湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 二次根式 课件
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只有当被开方数是非负实数时，二次 根式才在实数范围内有意义。
练习游戏： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(4) 12
(5) - m m 0
(6) xy x,y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
练习：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x 5 (x为有理数)
解：二次根式有： 不是二次根式的有：
、4
a ←被开方数
2.二次根式的特征：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 性质1双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例： 下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
运算结果
a
a
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
二次根式 a2的化简：
a，(a 0） a2＝a＝0， (a 0)
a，(a 0)
式子 a 2与 a 2 是一样的吗？
主要区别： 1.运算顺序不同； 2.a的取值范围不同.
2
a
=
a
a ≥0
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
a ≥0
a 取全体实数
比较分析
计算下列各式的值：
(1) 22 __2__，(2)2 __2__； (2) 32 __3__，(3)2 __3__； (3) 02 __0__ .
观察分析：(1) a2中a的取值有没有限制？
（2）当a 0时，a2 __a__； 当a 0时，a2 __-_a_ .
性质3
a a 根据上面的结果， 当a 0时， 你猜测：
2 ———
（1） 72 (2) 132 (3) ( 3 )2 (4) 5
解：
（1） 72 7 (2) 132 13
(0.01)2 (5) (2)2
(3) ( 3)2 3 55
(4) (0.01)2 0.01
(5) (2)2 4 2
观察第5小题， 你猜想一下当a 0时, a2 __-a___
2
(2) ( a ) a (a 0)
(3)
a2
a
a (a a(a
0) 0)
作业
书159页——160页A组1、（1）（2） 3、（1）（2）（3）（ B组 8、（1）
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与 原来的各数有什么关系？
4,2,0, 4 ,0.5 3 9
如果x2=3，那么x=_____3__
把 3 代入式子x2=3，又可得到什么式子呢？
学生回答：（ 3 ）2=3
4.9
（1） 5的平方根是___，0的平方根是____，正实数a的平方根是_____
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火 箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙 速度），才能克服地球的引力，从而将 飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇 宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v2=gR，其中重力加速度常数 g≈9.8m/s2若已知地球半径R，则第一 宇宙速度v是多少？
由于22 4， 因此 4 2， 即 22 ——2—
由于32 9， 因此
9 3， 即
32
3 ———
由于42 16， 因此
16 4， 即
42
4 ———
由于52 25， 因此
25 5， 即
52
5 ———
由于1.52 2.25， 因此 2.25 1.5， 即 1.52 —1—.5—
………………..
5的平方根是 5 ，0的 平方根是0，正实数a的
平方根是 a
因为速度一定大于0，所以
第一宇宙速度 v gR
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念与性质
1.二次根式的定义 上面所看到的一些数的算术平方根，如：
5
a
a gR
5
(a 0)
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式.
二次根号→
a2 1
、3 、3 10
例 当x是怎样的实数时，二次根式 x 5
在实数范围内有意义？
解: 由x 5 0， 解得x 5， 所以当 x 5 时， x 5 在实数范围内有意义.
例 当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
解：由x 1 0，解得
x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
问：如果用字母 a
表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？
那 么
性质2
答：如字母
a 0,
2
a
a
计算
（1） ( 5)2 (2)(2 2)2
解：（1） ( 5)2 5 (2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
2
（1）
3 5
2
（3） 2 7
2
（2） 2 3
2
m n （4）
在实数范围内因式分解：a2 3 解 a2 3 a2 ( 3 )2
( a 3 )( a 3 )
小结
1、什么叫二次根式？
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式.
2、二次根式什么时候有意义 ？
只有当被开方数是非负实数时，二次 根式才在实数范围内有意义。
3、二次根式的三个性质
(1)a 0, a 0 (双重非负性）
如果正方形的面积为a平方厘米，那么它的边长又为 多少呢？
著名的比萨斜塔
意大利物理学家伽利略蹭在比萨斜塔塔 顶上做过著名的自由落体实验，验证了： “地球上同一地点，不同质量的物体从 同一高度同时下落，如果除地球引力外 部考虑其他歪理的作用，那么它们的落 地时间相同，并且物体的下落距离h(m) 与下落时间t(s)之间的关系约为h=4.9t2 或 t h.
（1）4的平方根有哪些？
因为 22 4, 22 4 ，所以4的平方根有两个：2与－2
（2）2的平方根有哪些？
2 和2
（3）0的平方根呢？ 是0 （4）负实数有没有平方根？
由于任何实数的平方都等于正数或0， 因此负实数没有平方根．
魔方的每一个面都是正方形，已知正方形的面积是7 平方厘米，你能算出它的边长吗？
下列各式是二次根式吗?
