创新设计浙江专用高中数学第二章基本初等函数I习题课指数函数及其基本性质课件新人教版必修1110402
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第十二页，共25页。
规律方法 1.(1)指数函数 y＝ax(a＞1)为单调递增函数，在 闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当 x＝m 时有 最小值 am；当 x＝n 时有最大值 an.(2)指数函数 y＝ax(0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最 小值，并且当 x＝n 时有最小值 an；当 x＝m 时有最大值 am. 2.若指数函数的底数不确定与 1 的大小，应注意分类进行 讨论.
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题型四 指数函数性质的综合(zōnghé)应用
【例4】 设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇 函数. (1)求k的值； (2)若f(1)＞0，试判断(pànduàn)函数的单调性(不需证明)并求 不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0的解集.
解 (1)法一 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x) ＝－f(x)，∴k＝1 符合题意.
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(2)xx2121＋－yy1212＝（x21＋（yx21）21－（y12x）12－2 y12）＝（x＋y）x－－y2（xy）12，① ∵x＋y＝12，xy＝9，② ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③ 将②③式代入①式得：xx1212－＋yy1212＝12－－62×3912＝－ 33.
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[课堂小结] 1.比较两个指数式值大小(dàxiǎo)的主要方法
(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 y＝ax 的单 调性. (2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”， 若 am<c 且 c<bn，则 am<bn；若 am>c 且 c>bn，则 am>bn.
A.－3 B.－1 C.1
D.3
解析(jiě xī) 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2， ∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，选A. 答案 A
第三页，共25页。
Байду номын сангаас
3.当 x>0 时，函数 f(x)＝(a2－1)x 的值总大于 1，则实数 a 的取值 范围是( )
A.1<|a|<2
第十三页，共25页。
【训练 2】 函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)在区间[1，2]上的最大 值比最小值大a2，则 a 的值为________. 解析 若 a＞1，则函数 f(x)＝ax 在[1，2]上单调递增， ∴a2－a＝a2，解得 a＝32或 a＝0(舍去). 若 0＜a＜1，则函数 f(x)＝ax 在[1，2]上单调递减， ∴a－a2＝a2，解得 a＝12或 a＝0(舍去). 综上，所求 a 的值是12或32. 答案 12或32
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规律方法 1.法一分离参数，进而构造函数 φ(x)＝x －21x，利用指数函数的单调性求解. 2.函数的图象直观揭示函数的性质，借助图象特征 解题，体现数形结合思想方法的应用.
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【训练3】 画出函数y＝|3x－1|的图象(tú xiànɡ)，并利用图象 (tú xiànɡ)回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k有一解？有两 解解？作出 y＝|3x－1|的图象如图所示. 当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝ |3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解； 当 0＜k＜1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的 图象有两个不同的交点，即方程有两解.
第十九页，共25页。
法二 ∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)恒成立，∴k－＝11＝，－k，解得 k＝1. (2)∵f(1)＝a－1a＞0，又 a＞0 且 a≠1，∴a＞1. ∵y＝ax，y＝－a－x 都是 R 上的增函数，∴f(x)是 R 上的增函数. 由 f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0⇔f(x2＋2x)＞－f(4－x2)＝f(x2－4)⇔x2＋ 2x＞x2－4⇔x＞－2.∴f(x)在 R 上单调递增，且不等式的解集为 {x|x＞－2}.
第十四页，共25页。
题型三 指数函数图象(túxiànɡ)、性质的应用
【例3】 若存在正数x，使2x(x－a)<1成立(chénglì)，求实数a的取值范
围.
解
法一
因为 2x>0，由 2x(x－a)<1，得 x－a<21x，
∴a>x－21x在 x>0 时有解.
又 φ(x)＝x－21x在(0，＋∞)上是增函数.
答案(dáàn) －2
第六页，共25页。
6.若函数 f(x)＝a－2x＋1 1为奇函数，则实数 a＝________.
