创新设计浙江专用高中数学第二章基本初等函数I习题课指数函数及其基本性质课件新人教版必修1110402

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规律方法 1.(1)指数函数 y=ax(a>1)为单调递增函数,在 闭区间[m,n]上存在最大值和最小值,并且当 x=m 时有 最小值 am;当 x=n 时有最大值 an.(2)指数函数 y=ax(0<a <1)为单调递减函数,在闭区间[m,n]上存在最大值和最 小值,并且当 x=n 时有最小值 an;当 x=m 时有最大值 am. 2.若指数函数的底数不确定与 1 的大小,应注意分类进行 讨论.
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题型四 指数函数性质的综合(zōnghé)应用
【例4】 设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇 函数. (1)求k的值; (2)若f(1)>0,试判断(pànduàn)函数的单调性(不需证明)并求 不等式f(x2+2x)+f(4-x2)>0的解集.
解 (1)法一 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1, ∴f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x) =-f(x),∴k=1 符合题意.
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(2)xx2121+-yy1212=(x21+(yx21)21-(y12x)12-2 y12)=(x+y)x--y2(xy)12,① ∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3.③ 将②③式代入①式得:xx1212-+yy1212=12--62×3912=- 33.
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[课堂小结] 1.比较两个指数式值大小(dàxiǎo)的主要方法
(1)比较形如 am 与 an 的大小,可运用指数函数 y=ax 的单 调性. (2)比较形如 am 与 bn 的大小,一般找一个“中间值 c”, 若 am<c 且 c<bn,则 am<bn;若 am>c 且 c>bn,则 am>bn.
A.-3 B.-1 C.1
D.3
解析(jiě xī) 依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2, ∵2x>0,∴a≤0,∴f(a)=a+1=-2,故a=-3,选A. 答案 A
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Байду номын сангаас
3.当 x>0 时,函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1,则实数 a 的取值 范围是( )
A.1<|a|<2
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【训练 2】 函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上的最大 值比最小值大a2,则 a 的值为________. 解析 若 a>1,则函数 f(x)=ax 在[1,2]上单调递增, ∴a2-a=a2,解得 a=32或 a=0(舍去). 若 0<a<1,则函数 f(x)=ax 在[1,2]上单调递减, ∴a-a2=a2,解得 a=12或 a=0(舍去). 综上,所求 a 的值是12或32. 答案 12或32
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规律方法 1.法一分离参数,进而构造函数 φ(x)=x -21x,利用指数函数的单调性求解. 2.函数的图象直观揭示函数的性质,借助图象特征 解题,体现数形结合思想方法的应用.
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【训练3】 画出函数y=|3x-1|的图象(tú xiànɡ),并利用图象 (tú xiànɡ)回答:k为何值时,方程|3x-1|=k有一解?有两 解解?作出 y=|3x-1|的图象如图所示. 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y= |3x-1|的图象有唯一的交点,即方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的 图象有两个不同的交点,即方程有两解.
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法二 ∵f(-x)=ka-x-ax,-f(x)=-kax+a-x,又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)恒成立,∴k-=11=,-k,解得 k=1. (2)∵f(1)=a-1a>0,又 a>0 且 a≠1,∴a>1. ∵y=ax,y=-a-x 都是 R 上的增函数,∴f(x)是 R 上的增函数. 由 f(x2+2x)+f(4-x2)>0⇔f(x2+2x)>-f(4-x2)=f(x2-4)⇔x2+ 2x>x2-4⇔x>-2.∴f(x)在 R 上单调递增,且不等式的解集为 {x|x>-2}.
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题型三 指数函数图象(túxiànɡ)、性质的应用
【例3】 若存在正数x,使2x(x-a)<1成立(chénglì),求实数a的取值范
围.

法一
因为 2x>0,由 2x(x-a)<1,得 x-a<21x,
∴a>x-21x在 x>0 时有解.
又 φ(x)=x-21x在(0,+∞)上是增函数.
答案(dáàn) -2
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6.若函数 f(x)=a-2x+1 1为奇函数,则实数 a=________.
解析 因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,
即 a-20+1 1=0,解得 a=12.
答案
1 2
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题型一 根式(gēnshì)与指数幂的化简求值
【例 1】 若 x>0,y>0,且 x- xy-2y=0,求2y+x-2 xxyy的值. 解 因为 x- xy-2y=0,x>0,y>0, 所以( x)2- xy-2( y)2=0,所以( x+ y)( x -2 y)=0, 由 x>0,y>0 得 x+ y>0,所以 x-2 y=0, 所以 x=4y,所以2y+x-2 xxyy=8yy+-42yy=65.
φ(x)>φ(0)=0-210=-1,
故要使 a>x-21x在 x>0 时有解,只需 a>-1.
