小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学教案：5.等差数列

5.等差数列
2023.11.19
教学目标：1.认识等差数列的特征。

了解等差数列各专有名词的含义。

2.理解等差数列求和公式的含义。

会用此类公式解题。

3.培养学生自主思考，解题的能力。

感受到数学思维的逻辑性，唯美性。

教学重点：理解等差数列求和公式的含义。

教学难点：对类等差数列题的理解。

教学准备：课件
教学过程：
一、导入
1.揭示课题。

（1）同学们知道数学家高斯小时候从一加到一百的故事吗？
（2）哪位同学具体的来说一说他是怎样加的？
2.这一讲我们专门讨论等差数列的问题。

二、新授
1.导引
1+2+3+ (100)
（1）给出首项、末项、公差、项数的定义
（2）你知道公差怎么算吗？
2.例1
在等差数列1，5，9，13，17，……，401中，401是第几项？
（1）我们可以从1，5，9……一直数到401。

（2）这样数太麻烦了。

应从这个数列的排列规律入手，求401是第几个，就是求这个等差数列的项数。

（3）项数=（末项-首项）÷公差+1。

3.例2
有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形。

最上面的一层有5根原木，每向下一层增加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根？
（1）将每层圆木根数写出来是：5，6，7，8，9，10……可以看出是一个等差数列。

（2）能将每层的原木根数抽象成等差数列是解题的关键。

在这个等差数列中，已知首项是5，公差,1，项数是28，求最下面一层有多少根？就是求这个等差数列的第28项。

（3）求末项的方法是：末项=首项+公差×（项数-1）。

4.例3
1+4+7+10+13+……+94+97+100=？
（1）一个一个加，太麻烦了，有没有好办法呢？
（2）仔细观察，可发现数列中的数可以这样排列。

1+100=101，4+97=101，
7+94=101，……一共有多少个101呢？
（3）因为一共有（100-1）÷3+1=34个数。

每两个数一对，所以一共有34÷2=17对。

也
就是说有17个101。

（4）和=（首项+末项）×项数÷2
5.例4
求100以内所有被5除于1的自然数的和。

（1）把符合要求的自然数列出来是：1，6，11,16，21，……，96，这是一个等差数列。

然后求这个数列各项之和。

（2）要注意，在被5除余1的自然数中，最小的是1而不是6。

（3）要求和必须知道首项、末项和项数这三个条件，这里可先找出最小的数和最大的数。

而项数是多少不知道，所以不能直接求和。

（4）（96-1）÷5+1=20
（5）（1+96）×20÷2=970
6.例5
算下列数字方阵中所有数的和。

1,2,3,……，48,49,50
2,3,4，……，49,50，51
3,4,5，……，50，51，52
……
50,51,52，……，97,98,99
（1）看每一行的数成等差数列，可以将每一行把和求出来，然后再求这50行的总和，而这50个和又成等差数列。

（2）发现第二行中的每一个数都比第一行中对应的数大1。

每一行有50个数，所以第二行中的50个数的和比第一个行中50个数的和大50。

（3）这道题还可以用配对求和来做。

（1+99）×（2500÷2）=125000
7. 例6
0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99的和是多少？
（1）可以看成是两个等差数列。

（2）分段求和，27.25
8.例7，p69
有10对夫妇共20人参加一次圣诞晚会，其中每位男宾与其他每一个人握一次手（他的夫人除外），女宾与女宾都不握手，晚会上这20个人之间一共互相握了（）次手。

（1）从男宾入手，每位男宾握手的次数是18，17，16……10，9，总次数为135。

（2）重复计算的要排除。

9.例8，p67
174个完全相同的球恰好放在若干只同样的箱子中，每只箱子内最少放12个，最多放22个，并且每只箱子内所放球的个数都不相等，那么共有（）种不同的做法。

（如两种放法经过调整箱子的排列顺序可变为相同时，只算一种放法）。

（1）如果有11个箱子，则有12+13+14+……+22=187>174。

（2）如果有9个箱子，则有22+21+20+……+14=162<174。

（3）所以箱子共有十个，最多可放球22+21+20+……+13=175个。

（4）只要第一只箱子放12个，其余每只箱子分别放14，15……22个球。

则正好是174个。

10.例9，p28
一只猴子每天都要吃桃，如果它每天吃桃的数量互不相同，那么100个桃最多够这只猴子吃（）天。

（1）1+2+3+......+13=91<100<1+2+3+ (14)
（2）只能是13天。

11.例10，p22
学校举行田径运动会，小张和小李参加100米赛跑。

已知小张从开始到终点都是以每秒2米的速度跑。

小李第一秒跑1米，以后每秒都比前1秒多跑0.1米。

问谁能取胜？为什么？请说明理由。

（1）小张跑完全程需要100÷2=50秒。

（2）小李第1，2，3，……50秒跑的路程是下面的等差数列。

1,1.1,1.2,1.3，……,5.9. （3）50秒可跑（1+5.9）×50÷2=172.5，小李胜。

12.例11，p21
某次考试的试卷共有20题，计分标准是：做对第K题得K分，做错或不做第K题倒扣K分，其中K=1,2……20.小明做了所有的题，总分为100分，那么，小明最多做错了（）题。

（1）20题的总分应为210分，小明少得的210-100=110分，等于错题分值的和的两倍。

（2）小明因错题共被倒扣了110÷2=55分。

当做错题目为1~10时，错题最多。

13.例12，p67
有一只电子跳蚤在右图中的1号位置上，它按顺序时针方向作如下跳动：第1次跳1步，从1号位调到2号位上；第2次跳2步，从2号位调到4号位上；第3次跳3步，从4号位调到7号位上；第4次跳4步，从7号位调到11号位上……这样一直跳下去，当第2003次跳2003步后，这只电子跳蚤在（）号位上。

（1）2003次一共跳1+2+3+……+2003=2007006步。

2007006÷11= 182455……1。

（2）所以第2003次。

跳到1+1=2号位上。

14.例13，p32
有奇数块石头，沿直线每隔1米放1块。

如果从最右边开始，把石头全部搬到中间那块石头的位置上（每次只能搬一块石头），搬完这些石头一共走了105米。

这些石头一共有多少块？
（1）由简单到复杂思考
（2）石头的块数3块，走的长度1+2=3m。

（3）依次为：5块，1+2+3+4=10米，7块，1+2+3+4+5+6=21米。

（4）2n+1块，1+2+3+4+……+2n米，即（1+2n）×n米。

（5）即（1+2n）×n=105，n=7，所以有7×2+1=15块。

小品题：
在□内填入适当的数字，使下列运算的竖式成立。

二、全课小结
本课学习了等差数列的求和公式在使用公式时要搞清楚首相莫向像素公差的意义，在计算等差数列的有关问题时，应注意以下一些公式。

和=（首项+末项）×项数÷2
末项=首项+公差×（项数-1）
项数=（末项-首项）÷公差+1
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
三、作业：
完成课后习题。