解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，
即 a－20＋1 1＝0，解得 a＝12.
答案
1 2
第七页，共25页。
题型一 根式(gēnshì)与指数幂的化简求值
【例 1】 若 x＞0，y＞0，且 x－ xy－2y＝0，求2y＋x－2 xxyy的值. 解 因为 x－ xy－2y＝0，x＞0，y＞0， 所以( x)2－ xy－2( y)2＝0，所以( x＋ y)( x －2 y)＝0， 由 x＞0，y＞0 得 x＋ y＞0，所以 x－2 y＝0， 所以 x＝4y，所以2y＋x－2 xxyy＝8yy＋－42yy＝65.
φ(x)>φ(0)＝0－210＝－1，
故要使 a>x－21x在 x>0 时有解，只需 a>－1.
第十五页，共25页。
法二 因为 2x>0，所以由 2x(x－a)<1 得 x－a<21x 在同一坐标系中作出函数 f(x)＝x－a 及 g(x)＝ 21x的图象(如图). 当 x>0 时，g(x)＝21x<1，f(x)>－a. 所以如果存在 x＞0，使 2x(x－a)＜1 成立，则 有－a＜1，即 a＞－1. 故实数 a 的取值范围是(－1，＋∞).
【训练 1】 (1)已知 2x＋2－x＝a(常数)，求 8x＋8－x 的值； (2)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x＜y，求xx1212－＋yy1212的值.
解 (1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3 ＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] ＝(2x＋2－x)[(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－3·2x·2－x] ＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3] ＝(2x＋2－x)3－3(2x＋2－x)＝a3－3a.
B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|> 2
解析 根据指数函数性质知 a2－1>1，即 a2>2，∴|a|> 2.
答案(dáàn) D
第四页，共25页。
4.要得到函数 y＝23－x 的图象，只需将函数 y＝12x的图象(
)
A.向右平移 3 个单位
B.向左平移 3 个单位
C.向右平移 8 个单位
第二十二页，共25页。
(2)证明 由(1)知 f(x)＝11－ ＋22xx＝－1＋2x＋2 1， 任取 x1，x2∈R，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝－1＋2x22＋1－ －1＋2x12＋1＝（2x21（＋21x）1－（22xx22）＋1）， 因为 x1<x2，故 2x1<2x2，又 2x1>0，2x2>0. 从而 f(x2)－f(x1)＝（2x21（＋21x）1－（22xx22）＋1）<0， 即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在 R 上是减函数.
第二十四页，共25页。
2.指数函数单调(dāndiào)性的应用 (1)形如 y＝af(x)的函数的单调性：令 u＝f(x)，x∈[m，n]，如 果两个函数 y＝au 与 u＝f(x)的单调性相同，则函数 y＝af(x) 在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)， 则函数 y＝af(x)在[m，n]上是减函数. (2)形如 ax>ay 的不等式，当 a>1 时，ax>ay⇔x>y；当 0<a<1 时，ax>ay⇔x<y.
第二十页，共25页。
规律方法 1.由于f(x)在R上为奇函数，法一利用f(0)＝0求得k，但一定 要进行验证，涉及函数的奇偶性，坚持“定义域优先”的原则：如果 定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函 数. 2.在复杂的函数解析式、方程、不等式中，常出现ax的形式，此时， 利用整体(zhěngtǐ)思想，可以把复杂的问题化归为简单的一次、二次 函数、方程、不等式的问题.但要注意ax隐含着ax>0这一限制条件，必 要时要进行检验.
A.x ax
B.x －ax
C.－x －ax
D.－x ax
解析 要使 －ax3有意义，需满足－ax3≥0， ∵a＞0，∴x≤0，故 －ax3＝－x －ax.