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法二 因为 2x>0,所以由 2x(x-a)<1 得 x-a<21x 在同一坐标系中作出函数 f(x)=x-a 及 g(x)= 21x的图象(如图). 当 x>0 时,g(x)=21x<1,f(x)>-a. 所以如果存在 x>0,使 2x(x-a)<1 成立,则 有-a<1,即 a>-1. 故实数 a 的取值范围是(-1,+∞).
【训练 1】 (1)已知 2x+2-x=a(常数),求 8x+8-x 的值; (2)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求xx1212-+yy1212的值.
解 (1)8x+8-x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)·[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2] =(2x+2-x)[(2x)2+2·2x·2-x+(2-x)2-3·2x·2-x] =(2x+2-x)[(2x+2-x)2-3] =(2x+2-x)3-3(2x+2-x)=a3-3a.
B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|> 2
解析 根据指数函数性质知 a2-1>1,即 a2>2,∴|a|> 2.
答案(dáàn) D
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4.要得到函数 y=23-x 的图象,只需将函数 y=12x的图象(
)
A.向右平移 3 个单位
B.向左平移 3 个单位
C.向右平移 8 个单位
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(2)证明 由(1)知 f(x)=11- +22xx=-1+2x+2 1, 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=-1+2x22+1- -1+2x12+1=(2x21(+21x)1-(22xx22)+1), 因为 x1<x2,故 2x1<2x2,又 2x1>0,2x2>0. 从而 f(x2)-f(x1)=(2x21(+21x)1-(22xx22)+1)<0, 即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在 R 上是减函数.
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2.指数函数单调(dāndiào)性的应用 (1)形如 y=af(x)的函数的单调性:令 u=f(x),x∈[m,n],如 果两个函数 y=au 与 u=f(x)的单调性相同,则函数 y=af(x) 在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减), 则函数 y=af(x)在[m,n]上是减函数. (2)形如 ax>ay 的不等式,当 a>1 时,ax>ay⇔x>y;当 0<a<1 时,ax>ay⇔x<y.
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规律方法 1.由于f(x)在R上为奇函数,法一利用f(0)=0求得k,但一定 要进行验证,涉及函数的奇偶性,坚持“定义域优先”的原则:如果 定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函 数. 2.在复杂的函数解析式、方程、不等式中,常出现ax的形式,此时, 利用整体(zhěngtǐ)思想,可以把复杂的问题化归为简单的一次、二次 函数、方程、不等式的问题.但要注意ax隐含着ax>0这一限制条件,必 要时要进行检验.
A.x ax
B.x -ax
C.-x -ax
D.-x ax
解析 要使 -ax3有意义,需满足-ax3≥0, ∵a>0,∴x≤0,故 -ax3=-x -ax.
答案(dáàn) C
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2.已知函数 f(x)=2x+x,1x,>x0≤,0.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( )
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【训练 4】(2016·济宁一中期中检测)已知定义域为 R 的函 数 f(x)=-22x+x+1a是奇函数. (1)求实数 a 的值. (2)用定义证明:f(x)在 R 上是减函数. (1)解 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 令 x=0,则 f(0)=0,即a-2 1=0⇒a=1,所以 f(x)=11+-22xx.
习题课 指数函数及其基本(jīběn)性 质
目标定位 1.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性 质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值,以及能 判断与证明单调性、奇偶性.3.能够(nénggòu)利用指数函 数的图象和性质解决一些综合问题.
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1.当 a>0 时, -ax3=( )
D.向左平移 8 个单位
解析 因为 y=23-x=12x-3,所以 y=12x的图象向右平 移 3 个单位得到 y=23-x 的图象.
答案(dáàn) A
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5.函数(hánshù)y=a2x+b+1(a>0,且a≠1,b∈R)的图象恒过定点 (1,2),
则解b析的值∵为函___数__y_=__a. 2x+b+1 的图象恒过定点(1,2), ∴2a× 0+11+=b2=,0,即 b=-2.
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规律方法 1.求解此类问题应注意分析已知条件,从已知所给式子的特 征分析,通过将已知条件变形(biàn xíng)(如平方、因式分解等),寻找已 知式和待求式的关系. 2.对条件求值问题,一定要弄清已知与未知之间的关系,然后采取“整 体代换”或“求值后代换”的方法求值.
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题型二 指数函数(zhǐ shùhán shù)的最值
【例 2】 指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点 2,116,求 f(x)=ax 在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 解 将点2,116代入 f(x)=ax,得116=a2,∴a =14,即 f(x)=14x. 又∵-2≤x≤2,∴116≤f(x)≤16. ∴所求函数的最大值是 16,最小值是116.
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