2024年广东省广州市天河区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市天河区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）
A ．3
-B ．3C ．13-D ．13
【答案】A 【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．
【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，
∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，
故选：A ．
【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键．
2．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A ．4
1.08710⨯B ．410.8710⨯C ．310.8710⨯D ．3
1.08710⨯
3．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；
B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；
C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；
D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；
故选：D ．
4．下列运算正确的是（ ）
A ．()2211
m m -=-B ．()3326m m =C ．734m m m ÷=D ．
257m m m +=【答案】C
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
【详解】解：A. ()2
2121m m m -=-+，原运算错误，本选项不合题意；
B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；
C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；
D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C ．
【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．
5．一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A ．众数
B ．中位数
C ．平均数
D ．方差【答案】D
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）
A．
7550
5
x x
=
-
B．
7550
5
x x
=
-
C．
7550
5
x x
=
+
D．
7550
5
x x
=
+
7．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意；
C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意．
故选 D．
【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键. 8．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距
离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30 ，则教学楼的高度是()
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
18 1.519.5m
AB ∴=+=故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
9．如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=︒，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．105︒
C ．75︒
D ．72︒
．10．如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、
E 两点，设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根的情况是
（ ）
A ．一定有两个相等的实数根
B ．一定有两个不相等的实数根
C ．有两个实数根，但无法确定是否相等
D ．没有实数根
二、填空题
11．方程420x +=的解为 ．
【答案】2
x =-【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．
【详解】420x +=，
24x =-，
解得2x =-，
故答案为：2x =-．
12．因式分解：x 2﹣3x= ．
【答案】x （x ﹣3）
【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）．
考点：因式分解.
13．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 .
【答案】15
【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15.
14．已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =-+上，那么12x x +=
．
15．如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200y x x
=
>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为 ．
16．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且90AFE ∠=︒．
（1）当5BF =时，tan FEC ∠= ；
（2）当AED ∠最大时，DE 的长为
．∴tan tan AFB FEC ∠=∠=
∵矩形ABCD 中，6AB =∴90,90ABF FCE ︒∠=∠=∵90AFE ∠=︒，
∴90AFB EFC ∠=︒-∠=∠∴AFB FEC ∽△△，
三、解答题
17．解不等式：6327x x ->-．【答案】1
x -＞【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】6327x x --＞，
移项，得6237
x x --＞合并同类项，得44x -＞，
系数化为1，得1x -＞．
18．如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．
【详解】∵AB DC ，
∴BAE DCF ∠=∠，
在ABE 和CDF 中
AB DC BAE DCF
AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CDF △≌△．
19．为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
(1)填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
(2)甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有∴相同的概率为：29．
20．已知关于x 的函数()31111
m m y x m m m +=+≠-++图象经过点()1,A m n -．(1)用含m 的代数式表示n ；
(2)当m =k y x
=
的图象也经过点A ，求k 的值．
21．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60A ∠=︒，3AB =．
(1)尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．
【答案】(1)见解析
（2）解：由（1）可得，BP 90AQP ∴∠=︒，
AP AP = ，
()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，
AB AQ ∴=，
22．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =-+-．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)填空：次日0时到8时的最低气温是______；
=+的解析式；
(2)求一次函数y kx b
(3)某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
23．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．
(1)若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛的高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；
(2)设OB x OF =，AB y CD
=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
【答案】(1)2米
(2)1y x =-，说明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；
（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平
24．矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．
(1)如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．
①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；
②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．
(2)如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC
面积的最小值．对称，连接GD，HD，求GDH
（2）根据折叠的性质，得到∵CH CD DH ≤+，
∴4DH CH CD -=≥，
∴当点C ，D ，H 三点共线时，此时GDH 面积的为12GH ⨯【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
25．已知抛物线()2
1:1C y a x h =--，直线()2:1l y k x h =--，其中02a ≤＜，0k >．(1)求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；
(2)若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033
x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；
(3)若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)()()
1,1,2,1--(3)4
k ＞
试题21故抛物线
C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1--．（3）．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h -．
当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点，即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．
故()()2
2121k h h a h h +--+--＞，
整理得：2k a ＞．
又∵2k a ＞，
∴024a ＜＜，
∴4k ＞．。