【初三数学】福州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷(含答案解析)

人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试
一、选择题
1、sin30°＝( )
A. B. C. D.
2、cos45°的相反数是（）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3、如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则的值等于
A．B． C． D．
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD 的值为（）
A． B． C． D．
5、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）
A． B． C． D．
6、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为
A． 1 B．C．D．
7、若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( )
A.B.C.D.
8、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）
A．4 B．6 C．8 D．10
10、一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1.2，太阳光线与地面的夹角∠ACD ＝60°，则AB的长为( )
A．12 B．0.6 C.D.
11、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（）
Ａ、ＡＢ的长为４００米；Ｂ、ＡＦ的长为１０米；
Ｃ、填充的土石方为19200立方米；Ｄ、填充的土石方为384立方米
12、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
二、填空题
13、计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
14、在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=3，则
cosB= ．
15、如图，的正切值等于 .
16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高
AB=__________]m．
17、等腰△ABC中AB=AC，AC的垂直平分线DE与直线AB相交于点D,垂足为E，连接CD，已知AD=10cm，tan∠ADE=，则AC的长度是．
18、在△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC= ．
19、某山坡的坡度为1：0.75，则沿着这条山坡每前进l00m所上升的高度为__________m．
20、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE=__________．
21、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留
整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）
三、计算题
22、 2 si n30°－3 tan 45°＋4 cos 60°.
23、计算：.
四、简答题
24、如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小
岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）
25、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：
≈1.414，≈1.732）
26、如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米．椅子展开后最大张角∠CBD=37°，且BD=BC，AB：BG：GC=1：2：3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
（1）求∠CGF的度数；（2）求座面EF与地面之间的距离．（可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989）
27、如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°
≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
28、为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A 点和底端B点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
29、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
30、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．
（1）求点D到直线AB的距离；
（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？
（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．
参考答案
一、选择题
1、B
2、A
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：cos45°=，
相反数为：﹣．故选A．
3、C【考点】锐角三角函数【试题解析】
∵AC=4，BC=3，∴AB=5∴sinB=【答案】C
4、A【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．
【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B==，故选A．
5、D【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
故选：D．
6、D【考点】锐角三角函数
【试题解析】在边长为1的小正方形组成的网格中，把∠ABC 放在直角三角形中,对边和斜边分
别为3、4，因此tan∠ABC=
【答案】D
7、C
8、B【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵i==，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB==6米，故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
9、D【考点】解直角三角形．
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，
∴AB===10，故选D
10、C 11、C 12、D
二、填空题
13、4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+．
14
．
【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先画出图形，根据勾股定理和余弦函数的定义解答．【解答】解：如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=3，由勾股定理可得：BC=2，
∴cosB==．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比
边．
15、
16、 5.5
17、16或36
18、6 ．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意做出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，可求出AD 的长度，然后根据勾股定理求出BD的长度，继而可求出BC的长度．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，
∵sin∠ABC==0.8，
∴AD=5×0.8=4，
则BD==3，
∴BC=BD+CD=3+3=6．
故答案为：6．
19、80m．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示：
AB=100m，tanB=1：0.75．
则AC：BC=4：3，
设AC=4x，BC=3x，
由勾股定理得：AB==5x，
解得：x=20，
则AC=80m．
故答案为：80．
【点评】此题主要考查坡度坡角的定义、勾股定理的运用；理解坡度坡角的定义，由勾股定理得出AB是解决问题的关键．
20、2．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵∠B=∠BAD=30°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AD=4，
∵∠BAD=30°，
∴DE=AD=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【解析】
试题分析：如图，∠A BD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
三、计算题
22、0
23、解：原式……………………………………………………………4分
………………………………………………………………………5分
四、简答题
24、；
25、；
26、分析：（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BCD的度数，再根据平行线的性质可得∠CGF的度数；
