高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试

第1讲 不等关系与不等式
[基础题组练]
1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2
<b 2
B ．ab 2>a 2
b C.1
ab 2<
1
a 2b
D ．b a <a b
解析：选C.若a <b <0，则a 2
>b 2
，故A 错；若0<a <b ，则b a >a b
，故D 错；若ab <0，即a <0，
b >0，则a 2b >ab 2，故B 错；故C 正确．所以选C.
2．(一题多解)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2
<－ab B ．|a |<|b |
C.1a >1b
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
解析：选C.法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2
＝－ab ，|a |＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >
1
b
一定成立，故选C.
法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1
b
一定成立，故选C.
3．(一题多解)若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是 ( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n
D ．m <－n <n <－m
解析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m ＜－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．
4．已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1
b
成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出1a <1b .由a >0>b 得1a >1b
，故
能推出1a <1
b
成立的条件有3个．
5．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①若a >|b |，则a 2>b 2
；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b >0，则c a >c b
. A ．3 B ．2 C ．1
D ．0
解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a >b >0，则1a <1b ，当c >0时，c a <c
b
，
故④错误．所以正确的命题只有1个．
6．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值X 围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2
D ．x >2且0<y <2
解析：选C.由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，
得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，
0<y <2， 又xy <4，可得⎩
⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.
7．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1
8．设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c
2；②1a <1
b
；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，则一定成立的
有________．(填正确的序号)
解析：对于①，1
c
2>0，故①成立；
对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④
9．已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫18，14，则a b 的取值X 围是________．
解析：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<a
b
<24，故答案为(4，24)．
答案：(4，24)
10．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x
这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2. 符合题设条件x >y ，a >b .
因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5. 所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．
因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③不成立． 因为a y ＝
3－3＝－1，b x ＝2
－2＝－1， 所以a y ＝b x
，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④
[综合题组练]
1．若6<a <10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值X 围是( )
A ．[9，18]
B ．(15，30)
C ．[9，30]
D ．(9，30)
解析：选D.因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a
2
≤c ≤3a ，因为6<a <10，所以9<c <30.
故选D.
2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b
2
a <log 2(a ＋
b )
B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b
C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2a
D ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2
a
解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝1
8
，log 2(a ＋b )＝
log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2
a .
3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c
a ＋
b <
a
b ＋
c <
b
c ＋a
，则( )
A ．c <a <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <b <a
解析：选A.由c
a ＋
b <
a
b ＋
c <
b
c ＋a
，可得
c
a ＋b
＋1<
a
b ＋c
＋1<
b
c ＋a
＋1，即
a ＋
b ＋
c a ＋b <a ＋b ＋c
b ＋c
<
a ＋
b ＋c
c ＋a
，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a <b .故选A.
4．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )
A ．mn ≥4且p ＋q ≤4
B ．m ＋n ≥4且pq ≤4
C ．mn ≤4且p ＋q ≥4
D ．m ＋n ≤4且pq ≤4
解析：选A.结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩
⎪⎨⎪⎧n ≥2，
m >n ， 即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩
⎪⎨⎪⎧q ≤2，
p ≤q ，即
q <p ≤2或p ≤q ≤2，
所以p ＋q ≤4.
5．已知存在实数a 满足ab 2
>a >ab ，则实数b 的取值X 围是________． 解析：因为ab 2
>a >ab ，所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧b 2
>1，
b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2
<1<b ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧b 2
<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)
6．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则c
a
的取值X 围为________．
解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪
⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a
≤3，
1＋b a >c
a ，
1＋c a >b a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c
a
≤3，
－1<c a －b a <1，
两式相加得，0<2×c a <4，所以c a
的取值X 围为(0，2)．
答案：(0，2)。