【精编】福建省龙海市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理

2016-2017学年高二（下）期末
数学试题(理科)
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数3
i i 1
z =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()3E X D X ==，则n 与p 的值分别为（ ） A ．18，
32 B ．316,4 C ．116,4 D ．118,4
3.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ） A ．小前提错 B.结论错 C.正确 D.大前提错
4.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的。

下列说法中正确的是（ ）
A ．100个心脏病患者中至少有99人打酣
B ．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率
打酣
C ．在100个心脏病患者中一定有打酣的人
D ．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人
都没有
5．3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数为（ ） A ．2种 B ．9种 C ．72种 D ． 36种
6．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为
3
5
和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为
9
20
．假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A ．
34 B ．45 C ．35 D ．14
7．若随机变量X 的分布列如下表， 则2
2
b a +的最小值为 ．
A ．9
1
B ．92
C ．93
D ．94
8.设()5
2
501252x a a x a x
a x -=++，那么
024
135
a a a a a a ++++的值为（ ）
A. －
122121 B.－61
60
C.－244241
D.-1 9.不等式|－3|＋|－2|≥3的解集是（ ）
A. {|≥3或≤1}
B. {|≥4或≤2}
C. {|≥2或≤1} D {|≥4或≤1}. 10.使)()13(*N n x
x x n ∈+
的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．7
C ．6
D ． 5
11.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）
A. 11122112646126332210()C C C C C C C C ⋅⋅++⋅-
B. 11112126412633
2210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C. 11112620332210C C C C C ⋅⋅- D. 333
22101633
2210
C C C C C --- 12．已知实数x y ，满足22
44x y +≤，则|24||3|x y x y +-+--的最大值为（ ） A ．6 B ．12 C ．13 D ．14 二、填空题（共4小题，每题5分，满分
20分．）
13．设随机变量ξ～N （4，9），若P （ξ＞c+3）=P （ξ＜c ﹣3），则c=-__________ 14.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则
||AB =______.
15.下列式子：13
=(1×1)2
，13
+23
+33
=(2×3)2
，l 3
+23
+33
+43
+53
=(3×5)2
， l 3
+23
+33
+ 43
+53
+63
+73
=(4×7)2
，…
由归纳思想，第n 个式子3
3
3
3
123(21)n ++++-=L
16．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2
211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
，时，b c d ++等于___________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知直线5:12
x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.
18. （本小题满分12分）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．
(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求222
1149
a b c ++的最小值．
19．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数-
x 和样本方差s 2
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N (μ，σ2
)，其中μ近似为样本平均数-
x ，σ2
近似为样本方差s 2
.
(ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8<<212.2)；
(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100
件产品中质量指标值位于区间
(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E ().
附：150≈12.2.若～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<<μ＋2σ)＝0.954 4.
20．（本小题满分12分）记S n =1+2+3+…+n ，T n =12
+22
+32
+…+n 2
． （Ⅰ）试计算
，
，
的值，并猜想
的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之．
21．（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求y 关于x 的线性回归方程
a bx y
+
=ˆ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（注：x b y a
x x
y y x x
x
n x y
x n y
x b n
i i
n
i i i
n i i n
i i
i ˆˆ,)()
)((1
2
1
1
2
21-=---=
⋅-⋅⋅-=
∑∑∑∑====）
22．（本小题满分12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率； （2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
2
3
，答
对文科题的概率均为1
4
，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理
一文），求其所得总分X的分布列与数学期望()
E X．
程溪中学2016-2017学年高二（下）期末数学试题(理科)答案 1-12 CBCDC ABADD AB
13．4． 14． 2 15. 2[(21)]n n - 16．-1
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）
17. （本小题满分10
分）已知直线5:12
x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.
【解析】（1）θρcos 2=等价于θρρcos 22
=①，将2
2
2
y x +=ρ，x =θρcos 代入①，记得曲线C 的直角坐标方程为0222
=-+x y x ②；
（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 21323
5代入②，得018352=++t t ，设这个方程的两个实数根分别为1
t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|.
18. （本小题满分12分）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．
(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求
222
1149
a b c ++的最小值． 【解析】(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当
a x
b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b
c ++,
所以a b c 4++=．
(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得
()()22222
11()4912+3+1164923
a b a b c c a b c ++++≥⨯⨯⨯=++=（）,
即
222118497
a b c ++?. 当且仅当11
32231
b a
c ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立 所以
2221149a b c ++的最小值为8
7
. 19．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数-
x 和样本方差s 2
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N (μ，σ2
)，其中μ近似为样本平均数-
x ，σ2近似为样本方差s 2
. (ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8<<212.2)；
(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E (). 附：150≈12.2.
若～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<<μ＋σ)＝0.682 6，
P (μ－2σ<<μ＋2σ)＝0.954 4.
解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数－和样本方差s 2
分别为
-
x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×
0.02＝200，
s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋
302
×0.02＝150.
(2)(ⅰ)由(1)知，～N (200，150)，从而
P (187.8<<212.2)＝P (200－12.2<<200＋12.2)＝0.6826.
(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知～B(100，0.6826)，所以E()＝100×0.682 6＝68.26.
20．（本小题满分12分）记S n=1+2+3+…+n，T n=12+22+32+…+n2．
（Ⅰ）试计算，，的值，并猜想的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n的通项公式，并用数学归纳法证明之．
【解答】解：（Ⅰ）
猜想：，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：
又，
故（n∈N*），
证明：①当（Ⅱ）时，左边T1=1，右边=左边=右边，猜想成立．
②假设n=时，猜想成立．即成立．
则当n=+1时， =，
==，
==，
∴当n=+1时，猜想也成立．
由①②知对于任意的n∈N*，均成立．
21．（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求y 关于x 的线性回归方程a bx y
+=ˆ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（注：x b y a
x x
y y x x
x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i i
n
i i
n
i i
i ˆˆ,)()
)((1
2
1
1
2
2
1
-=---=
⋅-⋅⋅-=
∑∑∑∑====） 【解析】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有102
5=C 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以
53
1041)(=-
=A P ，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为5
3． （2）由数据，求得12)121311(31=++=
x ，27)263025(3
1
=++=y ，9723=⋅y x ．
9772612301325113
1
=⨯+⨯+⨯=∑=i i i y x ，3431213112223
1
2=++=∑=i i x ，43232
=x ，
由公式求得3ˆˆ,2
54324349729773331
2
23
1-=-==--=
-⋅-=
∑∑==x b y a
x
x y
x y
x b i i i i
i ． 所以y 关于x 的线性回归方程32
5
ˆ-=x y ． （3）当10=x 时，2|2322|,2232
5
ˆ<-=-=x y ，同样地，当8=x 时，2|1617|,17382
5
ˆ<-=-⨯=y
，所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． 22．（本小题满分12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
2
3
，答对文科题的概率均为
1
4
，若每题答对得10分，否则得零分 ．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X 的分布列与数学期望()E X ．
【解析】（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A ，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B ，则()()44
735
P A P AB =
=，，
所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为：
()()1
(|)5
P AB P B A P A =
=．
（2）X 的可能取值为0，10，20，30，
则()11310=33412P X ==⨯⨯，()2
1
2213111310+=3343436P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，
()2
212223121420+=34
3349P X C C ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，()11341301=123699P X ==---．
所以X 的分布列为：
所以，X 的数学期望()956
E X =．。