2022届新高考版数学小题狂练17(含解析)

小题专练17
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.(考点:集合,★)设M={x|y=log 2(x+1)},N={y |y =(12)x
,x >0},则( ).
A .M ⊆N
B .N ⊆M
C .R M ⊆N
D .N ⊆R M
2.(考点:复数,★)已知复数z 满足(z+i)i =1+i(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5=15,则a 3等于( ). A .1
B .2
C .3
D .4
4.(考点:双曲线,★)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,离心率为5
4,则双曲线C 的渐近线方程为
( ). A .4x±3y=0 B .3x±4y=0 C .4x±5y=0
D .5x±4y=0
5.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f (x )=ax 2-x-c ,且f (x )<0的解集为(-1,2),则函数y=f (|-x |)的图象大致为
( ).
6.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
2π3
)的图象的相邻两条对称轴
之间的距离为π
2,若f (x )的图象过点(π6,√3
2
),则f (x )的单调递减区间为( ).
A .[kπ+π
12,kπ+7π12],k ∈Z
B.[kπ-5π
12,kπ-π
12
],k∈Z
C.[2kπ+π
12,2kπ+7π
12
],k∈Z
D.[kπ+π
6,kπ+2π
3
],k∈Z
7.(考点:排列组合,★★)某中学举行文艺晚会,已知该晚会有1个曲艺节目、4个语言节目和2个歌唱节目,
若要求2个歌唱节目不连排,则不同演出顺序的种数为().
A.2700
B.3600
C.4500
D.5400
8.(考点:函数与导数的综合,★★★)已知函数f(x)=|ln x|-ax(0<x<4)有三个零点,则实数a的取值范围为().
A.(ln 2,e)
B.(ln2
2,1
e
)C.(0,ln2
e
)D.(ln 2,1)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:独立性检验,★)下列有关独立性检验说法正确的是().
A.独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A,B互斥
B.独立性检验得到的结论不一定正确
C.独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
D.独立性检验是判断两事物之间是否相关的唯一方法
10.
(考点:基本初等函数,★★)如图,西部某沙漠的风化面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=ka t(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1),则下列说法正确的是().
A.风化面积每月增加的面积都相等
B.第8个月时,风化面积会超过120 m2
C.风化面积从2 m2蔓延到64 m2只需经过5个月
D.若风化面积蔓延到4 m2,6m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2>t3
11.(考点:椭圆,★★)在椭圆x2
a +y2
b
=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF2|=|3PF1|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,
则该椭圆的离心率可能为().
A .14
B .12
C .23
D .3
4
12.(考点:与球有关的计算,★★★)已知在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ
的二面角B-AC-D ,若折成的四面体ABCD 内接于球O ,则下列说法正确的是( ). A .四面体ABCD 的体积的最大值是24 B .球心O 为线段AC 的中点 C .球O 的表面积为定值 D .球O 的体积为定值
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(k ,2),b=(1,3),c=(-2,1),且(2a-3b )∥c ,则实数k= . 14.(考点:二项式定理,★★)(x 2+1
x +y)5
的展开式中x 2y 的系数为 .
15.(考点:均值不等式,★★★)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)平分圆x 2+y 2-2x-2y-2=0,则3a +9b 的最小值
是 .
16.(考点:数列的综合,★★★)已知各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2n-1=a n 2
,n ∈N *,则数列{a n }
的通项公式为 ;若不等式a n ≥λn
n+8对于任意的n ∈N *恒成立,则实数λ的最大值为 .
答案解析：
1.(考点:集合,★)设M={x|y=log 2(x+1)},N={y |y =(12)x
,x >0},则( ). A .M ⊆N B .N ⊆M C .R M ⊆N D .N ⊆R M
【解析】因为M={x|y=log 2(x+1)}={x|x>-1},N={y |y =(12)x
,x >0}={y|0<y<1},所以N ⊆M.
【答案】B
2.(考点:复数,★)已知复数z 满足(z+i)i =1+i(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【解析】由题意可得z=1+i i
-i =1-2i,故复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.
【答案】D
3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5=15,则a 3等于( ). A .1
B .2
C .3
D .4
【解析】由S 5=5(a 1+a 5)
2
=15,可得a 1+a 5=2a 3=6,所以a 3=3,故选C .
【答案】C
4.(考点:双曲线,★)已知双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,离心率为5
4
,则双曲线C 的渐近线方程为
( ). A .4x±3y=0 B .3x±4y=0 C .4x±5y=0
D .5x±4y=
【解析】因为双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的实半轴长为4,所以a=4.由离心率为5
4,可得c
a =5
4,c=5,所以
b=√c 2-a 2=√25-16=3,所以双曲线C 的渐近线方程为3x±4y=0.故选B . 【答案】B
5.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f (x )=ax 2-x-c ,且f (x )<0的解集为(-1,2),则函数y=f (|-x |)的图象大致为
( ).
