[K12学习]2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系1练习题无答案
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系2三角形中角的关系授课
导引：有一个角是直角的三角形就是直角三角形，已 知∠ACB＝90°，CD⊥AB，可得到∠ADC＝ ∠CDB＝90°.
解： 图中直角三角形有：Rt△ABC，斜边为AB； Rt△ADC，斜边为AC；Rt△DBC，斜边为BC.
感悟新知
总结
知1－讲
找直角三角形就是找直角，找斜边也是找直角．
感悟新知
的三角形叫做钝角三角形．
要点精析：
(1)从角的角度判断三角形的形状，主要看最大的内角即 可，最大的内角为锐角、直角、钝角，则三角形的形
状分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；
感悟新知
(2)直角三角形夹直角的两边为直角边，直角的对边
知1－讲
为斜边，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2．三角形按角的大小可分为：
谢谢观赏
You made my day!
④直角三角形一定不是等腰三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
感悟新知
导引：紧扣三角形分类的标准进行辨析.
知1－练
①锐角三角形的三个角都为锐角，锐角小于 90°，故正确；
②等边三角形的三个角都为 60°，所以它是锐角三角形，故 正确；
③对于顶角是钝角的等腰三角形，不满足题设条件，故错误；
④直角三角形可能是等腰三角形，三角尺中就有一个是等腰 三角形的直角三角形，故错误.故选B.
(2)已知：∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C＝_____.
2 已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D.
(1)写出图中所有相等的角；
(2)写出图中所有直角三角形，
并指出它们的斜边.
课堂小结
三角形中角的关系
1. 任意一个三角形的三个内角和都等于180°，这一性质 是三角形中角的关系的一个非常重要的性质，当已知 三角形的两个内角时，可以很容易求出第三个角．例 如，在△ABC中，如果∠A＝30°，∠B＝90°，那么 ∠C＝180°－ ∠A－∠B＝180°－30°－90°＝60°.
[K12配套]2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系第2课时三角形
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第2课时三角形中角的关系知识要点基础练知识点1三角形按角的分类1.下列说法正确的是(B)A.所有的等腰三角形都是锐角三角形B.等边三角形属于等腰三角形C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形2.下列关于三角形分类不正确的是(整个大方框表示全体三角形) (C)知识点2三角形的内角和3.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为(B)A.30°B.40°C.50°D.60°4.在△ABC中,若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C的度数为(C)A.10°B.30°C.50°D.80°5.一个三角形的三个内角度数的比是2∶3∶4,那么这个三角形是锐角三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)6.在△ABC中,∠A-2∠B=20°,∠A+∠B=110°,求∠A,∠B,∠C的大小.解:因为∠A-2∠B=20°,∠A+∠B=110°,所以∠A=80°,∠B=30°,在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-30°=70°.综合能力提升练7.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C,能确定△ABC是直角三角形的条件有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个8.在一个三角形的三个内角中:①最少有两个锐角;②最多有一个直角;③最多有一个钝角.说法正确的有(D)A.0个B.1个C.2个D.3个9.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点P为△ABC内的一点,且∠PBC=∠PCA,∠BPC=110°,则∠A的大小为(A)A.40°B.50°C.60°D.70°【变式拓展】如图,已知∠1=20°,∠2=27°,∠A=52°,则∠BDC的度数是99°.10.在三个内角互不相等的△ABC中,最小的内角为∠A,则在下列四个度数中,∠A最大可取(B)A.30°B.59°C.60°D.89°11.在△ABC中,∠A+∠B=150°,∠C=3∠A,则∠A=10°.12.如图,在△ABC中,∠A=75°,直线DE分别与边AB,AC交于D,E两点,则∠1+∠2= 255°.13.如图,在△ABC中,∠A=155°,第一步:在△ABC的上方确定点A1,使∠A1BA=∠ABC,∠A1CA=∠ACB;第二步:在△A1BC的上方确定点A2,使∠A2BA1=∠A1BA,∠A2CA1=∠A1CA;…,则∠A1= 130°;照此继续,最多能进行6步.14.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠AED=50°,CD平分∠ACB,求∠CDE的度数.解:∵DE∥BC,∠AED=50°,∴∠ACB=∠AED=50°,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACB=25°,∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=25°.15.如图,在△ABC中,BC边不动,点A是一个动点.当点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减少α度,∠B增加β度,∠C增加γ度,请写出α,β,γ三者之间的等量关系,并说明你是如何得到的.解:α=β+γ,依题意得(∠A-α)+(∠B+β)+(∠C+γ)=180°,∴∠A-α+∠B+β+∠C+γ=180°,∴∠A+∠B+∠C-α+β+γ=180°,又∵∠A+∠B+∠C=180°,∴α=β+γ.16.如图,A点在B处的北偏东40°方向,C点在B处的北偏东85°方向,A点在C处的北偏西45°方向,求∠BAC及∠BCA的度数.解:因为∠DBA=40°,∠DBC=85°,DB∥CE,所以∠ECB=180°-85°=95°,∠ABC=85°-40°=45°,因为∠ECA=45°,所以∠BCA=95°-45°=50°,所以∠BAC=180°-50°-45°=85°.拓展探究突破练17.已知AD与BC相交于点O.(1)如图1,试探究∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系;(2)若∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E,如图2,试探究∠A,∠C,∠E之间的数量关系.解:(1)在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,又因为∠AOB=∠COD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.(2)由(1)的结论可知∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠EBC,所以∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠EBC.又因为BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,所以∠ABE=∠EBC,∠ADE=∠CDE,所以∠A+∠C=2∠E.。