（2）根据比的意义可得GC=1.2×=0.6m，过点G作GK⊥DC于点K，在Rt△KCG中，根据三角函数可得座面EF与地面之间的距离．
解：（1）∵BD=BC，∠CBD=37°，
∴∠BDC=∠BCD==71.5°，
∴∠CGF=∠BCD=71.5°；
（2）由题意知，AC=1.2m，
∵AB：BG：GC=1：2：3，
GC=1.2×=0.6m，
过点G作GK⊥DC于点K，
在Rt△KCG中，sin∠BCD=，即sin75°=，
∴GK=0.6sin71.5°≈0.57m．
答：座面EF与地面之间的距离约是0.57m．
27、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
在直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米．
28、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）根据已知和tan∠ADC=，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC 求出AB；
（2）根据cos∠ADC=，求出AD，根据cos∠BDC=，求出BD．
【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC=，
∴AC=3•tan60°=3，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=（3﹣3）米．
（2）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=，
∴AD===6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC=，
∴BD===3米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键．
29、【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；
（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE=DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC====米，
BD=BF=x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，
解得：x=4+4，
则AB=（6+4）米．
30、【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；
（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，
∵DC∥AB，
∴四边形DCBG为平行四边形．
∴DC=GB，GD=BC=11．
在Rt△DGH中，
DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，
∴点D到直线AB的距离是6.60km；
（2）根据（1）得：
GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，
在Rt△ADH中，
AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．
AH=DH≈6.60，
∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，
∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．
即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．
人教版九年级下学期第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
一、选择题
1.已知∠A是锐角，且cos A＝，那么∠A等于()
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
2.如图，热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°，看这栋楼的俯角为60°.热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼的高度为()
A．160 m
B．160m
C．(160－160) m
D．360 m
3.若∠A＋∠B＝90°，且cos B＝，则sin A的值为()
A．
B．
C．
D．
4.在Rt△ABC中，若各边长都缩小5倍，则sin A的值()
A．变大
B．变小
C．不变
D．不能确定
5.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则sinα等于()
A．
B．
C．
D．
6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么cosα的值是()
A．
B．
C．
D．
7.如图所示，△ABC的顶点是正方形网络的格点，则tan A的值为()
A．
B．
C．
D．3
8.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为()
A．6sin 50°
B．6cos 50°
C．
D．
9.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则AB的长是()
A．2
B．8
C．2
D．4
10.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡比为i ＝1∶的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为()
A．5 m
B．6 m
C．7 m
D．8 m
二、填空题
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
12.如图，圆锥的母线长为11 cm，侧面积为55π cm2，设圆锥的母线与高的夹角为α，则cosα的值为________．
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，点A、B、O均在格点处，则cos ∠AOB ＝__________.
14.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，则BC＝____________.
15.已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为________．
16.已知α与β互为余角，且cos (115°－α＋β)＝，则α＝__________，β＝__________.
17.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝____________米．
18.若2cosα－＝0，则锐角a的度数为__________．
19.已知cos A＝，其中∠A为锐角，则∠A＝__________.
20.在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为8 m，则树高AB＝____________m.
三、解答题
21.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4,1)，B(－1,3)，C(－4,3)，试求tan B 的值．
22.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.
(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；
(2)探究tan A·cot A的值．
23.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(提示：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)
24.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度(结果保留根号)．
25.如图，锐角△ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值．
26.利用计算器求下列各角(精确到1″)
(1)sin A＝0.75，求∠A；
(2)cos B＝0.888 9，求∠B；
(3)tan C＝45.43，求∠C；
(4)tan D＝0.974 2，求∠D.
27.我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．
(1)求B点到直线CA的距离；
(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)
28.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．
答案解析
1.【答案】A
【解析】∵∠A是锐角，cos A＝，
∴∠A＝30°.
故选A.
2.【答案】B
【解析】由题意可得，
∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，AD＝120 m，
∴tan 30°＝，tan 60°＝，
解得BD＝40，CD＝120，
∴BC＝BD＋CD＝160，
故选B.
3.【答案】B
【解析】由题意得
sin A＝cos B＝，
故选B.
4.【答案】C
【解析】根据锐角三角函数的定义，知
若各边长都缩小5倍，则∠A的大小没有变化，所以sin A的值不变．故选C.
5.【答案】A
【解析】过P作PE⊥x轴于E，
∵P(12,5)，
∴PE＝5，OE＝12，
∴OP＝＝13，
∴sinα＝＝，
故选A.
6.【答案】D
【解析】过A作AB⊥x轴于B，
∵A(4,3)，
∴PB＝3，OB＝4，
由勾股定理得OA＝＝5，
所以cosα＝＝.