答案(dáàn) C
第二页，共25页。
2.已知函数 f(x)＝2x＋x，1x，＞x0≤，0.若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
第二十一页，共25页。
【训练 4】(2016·济宁一中期中检测)已知定义域为 R 的函 数 f(x)＝－22x＋x＋1a是奇函数. (1)求实数 a 的值. (2)用定义证明：f(x)在 R 上是减函数. (1)解 因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 令 x＝0，则 f(0)＝0，即a－2 1＝0⇒a＝1，所以 f(x)＝11＋－22xx.
习题课 指数函数及其基本(jīběn)性 质
目标定位 1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性 质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能 判断与证明单调性、奇偶性.3.能够(nénggòu)利用指数函 数的图象和性质解决一些综合问题.
第一页，共25页。
1.当 a＞0 时， －ax3＝( )
D.向左平移 8 个单位
解析 因为 y＝23－x＝12x－3，所以 y＝12x的图象向右平 移 3 个单位得到 y＝23－x 的图象.
答案(dáàn) A
第五页，共25页。
5.函数(hánshù)y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象恒过定点 (1，2)，
则解b析的值∵为函___数__y_＝__a. 2x＋b＋1 的图象恒过定点(1，2)， ∴2a× 0＋11＋＝b2＝，0，即 b＝－2.
第八页，共25页。
规律方法 1.求解此类问题应注意分析已知条件，从已知所给式子的特 征分析，通过将已知条件变形(biàn xíng)(如平方、因式分解等)，寻找已 知式和待求式的关系. 2.对条件求值问题，一定要弄清已知与未知之间的关系，然后采取“整 体代换”或“求值后代换”的方法求值.
第九页，共25页。
第十一页，共25页。
题型二 指数函数(zhǐ shùhán shù)的最值
【例 2】 指数函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象经过点 2，116，求 f(x)＝ax 在区间[－2，2]上的最大值和最小值. 解 将点2，116代入 f(x)＝ax，得116＝a2，∴a ＝14，即 f(x)＝14x. 又∵－2≤x≤2，∴116≤f(x)≤16. ∴所求函数的最大值是 16，最小值是116.
规律方法 1.(1)指数函数 y＝ax(a＞1)为单调递增函数，在 闭区间[m，n]上存在最大值和最小值，并且当 x＝m 时有 最小值 am；当 x＝n 时有最大值 an.(2)指数函数 y＝ax(0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m，n]上存在最大值和最 小值，并且当 x＝n 时有最小值 an；当 x＝m 时有最大值 am. 2.若指数函数的底数不确定与 1 的大小，应注意分类进行 讨论.
第二十五页，共25页。
第十八页，共25页。
题型四 指数函数性质的综合(zōnghé)应用
【例4】 设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇 函数. (1)求k的值； (2)若f(1)＞0，试判断(pànduàn)函数的单调性(不需证明)并求 不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0的解集.
解 (1)法一 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x) ＝－f(x)，∴k＝1 符合题意.
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(2)xx2121＋－yy1212＝（x21＋（yx21）21－（y12x）12－2 y12）＝（x＋y）x－－y2（xy）12，① ∵x＋y＝12，xy＝9，② ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③ 将②③式代入①式得：xx1212－＋yy1212＝12－－62×3912＝－ 33.
第二十三页，共25页。
[课堂小结] 1.比较两个指数式值大小(dàxiǎo)的主要方法
(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 y＝ax 的单 调性. (2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”， 若 am<c 且 c<bn，则 am<bn；若 am>c 且 c>bn，则 am>bn.