第13章,三角形的边角关系,命题与证明基础知识总结
第13章,三角形的边角关系,命题与证明基础知识总结三角形的边角关系，命题与证明基础知识总结三角形作为几何学中的重要概念，其边角关系及命题与证明是我们学习几何的基础知识之一。
在这一章节中，我们将总结三角形的边角关系以及相关的命题和证明方法。
1. 三角形的基本概念在开始讨论三角形的边角关系之前，我们先来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中三条线段被称为三角形的边，而通过边连接的角则是三角形的内角。
三角形的内角和为180度。
2. 三角形的边角关系在三角形中，有一些重要的边角关系需要我们掌握。
首先是三角形的内角和定理，即三角形的三个内角之和为180度。
这个定理应用广泛，可以帮助我们推导出其他三角形的性质。
另外一个重要的边角关系是三角形的对角线和比例定理。
根据该定理，如果在两个三角形中，三个角分别相等，那么三个边的比例也应该相等。
这个定理可以用来解决一些三角形的相似性问题。
3. 三角形的命题与证明在几何学中，命题与证明是必不可少的。
在三角形中，我们可以通过命题来表达一些三角形的性质，然后通过证明来证明这些性质的真实性。
举个例子，假设我们有一个三角形ABC，命题可以是“三角形ABC 的两边之和大于第三边”。
然后我们可以通过构造具体的图形以及运用基础几何性质来进行证明。
具体的证明过程可以通过构造辅助线、利用三角形的内角和等性质等方法来进行。
此外，还有一些常见的三角形命题，比如角平分线定理、垂直平分线定理等。
通过学习这些命题并能够熟练地进行证明，有助于我们进一步掌握三角形的性质和理解几何推理的过程。
总结：三角形的边角关系、命题与证明是几何学中的基础知识。
我们需要掌握三角形的内角和定理、对角线和比例定理等重要的边角关系，并且能够应用这些关系解决三角形的相似性问题。
同时，我们还需要学会通过命题来表达三角形的性质，并能够通过证明来验证这些性质的真实性。
通过不断的练习和应用，我们可以更好地掌握三角形的边角关系以及命题与证明的基础知识，为学习更高级的几何学知识奠定坚实的基础。
2018年秋八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.2 命题与证明 第3课时
第3课时三角形的内角和的证明知识要点基础练知识点1三角形的内角和定理的证明与辅助线1.如图,在证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是(D)A.数形结合B.特殊到一般C.一般到特殊D.转化知识点2直角三角形的两锐角互余2.在Rt△ABC中,∠B是直角,∠C=22°,那么∠A的度数是(C)A.22°B.58°C.68°D.112°3.如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,求∠BAD的度数.解:∵AC⊥BD,∠1=∠2,∴∠1=45°,∠ACB=90°,∵∠D=40°,∴∠CAD=50°,∴∠BAD=∠1+∠CAD=95°.知识点3有两个角互余的三角形是直角三角形2 24.三角形有一个角的度数是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是 (C ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .无法确定5.如图,点E 是△ABC 中AC 边上的一点,过点E 作ED ⊥AB ,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC 是直角三角形吗?为什么?解:△ABC 是直角三角形.理由如下:∵ED ⊥AB ,∴∠ADE=90°,△ADE 是直角三角形. ∴∠1+∠A=90°.又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°, ∴△ABC 是直角三角形.综合能力提升练6.如图,AB ∥CD ,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D 的大小为(B)A .65°B .55°C .45°D .35°7.如图,△ABC 的角平分线CD ,BE 相交于点F ,∠A=90°,EG ∥BC ,且CG ⊥EG 于点G.下列结论:①∠CEG=2∠DCB ;②CA 平分∠BCG ;③∠ADC=∠GCD ;④∠DFB=∠CGE.其中正确的结论有 (C)A.1个B.2个C.3个D.4个8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是 (C ) A .25° B .20° C .15° D .10°【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点B 在AE 上,那么图中的∠ABC= 75° .39.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AC ≠AB ,AD 是斜边BC 上的高,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E ,F ,则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是 (A ) A .3 B .4 C .5 D .610.如图,在△ABC 中,∠ACB=68°,若P 为△ABC 内一点,且∠1=∠2,则∠BPC= (D ) A .68° B .120° C .92° D .112°11.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为AB 边上的高,∠ABC 的平分线BE 分别交CD ,CA 于点F ,E ,则下列结论正确的是 (A)①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠A=∠4;④∠2与∠5互余. A .①③④ B .②③④ C .①②④ D .①②③ 12.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= 360° .13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为 45°或135° .14.如图,已知∠AOD=30°,点C 是射线OD 上的一个动点.在点C 的运动过程中,△AOC 恰好是直角三角形,则此时∠A 所有可能的度数为 60°或90° . 15.如图,BD ,CE 是△ABC 的高,BD 和CE 相交于点O.(1)图中有哪几个直角三角形?(2)图中有与∠2相等的角吗?请说明理由.4 4(3)若∠4=55°,∠ACB=65°,求∠3,∠5的度数.解:(1)直角三角形有:△BOE ,△BCE ,△ACE ,△BCD ,△COD ,△ABD. (2)与∠2相等的角是∠1.理由如下:∵BD ,CE 是△ABC 的高,∴∠1+∠A=90°,∠2+∠A=90°,∴∠1=∠2, ∴与∠2相等的角是∠1. (3)∵∠ACB=65°,BD 是高,∴∠3=90°-∠ACB=90°-65°=25°,在△BOC 中,∠BOC=180°-∠3-∠4=180°-25°-55°=100°, ∴∠5=∠BOC=100°.16.在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD ⊥AB 于点D ,CE 是△ABC 的角平分线. (1)求∠DCE 的度数;(2)若∠CEF=135°,求证:EF ∥BC.