(新)高中数学第二章推理与证明2_3数学归纳法课堂探究新人教B版选修2-2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究 新人教 B
版选修 2-2
探究一 利用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明等式时，要注意弄清楚等式两边的构成规律，例如：等式两边的项数
是多少，项的多少与 n 的关系是什么，由 n＝k 到 n＝k＋1 时项数增加多少项，增加怎样的
项等．
【典型例题 1】 用数学归纳法证明：1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋
1 3n－2 3n＋1
＝
n 3n＋1(n∈N＋)．
证明：(1)当
n＝1
11
11
时，左边＝1×4＝4，右边＝3×1＋1＝4，
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋
1 3k－2 3k＋1
＝3kk＋1，
则当 n＝k＋1 时，
11
1
1
1
1×4＋4×7＋7×10＋…＋ 3k－2 3k＋1 ＋ 3k＋1 3k＋4
k
1
3k2＋4k＋1
＝3k＋1＋ 3k＋1 3k＋4 ＝ 3k＋1 3k＋4
＝
3k＋1 3k＋1
k＋1 3k＋4
＝3kk＋＋14＝3
k＋1 k＋1
＋1.
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．
由(1)(2)知等式对 n∈N＋成立． 探究二 用数学归纳法证明不等式
运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运
用比较法、放缩法等技巧来进行证明．
【典型例题 2】 用数学归纳法证明：1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞
23
n
n(其中 n∈N＋，n＞1)．
思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由 n＝k 证 n＝k＋
1 成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋ 1 ，右边＝ 2
2，1＋ 12－
2＝1－ 22＞0，所以左
边＞右边，即不等式成立．
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

(2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即
11
1
1＋ ＋ ＋…＋
＞
k，则当 n＝k＋1 时，
23
k
11
11
1＋ ＋ ＋…＋ ＋
＞ k＋ 1
.
23
k k＋1
k＋1
(方法 1)因为
k＋
k1＋1－
k＋1＝
k2＋k＋1－ k＋1 k＋1
k2＋k－k
k
＝
＝
k＋1
k＋1
k2＋k＋k ＞0，
所以 k＋ 1 ＞ k＋1， k＋1
11
11
即 1＋ ＋ ＋…＋ ＋
＞ k＋1.
23
k k＋1
(方法 2)因为 k＋
1
＝
k2＋k＋1 ＞
k2＋1 k＋1
＝
＝
k＋1，
k＋1
k＋1
k＋1 k＋1
所以 1＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＋ 1 ＞ k＋1.
23
k k＋1
即当 n＝k＋1 时原不等式也成立，
由(1)(2)知原不等式成立．
点评 本例中在应用归纳假设后，方法 1 是利用了比较法，方法 2 是利用了放缩法来进
行后面的证明．
探究三 用数学归纳法证明整除问题
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳
假设，将 n＝k＋1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来． 【典型例题 3】 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 能被 9 整除(n∈N＋)． 思路分析：在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑． 证明：(1)当 n＝1 时，13＋23＋33＝36 能被 9 整除，所以结论成立；
(2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立， 即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除．
则当 n＝k＋1 时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)． 因为 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除，9(k2＋3k＋3)也能被 9 整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 也能被 9 整除，
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切 n∈N＋成立． 探究四 归纳—猜想—证明 1．由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{an} 的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．
2．在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的
方法． 【典型例题 4】 某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n≥2，数列的前 n 项之积
为 n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
思路分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号
变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时
可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法． 解：(1)已知 a1＝1，由题意，得 a1·a2＝22， ∴a2＝22. ∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝3222.
同理，可得 a4＝4322，a5＝5422.
9 16 25 因此该数列的前五项为 1,4，4， 9 ，16.
(2) 观 察 这 个 数 列 的 前 五 项 ， 猜 测 数 列 的 通 项 公 式 应 为 an ＝
1，n＝1，

n2 n－1
2，n≥2，n∈N＋.
下面用数学归纳法证明当 n≥2，n∈N＋时，an＝
n2 n－1
2.
①当 n＝2 时，a2＝
22 2－1
2＝22，猜想正确．
②假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，猜想正确，
即 ak＝
k2 k－1
2.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2， a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

∴ak＋1＝
k＋1 2 a1·a2·…·ak－1
·ak＝
k＋1 k－1
2
2·
k－1 k2
2
k＋1 2
k＋1 2
＝ k2 ＝[ k＋1 －1]2，
∴当 n＝k＋1 时，猜想也正确．
根据①和②，可知当 n≥2，n∈N＋时，这个数列的通项公式是 an＝
n2 n－1
2.
1，n＝1，
∴an＝
n2 n－1
2，n≥2，n∈N＋.
探究五 易错辨析
易错点：因不运用归纳假设而出错
【典型例题 5】 用数学归纳法证明：
2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n
1 2n＋2
＝4
n n＋1
(n∈N＋)．
错证：(1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4，右边＝4
1 1＋1
＝4×1 2，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当 n＝k＋1 时，直接使用裂项相减法 求得
2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k
1 2k＋2
＋
1 2k＋2 2k＋4
＝1212－14 ＋14－16＋…＋21k－2k1＋2＋ 2k1＋2－2k1＋4
＝1212－2k1＋4＝4[
k＋1 k＋1
＋1]，即当 n＝k＋1 时等式成立．
由(1)和(2)，可知等式对一切 n∈N＋都成立． 错因分析：由 n＝k 到 n＝k＋1 时等式的证明没有用归纳假设，而是运用了数列中的求
和方法证得的，虽然结论正确，但没有运用数学归纳法证明，不符合题目要求．
正确证法：(1)当
n＝1
11
1
时，左边＝2×4＝8，右边＝8，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
111
1
k
2×4＋4×6＋6×8＋…＋2k 2k＋2 ＝4 k＋1 成立．
那么当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k
1 2k＋2
＋
1 2k＋2
2k＋4
＝4
k k＋1
＋4
1 k＋1
k＋2
＝4
k k＋2 k＋1
＋1 k＋2
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

k＋1 2
k＋1
k＋1
＝4 k＋1 k＋2 ＝4 k＋2 ＝4[ k＋1 ＋1]，
∴当 n＝k＋1 时，等式成立．
由(1)和(2)，可知对一切 n∈N＋等式都成立．
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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