A.－3 B.－1 C.1
D.3
解析(jiě xī) 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2， ∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，选A. 答案 A
第三页，共25页。
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3.当 x>0 时，函数 f(x)＝(a2－1)x 的值总大于 1，则实数 a 的取值 范围是( )
A.1<|a|<2
第十三页，共25页。
【训练 2】 函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)在区间[1，2]上的最大 值比最小值大a2，则 a 的值为________. 解析 若 a＞1，则函数 f(x)＝ax 在[1，2]上单调递增， ∴a2－a＝a2，解得 a＝32或 a＝0(舍去). 若 0＜a＜1，则函数 f(x)＝ax 在[1，2]上单调递减， ∴a－a2＝a2，解得 a＝12或 a＝0(舍去). 综上，所求 a 的值是12或32. 答案 12或32
第十六页，共25页。
规律方法 1.法一分离参数，进而构造函数 φ(x)＝x －21x，利用指数函数的单调性求解. 2.函数的图象直观揭示函数的性质，借助图象特征 解题，体现数形结合思想方法的应用.
第十七页，共25页。
【训练3】 画出函数y＝|3x－1|的图象(tú xiànɡ)，并利用图象 (tú xiànɡ)回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k有一解？有两 解解？作出 y＝|3x－1|的图象如图所示. 当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝ |3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解； 当 0＜k＜1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的 图象有两个不同的交点，即方程有两解.
第十九页，共25页。
法二 ∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)恒成立，∴k－＝11＝，－k，解得 k＝1. (2)∵f(1)＝a－1a＞0，又 a＞0 且 a≠1，∴a＞1. ∵y＝ax，y＝－a－x 都是 R 上的增函数，∴f(x)是 R 上的增函数. 由 f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0⇔f(x2＋2x)＞－f(4－x2)＝f(x2－4)⇔x2＋ 2x＞x2－4⇔x＞－2.∴f(x)在 R 上单调递增，且不等式的解集为 {x|x＞－2}.
第十四页，共25页。
题型三 指数函数图象(túxiànɡ)、性质的应用
【例3】 若存在正数x，使2x(x－a)<1成立(chénglì)，求实数a的取值范
围.
解
法一
因为 2x>0，由 2x(x－a)<1，得 x－a<21x，
∴a>x－21x在 x>0 时有解.
又 φ(x)＝x－21x在(0，＋∞)上是增函数.
答案(dáàn) －2
第六页，共25页。
6.若函数 f(x)＝a－2x＋1 1为奇函数，则实数 a＝________.
解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，
即 a－20＋1 1＝0，解得 a＝12.
答案
1 2
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题型一 根式(gēnshì)与指数幂的化简求值
【例 1】 若 x＞0，y＞0，且 x－ xy－2y＝0，求2y＋x－2 xxyy的值. 解 因为 x－ xy－2y＝0，x＞0，y＞0， 所以( x)2－ xy－2( y)2＝0，所以( x＋ y)( x －2 y)＝0， 由 x＞0，y＞0 得 x＋ y＞0，所以 x－2 y＝0， 所以 x＝4y，所以2y＋x－2 xxyy＝8yy＋－42yy＝65.
φ(x)>φ(0)＝0－210＝－1，
故要使 a>x－21x在 x>0 时有解，只需 a>－1.
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法二 因为 2x>0，所以由 2x(x－a)<1 得 x－a<21x 在同一坐标系中作出函数 f(x)＝x－a 及 g(x)＝ 21x的图象(如图). 当 x>0 时，g(x)＝21x<1，f(x)>－a. 所以如果存在 x＞0，使 2x(x－a)＜1 成立，则 有－a＜1，即 a＞－1. 故实数 a 的取值范围是(－1，＋∞).
【训练 1】 (1)已知 2x＋2－x＝a(常数)，求 8x＋8－x 的值； (2)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x＜y，求xx1212－＋yy1212的值.
解 (1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3 ＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] ＝(2x＋2－x)[(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－3·2x·2－x] ＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3] ＝(2x＋2－x)3－3(2x＋2－x)＝a3－3a.
B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|> 2
解析 根据指数函数性质知 a2－1>1，即 a2>2，∴|a|> 2.