解:(1)∵∠B=30°,CD ⊥AB , ∴∠DCB=90°-∠B=60°. ∵CE 平分∠ACB ,∠ACB=90°,∴∠ECB=∠ACB=45°,∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.(2)∵∠CEF=135°,∠ECB=∠ACB=45°,∴∠CEF+∠ECB=180°, ∴EF ∥BC.拓展探究突破练17.如图,在△ABC 中,O 是高AD 和BE 的交点.(1)观察图形,试猜想∠C 和∠DOE ,∠C 和∠AOE 之间具有怎样的数量关系?请说明理由. (2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为 相等或互补 .(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.解:(1)连接OC ,∵AD ⊥BC ,BE ⊥AC ,∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,∴∠ACO+∠COE+∠BCO+∠COD=180°,即∠ACB+∠DOE=180°.∵∠DOE+∠AOE=180°,∴∠ACB=∠AOE.(2)提示:两种情况分别如图所示.(3)设较小的角为α,则另一个角为3α-60°,∴α+3α-60°=180°或α=3α-60,解得α=60°或30°.5。
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课
感悟新知
例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC， 知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间 的关系和面积之间的关系解题.
感悟新知
解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
感悟新知
知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形内部，如图，这 个点叫做三角形的重心．
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
感悟新知
知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以 下作法正确的是( )
感悟新知
知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，
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13.1三角形中的边角关系练习题
一、精心选一选！
1. 以长为3cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数是
（ ）.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
2、 工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是（ ）.
（A ）两点之间线段最短 （B ）长方形的对称性 （C ）长方形的四个角都是直角 （D ）三角形的稳定性
3、 （）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5
4如图所示，图中三角形的个数为（ ）.
1.
b) （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 5）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
6一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）
c) A ．17 B ．13 C ．17或13 D ．7或3
7．如图2，以BC 为公共边的三角形的个数是（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
8如果线段a b c ，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ） Ａ．1:2:4 Ｂ．1:3:4 Ｃ．3:4:7 Ｄ．2:3:4 9．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ） Ａ．3，7，5
Ｂ．3x ，4x ，()50x x > Ｃ．5，5，()010a a <<
Ｄ．2
a ，2
b ，()2
0c
a b c >>>
10已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大
小不同的三角形的个数是（ ）
Ａ．5 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．10
二、耐心填一填！
1、一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，第三边的长是一个奇数，则第三边长为__________.
2、如图给出的是用长度相等的火柴棒拼成的由三角形组成的图形，如果从左向右将各图形依次称作第1个，第2个，第3个，第4个，…那么拼成第n 个图形需要的火柴棒的根数是________.
3、三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有__________________。
4、两根木棒的长分别为7cm 和10cm ．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x （cm ）的范围是______．
5、ABC △中，6a =，8b =，则周长P 的取值范围是______．
6、a b c ，，是ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边，若4a λ=，3b λ=，14c =，则λ的取值范围是______．
7、若a b c ，，为ABC △的三边，则
a b c
a b c
---+______0（填“＞，＝，＜”）．.
三、用心想一想！
1、若三角形的三边长都是正整数，一边长为4，但它不是最短边，写出9种满足所有条件的三角形的三边长.
2、阅读下列材料并填空： 平面上有n 个点（2n ≥），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…… （2）归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数S n ，发现：
（3）推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线.取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －1）种取法，所以一共可连成n （n －1）条直线，但AB 与BA 是同一条直线，
故应除以2，即(1)
2n n n S -=
. （4）结论：(1)
2
n n n S -=
试探究以下问题：
平面上有n （3n ≥）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（1）分析：当仅有3个点时可作_______个三角形；当有4个点时，可作______个三角形；当有5个点时，可作______个三角形；……
n （4）结论：
3、如图所示，P 是△ABC 内一点，连结PB 、PC ，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小。
4、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简b a c a c b c b a --+--+--，若a =5，b =4，9-=c ，求这个式子的值。
第21题图P
A
C。