【解析】因为函数f (x )=ax 2-x-c ,且f (x )<0的解集为(-1,2),所以-1,2是方程ax 2-x-c=0的两个根,由根与系数的关
系可得-1+2=1
a
,-1×2=-c
a
,所以a=1,c=2,所以f (x )=x 2-x-2.又由f (|-x |)=f (|x|),可知y=f (|-x |)的图象为C .
【答案】C
6.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
2π3
)的图象的相邻两条对称轴
之间的距离为π
2,若f (x )的图象过点(π6,√3
2
),则f (x )的单调递减区间为( ).
A .[kπ+π
12,kπ+7π12],k ∈Z B .[kπ-5π12,kπ-π
12],k ∈Z
C .[2kπ+π
12,2kπ+7π
12],k ∈Z D .[kπ+π
6,kπ+
2π3
],k ∈Z
【解析】由题意得T 2=π
2,T=π,则ω=2.由f (x )的图象过点(π6,
√3
2
),得sin (2×π6+φ)=√32,即sin
π
3
+φ=√3
2. 又因为0<φ<2π
3,所以π3<π
3+φ<π,所以π
3+φ=2π
3,则φ=π
3,所以f (x )=sin (2x +π
3
).
令2k π+π
2≤2x+π
3≤2k π+3π
2,k ∈Z,得k π+π
12≤x ≤k π+7π
12,k ∈Z,所以f (x )的单调递减区间为[kπ+π
12,kπ+7π
12],k ∈Z . 【答案】A
7.(考点:排列组合,★★)某中学举行文艺晚会,已知该晚会有1个曲艺节目、4个语言节目和2个歌唱节目,
若要求2个歌唱节目不连排,则不同演出顺序的种数为( ). A .2700 B .3600 C .4500 D .5400
【解析】先对除歌唱节目以外的5个节目全排列,共A 55种方式,再把2个歌唱节目插在6个空位中,有A 62
种方
式,所以不同的演出顺序共有A 55A 62
=3600(种).
【答案】B
8.(考点:函数与导数的综合,★★★)已知函数f (x )=|ln x|-ax (0<x<4)有三个零点,则实数a 的取值范围为( ). A .(ln 2,e) B .(ln22
,1e )
C .(0,
ln2e
) D .(ln 2,1)
【解析】令y 1=|ln x|,y 2=ax ,若函数f (x )在区间(0,4)上有三个零点,则y 1=|ln x|与y 2=ax 的图象在区间(0,4)上有
三个交点.由图象易知,当a ≤0时,不符合题意;当a>0时,易知y 1=|ln x|与y 2=ax 的图象在区间(0,1)上有一个交点,所以只需要y 1=|ln x|与y 2=ax 的图象在区间(1,4)上有两个交点即可,此时|ln x|=ln x ,由ln x=ax ,得a=
lnx x
.令h (x )=
lnx x
,x ∈(1,4),则h'(x )=
1-lnx x 2
,故函数h (x )在(1,e)上单调递增,在(e,4)上单调递
减,h (e)=ln e e
=1e ,h (1)=0,h (4)=
ln44
=
ln22
,所以
ln22
<a<1
e .故选B .
【答案】B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对
的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:独立性检验,★)下列有关独立性检验说法正确的是( ). A .独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A ,B 互斥 B .独立性检验得到的结论不一定正确
C .独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
D .独立性检验是判断两事物之间是否相关的唯一方法
【解析】独立性检验中的假设是H 0:A ,B 独立,当我们拒绝H 0时,A ,B 就相关了,所以A 错误;独立性检验只是在
一定的可信度下进行判断,不一定正确,所以B 正确;假设检验的基本思想是“在一次试验中,小概率事件不可能发生”,若小概率事件发生了,则有理由认为原假设不成立,所以C 正确;独立性检验不是判断两事物之间是否相关的唯一方法,所以D 错误.故选BC . 【答案】BC 10.
(考点:基本初等函数,★★)如图,西部某沙漠的风化面积y (单位:m 2)与时间t (单位:月)的关系式为y=ka t (k ∈R,
且k ≠0,a>0,且a ≠1),则下列说法正确的是( ). A .风化面积每月增加的面积都相等 B .第8个月时,风化面积会超过120 m 2
C .风化面积从2 m 2蔓延到64 m 2只需经过5个月
D .若风化面积蔓延到4 m 2,6m 2,9 m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2>t 3
【解析】由题意可知,函数图象过点(1,1)和点(3,4),代入函数关系式y=ka t (k ∈R,且k ≠0,a>0,且a ≠1),得
{ka =1,ka 3=4,解得{k =1
2,
a =2, 所以函数关系式为y=12×2t =2t-1.