2n2 1,
2n2 1, ×
在实数范围内,负数没有平方根
计算：
（1） ( 0.3)2 (2)
3
2
5
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
3 5
计算：
(1) - 12 1 1
(2)
2 2Βιβλιοθήκη 52 2 55(3) 3 - 2 3 3
(4) ( (2)2＝ 2 ＝ 2
练习游戏： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(4) 12
(5) - m m 0
(6) xy x,y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
练习：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x 5 (x为有理数)
解：二次根式有： 不是二次根式的有：
、4
a ←被开方数
2.二次根式的特征：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 性质1双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例： 下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
运算结果
a
a
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
二次根式 a2的化简：
a，(a 0） a2＝a＝0， (a 0)
a，(a 0)
式子 a 2与 a 2 是一样的吗？
主要区别： 1.运算顺序不同； 2.a的取值范围不同.
2
a
=
a
a ≥0
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
a ≥0
a 取全体实数
比较分析
计算下列各式的值：
(1) 22 __2__，(2)2 __2__； (2) 32 __3__，(3)2 __3__； (3) 02 __0__ .
观察分析：(1) a2中a的取值有没有限制？
（2）当a 0时，a2 __a__； 当a 0时，a2 __-_a_ .
性质3
a a 根据上面的结果， 当a 0时， 你猜测：
2 ———
（1） 72 (2) 132 (3) ( 3 )2 (4) 5
解：
（1） 72 7 (2) 132 13
(0.01)2 (5) (2)2
(3) ( 3)2 3 55
(4) (0.01)2 0.01
(5) (2)2 4 2
观察第5小题， 你猜想一下当a 0时, a2 __-a___
2
(2) ( a ) a (a 0)
(3)
a2
a
a (a a(a
0) 0)
作业
书159页——160页A组1、（1）（2） 3、（1）（2）（3）（ B组 8、（1）
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与 原来的各数有什么关系？
4,2,0, 4 ,0.5 3 9
如果x2=3，那么x=_____3__
把 3 代入式子x2=3，又可得到什么式子呢？
学生回答：（ 3 ）2=3
4.9
（1） 5的平方根是___，0的平方根是____，正实数a的平方根是_____
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火 箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙 速度），才能克服地球的引力，从而将 飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇 宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v2=gR，其中重力加速度常数 g≈9.8m/s2若已知地球半径R，则第一 宇宙速度v是多少？
由于22 4， 因此 4 2， 即 22 ——2—
由于32 9， 因此
9 3， 即
32
3 ———
由于42 16， 因此
16 4， 即
42
4 ———
由于52 25， 因此
25 5， 即
52
5 ———
由于1.52 2.25， 因此 2.25 1.5， 即 1.52 —1—.5—
………………..
5的平方根是 5 ，0的 平方根是0，正实数a的
平方根是 a
因为速度一定大于0，所以
第一宇宙速度 v gR
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念与性质
1.二次根式的定义 上面所看到的一些数的算术平方根，如：
5
a
a gR
5
(a 0)
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式.
二次根号→
a2 1
、3 、3 10
例 当x是怎样的实数时，二次根式 x 5
在实数范围内有意义？
解: 由x 5 0， 解得x 5， 所以当 x 5 时， x 5 在实数范围内有意义.
例 当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
解：由x 1 0，解得
x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
问：如果用字母 a
表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？
那 么
性质2
答：如字母
a 0,
2
a
a
计算
（1） ( 5)2 (2)(2 2)2
解：（1） ( 5)2 5 (2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
2
（1）
3 5
2
（3） 2 7
2
（2） 2 3
2
m n （4）
在实数范围内因式分解：a2 3 解 a2 3 a2 ( 3 )2
( a 3 )( a 3 )
小结
1、什么叫二次根式？
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式.
2、二次根式什么时候有意义 ？
只有当被开方数是非负实数时，二次 根式才在实数范围内有意义。
3、二次根式的三个性质
(1)a 0, a 0 (双重非负性）
如果正方形的面积为a平方厘米，那么它的边长又为 多少呢？
著名的比萨斜塔
意大利物理学家伽利略蹭在比萨斜塔塔 顶上做过著名的自由落体实验，验证了： “地球上同一地点，不同质量的物体从 同一高度同时下落，如果除地球引力外 部考虑其他歪理的作用，那么它们的落 地时间相同，并且物体的下落距离h(m) 与下落时间t(s)之间的关系约为h=4.9t2 或 t h.
（1）4的平方根有哪些？
因为 22 4, 22 4 ，所以4的平方根有两个：2与－2
（2）2的平方根有哪些？
2 和2
（3）0的平方根呢？ 是0 （4）负实数有没有平方根？
由于任何实数的平方都等于正数或0， 因此负实数没有平方根．
魔方的每一个面都是正方形，已知正方形的面积是7 平方厘米，你能算出它的边长吗？
下列各式是二次根式吗?
2n2 1,
2n2 1, ×
在实数范围内,负数没有平方根
计算：
（1） ( 0.3)2 (2)
3
2
5
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
3 5
计算：
(1) - 12 1 1
(2)
2 2Βιβλιοθήκη 52 2 55(3) 3 - 2 3 3
(4) ( (2)2＝ 2 ＝ 2