点：
利用导数求闭区间上函数的最值．
专
题：
导数的综合应用．
分
析：
先求出函数导数f′（x），即可判断出其单调性，进而求出最大值．
解答：解：∵x∈[1，e]，
∴，
∴函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
∴函数f（x）在x=e处取得最大值，且f（e）=lne+=1+．故答案为．
点
评：
熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
14．（5分）（2013•辽宁一模）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．
考
点：
类比推理．
专
题：
探究型．
分析：立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．
解
答：
解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．
由已知有：PD=，h=PO=，
∴，即．
故答案为：．
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．15．（12分）如图，计算由曲线y=x2+1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S．
考
点：
定积分在求面积中的应用．
专
题：
计算题；函数的性质及应用．
分
析：
先确定积分区间与被积函数，再求原函数，即可求得结论．
解答：解：如图，由y=x2+1与直线x+y=3在点（1，2）相交，…（2分）
直线x+y=3与x轴交于点（3，0）…（3分）
所以，所求围成的图形的面积
==
点
评：
本题考查利用定积分求面积，先确定积分区间与被积函数，再求原函数是关键．
16．（14分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．
考
点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专
题：
计算题．
分析：（I）求出函数f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为函数f（x）的单调递增区间．
（II）列出当x变化时，f′（x），f（x）变化状态表，求出函数在[﹣2，2]上的极值及两个端点的函数值，选出最大值和最小值．
解答：解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）
令9x2﹣9＞0，（4分）解
此不等式，得x＜﹣1或x＞1．
因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）
当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：
x ﹣2 （﹣2，﹣
1）
﹣1 （﹣1，
1）
1 （1，2）2
f′（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）﹣1 ↑11 ↓﹣1 ↑11
（10分）
从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．
当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）
点评：求函数在闭区间上的最值问题，一般利用导数求出函数的极值，再求出函数在两个端点的函数值，从它们中选出最值．
17．（12分）用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：或中至少有一个成立．
考
点：
反证法与放缩法．
专
题：
证明题．
分
析：
假设且，根据x，y都是正数可得x+y≤2，这与已知x+y＞2矛盾，故假设不成立．
解
答：
证明：假设与都不成立，即且，…（2分）
∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
这与已知x+y＞2矛盾…（12分）
∴假设不成立，即或中至少有一个成立…（14分）
点
评：
本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．
18．（14分）一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？
考
点：
函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．
专
题：
应用题．
分析：若设轮船的速度为x，比例系数为k，（k＞0），则每小时的燃料费为kx3 ，由x=10，可得；从而可得每公里航行费用为y=（96+p）t=
（96+，求导函数，从而可确定函数的最值．
解答：解：设轮船的速度为x千米/小时（x＞0），
则航行1公里的时间为t=小时．
依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为p=kx3，则6=k•103⇒k=，∴p=，
故每公里航行费用为y=（96+p）t=（96+
∴y'=），
由y'=0⇒x=20，
且0＜x＜20时，y'＜0；x＞20时，y'＞0．
∴x=20时，y达到最小值元．
答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小．
点评：本题考查了利用导数求函数最值的应用问题，本题的关键是根据题意，正确列出函数解析式，从而求得结果．
19．（14分）（1）已知等差数列{a n}，（n∈N*），求证：{b n}仍为
等差数列；
（2）已知等比数列{c n}，c n＞0（n∈N*）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．
考
等差关系的确定；类比推理．
点：
等差数列与等比数列．
专
题：
分
析：
（1）由求和公式可得b n==，进而可得b n+1﹣b n为常数，可判为等差数列；
（2）类比命题：若{c n}为等比数列，c n＞0，（n∈N*），d n=，则{d n}为等比数列，只需证明为常数即可．
解
答：
解：（1）由题意可知b n==，
∴b n+1﹣b n=﹣=，
∵{a n}等差数列，∴b n+1﹣b n==为常数，（d为公差）
∴{b n}仍为等差数列；
（2）类比命题：若{c n}为等比数列，c n＞0，（n∈N*），
d n=，则{d n}为等比数列，
证明：由等比数列的性质可得：d n==，
故==为常数，（q为公比）
故{d n}为等比数列
本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题．
点
评：
20．（14分）（2012•广东模拟）已知函数．（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．
利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考
点：
专计算题；综合题．
题：
分
析：
（1）a=1，f（x）=﹣3x+ln（2x+1），x＞﹣，可求得f′（x）=，通过将x、f（x）、f′（x）的变化情况列表可求得函数f（x）极大值和极小值；
（2）求得f′（x）=，通过比较2a与﹣，2a与的大小，分类讨论，利用函数单调性与极值之间的关系即可求得函数f（x）的单调区间．
解答：解：（1）∵a=1，
∴f（x）=﹣3x+ln（2x+1），x＞﹣，
f'（x）=x﹣3+==，…（1分）令f'（x）=0，则x=或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：
x
（﹣，）（，2）
2 （2，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣ 0 +
f（x）↗极大↙极小↗
…（4分）
由上表可得：，
…（5分）
（2）f'（x）=x﹣（1+2a）
+==
令f'（x）=0，则x=或x=2a…（6分）
i、当2a＞，即a＞时，
x
（﹣，）（，2a）
2a （2a，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣ 0 +
f（x）↗↙↗
所以f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…（8分）ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，所以f（x）的增区间为（，+∞）…（10分）
iii、当﹣＜2a＜，即﹣＜a＜时，
x
（﹣，2a）2a
（2a，）（，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）↗↙↗
所以f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…（12分）iv、当2a≤﹣，即a≤﹣时，
x
（﹣，）（，+∞）
f'（x）﹣ 0 +
f（x）↙↗
所以f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（﹣，）…（14分）
综上述：a≤﹣时，f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（﹣，）﹣＜a＜时，f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）
说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分
点评：本题考查利用导数研究函数的极值与单调性，着重考查求函数极值的基本步骤，突出化归思想与分类讨论思想的考查，属于难题．。