2022年数学沪科版八年级下《第18章复习》教案

第18章 勾股定理
教学目标：
1.会用勾股定理解决简单问题;
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形;
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题. 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理
教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用 教学过程： 一、出示目标
1.会用勾股定理解决简单问题;
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形;
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题. 二、知识结构图
三、知识点回顾 1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边;
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边; （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题;
（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形:
（1） 先确定最大边（如c ）;
（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系;
（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若
2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形.
3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2
22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2
<+c b a 22，则三
角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数.
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．
例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径． 例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．
分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.
例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且．求
证：△AEF 是直角三角形．
分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证
_________________________________________即可．
例5：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）
分析：将点A 与点B 展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。

”再根据“勾股定理”求出最短路线
五、补充本章注意事项
勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点： 1、要注意正确使用勾股定理
例1 在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=1，3b =，求c 的值.
2、要注意定理存在的条件
例2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC=4，BC=3，求AB 的长.
3、要注意原定理与逆定理的区别
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2
⋅=，求证：△ABC 为直角
三角形.
4、要注意防止漏解
例4 在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c 的值.
5、要注意正逆合用
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。

当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。

例5 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________.
6、要注意创造条件应用
例6 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=.
分析 因为EF 、AE 、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED 到G ，使DG=DE ，连接BG 、FG ，则易证明信BG=AE ，GF=EF ，∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在
Rt △FBG 中，由勾股定理有：2
22BG BF FG +=，从而222BF AE EF +=.
第2课时 二次根式的混合运算
1．了解二次根式的混合运算顺序； 2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：1
2(22＋43)×6＝(2
＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．
他的做法正确的吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的混合运算
计算：
(1)48÷3－1
2
×12＋24； (2)
12
÷43×2
3
－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；
(2) 原式＝
12×34×233
－52＝3
8
×
233－52＝64×233－52＝2
2－52＝ －
92
2. 方法总结：二次根式的混合运算与实数
的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算
计算：
(1)(5＋3)(5－3)；
(2)(32－23)2－(32＋23)2. 解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用
平方差公式计算．
解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；
(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.
方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．
【类型三】 二次根式的化简求值
先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋
xy －y
x －xy
(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.
解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．
解：原式＝
x （x ＋y ）
y （x ＋y ）
＋
y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋y
xy
.
∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232
＝ 6.
方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．
【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这
条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．
解析：根据三角形的面积公式进行计
算．
解：这个三角形的面积为1
2(63＋
22)(33－2)＝1
2×2×(33＋2)(33－
2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.
方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．
探究点二：二次根式的分母有理化
【类型一】 分母有理化
计算： (1)215＋122；
(2)
3－23＋2＋3＋2
3－2
. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再
约分计算；(2)把3－23＋2
的分子、分母同乘
以3－2，把
3＋23－2
的分子、分母同乘以
3＋2，再运用公式计算． 解
：
(1)
215＋12
2
＝
（215＋12）×22×2＝230＋26
2＝30
＋6；
(2)
3－2
3＋2
＋
3＋23－2
＝（3－2）2
（3＋2）（3－2）
＋
（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－26
3－2＋
5＋26
3－2
＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分
母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a＋b，则分子、分母同乘以a－b.
【类型二】分母有理化的逆用
比较15－14与14－13的大小
解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．
解：15－14＝（15－14）（15＋14）
15＋14
＝1
15＋14
，14－13＝
（14－13）（14＋13）
14＋13＝
1
14＋13
.
∵15＋14＞14＋13＞0，
∴
1
15＋14
＜
1
14＋13
即15－14
＜14－13.
方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．
三、板书设计
二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。