故选D.
7.【答案】B
【解析】设每个小正方形边长为1，如图，作BD⊥AC的延长线于D，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，BD＝2，AD＝6，
∴tan A＝＝.
故选B.
8.【答案】D
【解析】∵BC＝6米，∠ACB＝50°，
∴拉线AC的长为＝，
故选D.
9.【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴tan A＝，
∵AC＝4，tan A＝，
∴BC＝AC·tan A＝2，
∴AB＝＝＝2.
故选C.
10.【答案】A
【解析】∵水平距离为4 m，坡比为i＝1∶，
∴铅直高度为×4＝3 m.
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株数间的坡面距离为＝5(m)．
故选A.
11.【答案】
【解析】设a＝x，则c＝4x，
由勾股定理得b＝x，
tan A＝＝，
故答案为.
12.【答案】
【解析】设圆锥底面半径长为r cm，由题意l＝11 cm，由圆锥的侧面及公式，得πrl＝55π.
r＝5.
由勾股定理，得
高为＝4，
cosα＝.
13.【答案】
【解析】如图，连接AB，过A作AD⊥OB于点D，
设每个小正方形边长为1，
∵S△AOB＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，
由勾股定理可得OA＝OB＝，
∴AD＝＝，
∴OD＝，
∴cos ∠AOB＝＝，
故答案为.
14.【答案】4
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，sin B＝，
∴sin B＝＝＝，
得AC＝2，
∴BC＝＝＝4.
15.【答案】
【解析】∵∠α与∠β互补，且∠α＝120°，
∴∠β＝180°－120°＝60°，
sin 60°＝.
16.【答案】80°10°
【解析】∵cos (115°－α＋β)＝，
∴115°－α＋β＝45°，
又∵α与β互为余角，
∴α＋β＝90°，
解得α＝80°，β＝10°.
17.【答案】
【解析】设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2x m，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO＝3x m，
则AO＋BO＝2x＋3x＝3，
解得x＝.
18.【答案】30°
【解析】由2cosα－＝0，得
cosα＝，
则α＝30°.
19.【答案】60°
【解析】∵cos A＝，∠A为锐角，
∴∠A＝60°.
20.【答案】8
【解析】作BD⊥AC于点D，
易得∠ACB＝45°，∠CAB＝30°，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
∴AB＝2DB＝8(m)．
故答案为8.
21.【答案】解如图，AC＝2，BC＝3，
tan B＝＝.
【解析】作出图形，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
22.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；
(2)∵tan A＝，cot A＝，
∴tan A·cot A＝·＝1.
【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；
(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．
23.【答案】解王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
理由：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20 cm，
∴AD＝AC·sin 50°＝20×0.8＝16 cm，
CD＝AC·cos 50°＝20×0.6＝12 cm，
∵BC＝18 cm，
∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，
∴AB＝＝＝，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．
【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．
24.【答案】解作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示，
由已知可得，
AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，
∴AD＝，BD＝，
∴AB＝AD－BD＝－，
即8＝－，
解得CD＝4＋4，
即生命所在点C的深度是(4＋4)米．
【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度．
25.【答案】解过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴×9×AH＝27，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tan B＝＝＝.
【解析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．
26.【答案】解(1)∵sin A＝0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′；
(2)∵cos B＝0.888 9，
∴∠B≈27°16′；
(3)∵tan C＝45.43，
∴∠C≈88°44′；
(4)∵tan D＝0.974 2，
∴∠D≈44°15′.
【解析】直接利用计算器计算即可．
27.【答案】解(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠NAD＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，
∴BH＝BC×sin ∠BCA＝150×＝75(海里)．
答：B点到直线CA的距离是75海里；
(2)∵BD＝75海里，BH＝75海里，
∴DH＝＝75海里，
∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，
在Rt△ABH中，tan ∠BAH＝＝，
∴AH＝25海里，
∴AD＝DH－AH＝(75－25)(海里)．
答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．
【解析】(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；
(2)根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．28.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝60°，∠C＝75°，
∴∠A＝45°，
在△ADC中，AC＝3，
∵sin A＝，
∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，
在△BDC中，∠DCB＝30°，
∵tan ∠BCD＝，
∴BD＝tan 30°×3＝，
∴AB＝＋3.
