北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形的进一步讨论

第三课时§ 2． 1．3 解三角形的进一步议论
一、教课目的
1、知识与技术：掌握在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无解等情况；三角形各样种类的判断方法；三角形面积定理的应用。

2、过程与方法：经过指引学生剖析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定
理，三角函数公式及三角形相关性质求解三角形问题。

3、感情态度与价值观：经过正、余弦定理，在解三角形问题时交流了三角形的相关性质和
三角函数的关系，反应了事物之间的必定联系及必定条件下互相转变的可能，进而从实质上反应了事物之间的内在联系。

二、教课要点：在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情况；三角形各样种类的判断方法；三角形面积定理的应用。

教课难点：正、余弦定理与三角形的相关性质的综合运用。

三、教课方法：探析概括，讲练联合
四、教课过程
Ⅰ. 课题导入
[ 创建情况] 思虑：在ABC中，已
知
a22cm，b25cm， A1330，解三角形。

（由学生阅读课本第9 页解答过程）
此后题的剖析我们发现，在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情况。

下边进一步来研究这类情况下解三角形的问题。

Ⅱ . 探析新课
[ 探究研究 ] ：例 1．在ABC中，已知a,b,A，议论三角形解的状况
剖析：先由 sin B b sin A
可进一步求出 B；a
则
C 1800 (
A
)进而
c
a sin C
B A
1．当 A 为钝角或直角时，一定 a b 才能有且只有一解；不然无解。

2．当 A 为锐角时，
假如 a ≥b，那么只有一解；
假如 a b ，那么能够分下边三种状况来议论：
（1）若a b sin A，则有两解；
（2）若a b sin A，则只有一解；
（3）若 a b sin A ，则无解。

（以上解答过程详见课本第
9: 10 页）
评论：注意在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，只有当
A 为锐角且
b sin A a b 时，有两解；其余状况时则只有一解或无解。

[ 随堂练习 1]
（1）在 ABC 中，已知 a 80 ， b 100，
A 450 ，试判断此三角形的解的状况。

（2）在
ABC 中，若 a 1， c
1
， C
400 ，则切合题意的 b 的值有 _____个。

2
（3）在
ABC 中， a
xcm ， b 2cm ， B 450 ，假如利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。

（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2 x 2 2 ）
例 2．在
ABC 中，已知 a 7 ， b
5 ， c 3 ，判断
ABC 的种类。

剖析：由余弦定理可知
a 2
b 2
c 2 A 是直角
ABC 是直角三角形
a 2
b 2
c 2 A 是钝角 ABC 是钝角三角形
a 2
b 2
c 2 A 是锐角
ABC 是锐角三角形
（注意： A 是锐
角
ABC 是锐角三角形 ）
解：Q72
52 32 ，即 a 2 b 2 c 2 ，
∴ ABC 是钝角三角形 。

[ 随堂练习 2]
（1）在 ABC 中，已
知
sin A :sin B :sin C 1:2:3 ，判断
ABC 的种类。

（2）已知
ABC 知足条件 a cos A b cos B ，判断
ABC 的种类。

（答案：（ 1） ABC 是钝角三角
形
；（ 2） ABC 是等腰或直角三角形）
例 3．在
ABC 中， A 60
， b 1，面积为
3
，求
a b c 的值
2
sin A sin B sin C 剖析：可利用三角形面积定理
S
1
ab sin C
1ac sin B 1 bc sin A 以及正弦定理
2
2
2
a b
c a b c sin A sin B
sin C sin A sin B sin C 解：由 S
1
bc sin A
3
得 c 2 ，
2
2
则 a 2 b 2 c 2 2bc cos A =3，即 a
3 ，
进而a b c a2
sin B sin C sin
sin A A
Ⅲ . 讲堂练习
（1）在ABC中，若a55， b16 ，且此三角形的面积 S2203，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、 c，且三角形的面积
a2b2 c2
S，求角 C
4
（答案：（ 1）600或1200；（ 2）450）
Ⅳ. 课时小结：（ 1）在已知三角形的两边及此中一边的对角解三角形时，有两解或一解或
无解等情况；（ 2）三角形各样种类的判断方法；（ 3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ . 课后作业：（ 1）在ABC 中，已知b4，c10，B300，试判断此三角形的解的情况。

（2）设 x、 x+1、 x+2 是钝角三角形的三边长，务实数x 的取值范围。

（3）在 ABC中，A600，a1，b c2，判断ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm， 5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x 6 0 的根，
求这个三角形的面积。

五、教后反省：。