对于A 项,因为函数是曲线型函数,所以风化面积每月增加的面积不相等,故A 错误. 对于B 项,当x=8时,y=27=128,风化的面积超过了120 m 2,故B 正确.
对于C 项,令y=2,得t=2;令y=64,得t=7,所以风化面积从2 m 2蔓延到64 m 2需要5个月,故C 正确.
对于D 项,令y=4,得t 1=3;令y=6,得t 2=log 212;令y=9,得t 3=log 218.所以t 1+t 2=3+log 212=log 296>log 218=t 3,故D 正
确. 【答案】BCD
11.(考点:椭圆,★★)在椭圆x 2a
2+y 2
b 2=1(a>b>0)上存在点P ,使得|PF 2|=|3PF 1|,其中F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,
则该椭圆的离心率可能为( ). A .1
4 B .1
2 C .2
3 D .3
4
【解析】设椭圆的焦距为2c (c>0),由椭圆的定义可得{|PF 2|=3|PF 1|,|PF 1|+|PF 2|=2a ,
解得|PF 2|=3a 2,|PF 1|=a
2,
由题意可得{a
2
≥a -c ,3a
2
≤a +c ,
解得c a ≥12,又0<c a <1,所以12≤c
a <1,
所以该椭圆离心率的取值范围是[12
,1). 故选BCD . 【答案】BCD
12.(考点:与球有关的计算,★★★)已知在矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ
的二面角B-AC-D ,若折成的四面体ABCD 内接于球O ,则下列说法正确的是( ). A .四面体ABCD 的体积的最大值是24 B .球心O 为线段AC 的中点 C .球O 的表面积为定值 D .球O 的体积为定值 【解析】如图所示,
当平面ACD ⊥平面ABC 时,四面体ABCD 的体积最大,最大值为13×1
2×3×4×
3×45
=245
,故A 错误;
由题意得,在四面体ABCD 内,AC 的中点O 到点A ,B ,C ,D 的距离相等,且大小为AC 2=5
2,所以点O 为外接球的球心,
且球的半径R=AC 2=5
2,为定值,所以球的表面积和体积都为定值.故选BCD . 【答案】BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(k ,2),b=(1,3),c=(-2,1),且(2a-3b )∥c ,则实数k= .
【解析】因为a=(k ,2),b=(1,3),c=(-2,1),所以2a-3b=(2k-3,-5).又因为(2a-3b )∥c ,所以(2k-3)×1-(-5)×(-2)=0,解得
k=13
2.
【答案】13
2
14.(考点:二项式定理,★★)(x 2
+1
x +y)5
的展开式中x 2y 的系数为 .
【解析】(x 2+1
x +y)5
的展开式的通项公式为T r+1=C 5r
(x 2+1x )
5-r
·y r ,令r=1,则T 2=C 51
x 2+1x
4
y.又(x 2
+1x )4
的
展开式的通项公式为T k+1=C 4k (x 2)4-k ·(1x )k
=C 4k x
8-3k
,令8-3k=2,则k=2,所以(x 2+1
x +y)5
的展开式中x 2y 的系数为C 51C 42=30.
【答案】30
15.(考点:均值不等式,★★★)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)平分圆x 2+y 2-2x-2y-2=0,则3a +9b 的最小值
是 .
【解析】由题意可知直线过圆心,因为圆x 2+y 2-2x-2y-2=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,所以a+2b=2,利用均值
不等式可得3a +9b =3a +32b ≥2√3a ·32b =2√3a+2b .因为a+2b=2,所以3a +9b ≥2√32=6,当且仅当3a =32b ,即a=1,b=1
2时取等号. 【答案】6
16.(考点:数列的综合,★★★)已知各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2n-1=a n 2,n ∈N *,则数列{a n }
的通项公式为 ;若不等式a n ≥λn
n+8对于任意的n ∈N *恒成立,则实数λ的最大值为 .
【解析】因为S 2n-1=a n 2,所以a n 2=
(2n -1)(a 1+a 2n -1)
2
=(2n-1)a n ,所以a n =2n-1,n ∈N *.因为不等式a n ≥
λn
n+8
对于任意的n ∈
N *恒成立,所以λ≤[
(n+8)(2n -1)
n
]
min
,即λ≤(2n -8
n
+15)
min
,当n ≥1时,f (n )=2n-8
n
+15单调递增,其最小值为f (1)=9,
所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 【答案】a n =2n-1,n ∈N * 9。