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
一、选择题
1.在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC是一般锐角三角形
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D中，正确的结论为( )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽( )
A．80tan 36°
B．80tan 54°
C．
D．80tan 54°
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，
其中正确的有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题
6.在△ABC中，若|cos A|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________．
7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sin B＝__________.
8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．
9.在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，那么AC＝__________.
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)
三、解答题
11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，
≈1.732)
13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．
14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．
15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．
(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；
(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.
18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵tan A＝1，sin B＝，
∴∠A＝45°，∠B＝45°.
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C＝90°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B.
2.【答案】B
【解析】由∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，得
A＝B＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－30°＝120°，
故选B.
3.【答案】D
【解析】如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin ∠C＞sin ∠D，故①正确；cos ∠C＜cos ∠D，故②错误；tan ∠C＞tan ∠D，故
③正确，故选D.
4.【答案】A
【解析】∵R在P东偏南36°的方向，
∴∠QPR＝36°，
tan 36°＝，
∵PQ＝80，
∴QR＝tan 36°
PQ＝80tan 36°，
故选A.
5.【答案】D
【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴AC＝BC，
①sin A＝＝；
②cos B＝＝；
③tan A＝＝；
④tan B＝＝，
正确的有②③④，
故选D.
6.【答案】锐角三角形
【解析】由题意得：cos A－＝0,1－tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°.
∴∠C＝180°－60°－45°＝75°.
∴△ABC是锐角三角形．
7.【答案】
【解析】过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4，
由勾股定理得AD＝＝3，
∴sin B＝＝.
8.【答案】
【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果．
根据题意，得该山坡AB的坡度为tan 30°＝.
9.【答案】5
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
∵sin A＝＝，BC＝12，
∴AB＝13，
∴AC＝＝5.
10.【答案】②③④
【解析】如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sin A＝＝，故①错误；
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；
∵∠A＝30°，
∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；
∵∠B＝60°，
∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．
故答案为②③④.
11.【答案】解∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，
将代入方程，得4×2－m×－1＝0，
解得m＝0，
经检验－是方程4x2－1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×()2－m×－1＝0，
解得m＝0，
经检验不是方程4x2－1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.
【解析】分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
12.【答案】解不需要移栽，理由：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝5米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，
∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，
∵2＋3.66＝5.66＜6，
∴不需要移栽．
【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出
DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．
13.【答案】解∵α，β为直角三角形的两个锐角，
∴sinβ＝cos (90°－β)＝cosα＝.
【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答．
14.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠B＝60°，∠C＝75°，
∴∠A＝45°，
在△ADC中，AC＝3，
∵sin A＝，
∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，
在△BDC中，∠DCB＝30°，
∵tan ∠BCD＝，
∴BD＝tan 30°×3＝，
∴AB＝＋3.
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.
15.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan 37°＝，
∴AH＝＝，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x，
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴＝，
∵AC＝CB，
∴AH＝HD，
∴＝x＋5，
∴x＝≈15，
∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35 km，
∴E处距离港口A有35 km.
【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH 中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x ＋5，求出x即可解决问题．
16.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，
∵tan B＝，
∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，
由勾股定理，得c＝＝10.
【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
17.【答案】解(1)∵sinα＝0.501 8，
∴α≈30.119 1°.
∴a≈30°7′9″；
(2)∵tanθ＝5，
∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″.
【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．
18.【答案】解延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，
设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan 37°＝，tan 60°＝，
∴AE＝，BE＝，
∵AE－BE＝AB，
∴＝10，
即－＝10，
解得x≈5.8，
∴DE＝5.8 m，
∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m.
答：GH的长为7.8 m.
【解析】首先构造直角三角形，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，由三角函数得出AE和BE，由AE＝BE＝AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长．
人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
一、选择题
1.在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC是一般锐角三角形
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D中，正确的结论为( )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽( )
A．80tan 36°
B．80tan 54°
C．
D．80tan 54°
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，
其中正确的有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题
6.在△ABC中，若|cos A|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________．
7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sin B＝__________.
8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．
9.在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，那么AC＝__________.
10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)
三、解答题
11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，
≈1.732)
13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．
14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．
15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．
17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．
(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；
(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.
18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)。