答案(dáàn) D
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4.要得到函数 y＝23－x 的图象，只需将函数 y＝12x的图象(
)
A.向右平移 3 个单位
B.向左平移 3 个单位
C.向右平移 8 个单位
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(2)证明 由(1)知 f(x)＝11－ ＋22xx＝－1＋2x＋2 1， 任取 x1，x2∈R，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝－1＋2x22＋1－ －1＋2x12＋1＝（2x21（＋21x）1－（22xx22）＋1）， 因为 x1<x2，故 2x1<2x2，又 2x1>0，2x2>0. 从而 f(x2)－f(x1)＝（2x21（＋21x）1－（22xx22）＋1）<0， 即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在 R 上是减函数.
第二十四页，共25页。
2.指数函数单调(dāndiào)性的应用 (1)形如 y＝af(x)的函数的单调性：令 u＝f(x)，x∈[m，n]，如 果两个函数 y＝au 与 u＝f(x)的单调性相同，则函数 y＝af(x) 在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)， 则函数 y＝af(x)在[m，n]上是减函数. (2)形如 ax>ay 的不等式，当 a>1 时，ax>ay⇔x>y；当 0<a<1 时，ax>ay⇔x<y.
第二十页，共25页。
规律方法 1.由于f(x)在R上为奇函数，法一利用f(0)＝0求得k，但一定 要进行验证，涉及函数的奇偶性，坚持“定义域优先”的原则：如果 定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函 数. 2.在复杂的函数解析式、方程、不等式中，常出现ax的形式，此时， 利用整体(zhěngtǐ)思想，可以把复杂的问题化归为简单的一次、二次 函数、方程、不等式的问题.但要注意ax隐含着ax>0这一限制条件，必 要时要进行检验.
A.x ax
B.x －ax
C.－x －ax
D.－x ax
解析 要使 －ax3有意义，需满足－ax3≥0， ∵a＞0，∴x≤0，故 －ax3＝－x －ax.
答案(dáàn) C
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2.已知函数 f(x)＝2x＋x，1x，＞x0≤，0.若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
第二十一页，共25页。
【训练 4】(2016·济宁一中期中检测)已知定义域为 R 的函 数 f(x)＝－22x＋x＋1a是奇函数. (1)求实数 a 的值. (2)用定义证明：f(x)在 R 上是减函数. (1)解 因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 令 x＝0，则 f(0)＝0，即a－2 1＝0⇒a＝1，所以 f(x)＝11＋－22xx.
习题课 指数函数及其基本(jīběn)性 质
目标定位 1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性 质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能 判断与证明单调性、奇偶性.3.能够(nénggòu)利用指数函 数的图象和性质解决一些综合问题.
第一页，共25页。
1.当 a＞0 时， －ax3＝( )
D.向左平移 8 个单位
解析 因为 y＝23－x＝12x－3，所以 y＝12x的图象向右平 移 3 个单位得到 y＝23－x 的图象.
答案(dáàn) A
第五页，共25页。
5.函数(hánshù)y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象恒过定点 (1，2)，
则解b析的值∵为函___数__y_＝__a. 2x＋b＋1 的图象恒过定点(1，2)， ∴2a× 0＋11＋＝b2＝，0，即 b＝－2.
第八页，共25页。
规律方法 1.求解此类问题应注意分析已知条件，从已知所给式子的特 征分析，通过将已知条件变形(biàn xíng)(如平方、因式分解等)，寻找已 知式和待求式的关系. 2.对条件求值问题，一定要弄清已知与未知之间的关系，然后采取“整 体代换”或“求值后代换”的方法求值.
第九页，共25页。
第十一页，共25页。
题型二 指数函数(zhǐ shùhán shù)的最值
【例 2】 指数函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象经过点 2，116，求 f(x)＝ax 在区间[－2，2]上的最大值和最小值. 解 将点2，116代入 f(x)＝ax，得116＝a2，∴a ＝14，即 f(x)＝14x. 又∵－2≤x≤2，∴116≤f(x)≤16. ∴所求函数的最大值是 16，最小值是116.