江苏省部分重点中学2019届高三第三次模拟考试数学(文)试卷

江苏省部分重点中学2019届高三第三次模拟考试
文科数学卷
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设集合A={x||x-2|≤2,x ∈R} B={y|y= -, -1≤x ≤2} 则
= ▲ ．
2．已知复数z ＝1
1＋i ，其中i 是虚数单位，则 |z |＝ ▲ ．
3．函数()
f x =
的定义域为 ▲ ．
4．定义在R 上函数f （x ）为奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x
﹣1，则f （x ）的值域为▲． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ▲ ． 6．已知π(0,)2α∈，3sin 5
α=，则π
tan()4α+= ▲ ．
7．等比数列{a n }的各项均为实数，已知
则 ▲ .
8．函数f （x ）=x 3
﹣12x +1，则f （x ）的极大值为 ▲ ．
9．ABC ∆中角A 、B 、C 所对边分别为c b a ,,，若b
c B A 2tan tan 1=+
，则bc a 2
的最小值 ▲ ． 10．过曲线C ：y=x x ln 上点（1，()1f ）处的切线方程为 ▲ 。

11．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2 (a 1＋a n ) (n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲ ．
12．设函数 的最大值为M ，最小值为N ，则M+N= ▲ ．
13．设函数 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么
的取值范围是 ▲ 。

14．已知函数
有两个不相等的零点
则 的最大值为 ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
已知不等式04522≤+-m mx x 的解集为A ，不等式012<-+-a x ax 的解集为B.
(1) 求A ； (2) 若m=1时,A B A = ，求a 的取值范围.
16．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π
2
，－2)．
（1）求φ的值； （2）若f ( α2 )＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π
6)的值．
17．（本小题满分14分）
函数()f α=⋅m n ,其中向量1,)42α=m ，(2sin ,cos 1)42
αα
=-n ．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos 2cos 0a B b A c C ++=，求函数()f A 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2 km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设
C O B θ∠=．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，
观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，
在扇形COD 内种一半面积的鲜花， 则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．
19．（本小题满分16分）
设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.
(1)若b 3＝3，求b 1的值．
(2)证明：数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列．
(3)设数列{T n }满足T n ＋1＝T n ·b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－1
2.若存在实数p ，q ，
对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值．
20．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．
（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程； （2）若g (x )＝x 4
，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；
（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，
使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．
数学参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．[o,1] 2．
2
2
3．（﹣∞，） 4．（﹣1，1） 5．5 6．7 7．32 8．17 9．1 10． x-y-1=0 11．2－2n －
1 12．
2 13．a ≥1 14． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(1) 不等式04522≤+-m mx x 可化为：0)4)((≤--m x m x …………2分
]4,[0)1m m A m =>时，当………………………3分 }0{0)2==A m 时，当………………………4分 ],4[0)3m m A m =<时，当………………………5分
)2(]4,1[1==A m 时，………………………7分
不等式012
<-+-a x ax 可化为0)1)](1([<---x a ax …………8分
A B A = ， B A ⊆∴ ………………………101分 41>-∴a
a ………………………12分
5
1
0<
<∴a ………………………14分 16．解：（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π
2
，－2)，
所以f (π
2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sin φ＝1．……………………… 4分
因为0＜φ＜2π，所以φ＝π
2． ………………………… 6分
（2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． ………………………… 8分
因为f (α2)＝65，所以cos α＝35
．
又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－4
5． ……………………… 10分
所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－7
25．…………… 12分
从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－243
50． …………… 14分
17．解：)12
(cos 214sin 24cos 23)(-+⋅=
α
ααx f ……………（2分）
212cos 212sin 23-+=
ααπ1
sin()262
α=+-. ……………（4分）
由正弦定理C
c
B b A a sin sin sin =
= ，……………（5分） 及
cos 2cos cos =++C c A b B a 得：
0cos sin 2cos sin cos sin =++C C A B B A ，
（7分） 即0cos sin 2)sin(=++C C B A ，……………（8分）
因为,,A B C 为△ABC 内角， 所以πA B C ++=，且0sin ≠C ，……………（9分）
s i n ()s i n (π)s i n A B C C
+=-=，sin 2sin cos 0C C C +=， 所以 1
cos 2
C =-
，……………（10分） 因为 2
(0,π)π3
C C ∈=
，……………（11分） 因为π(0,)3A ∈， 所以πππ
(,)2663
A +∈ ……………（12分）
()f A ∈. ……………（14分） 18．解 （1）由题COD θ∠=，2AOD πθ∠=-，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
取BC 中点M ，连结OM ．则OM BC ⊥，2
BOM θ
∠=
，
∴22sin 2BC BM θ
==．……………（1分） 同理可得2sin 2
CD θ=，22sin
2cos 2
AD πθ
θ-==．……………（3分）
∴222sin
2sin
2cos 212sin 4sin 22
222l θ
θ
θθθ⎛
⎫=+++=-++ ⎪⎝
⎭． 即2
14sin 5,0,222l θπθ⎛⎫⎛⎫
=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．……………（5分）
∴当1sin
22θ
=
，即3
π
θ=时，有max 5l =．……………（6分） （2）1
sin 2
BOC S θ∆=，()1sin 2sin cos 2AOD S πθθθ∆=-=，12COD S θ=扇形．…（9分）
∴11
sin sin cos 24S θθθθ=++．
∴()()22111
'cos cos sin 4cos 32cos 1244
S θθθθθ=+-+=+- ……………（12分）
∵0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴解'0S =得3πθ=，列表得
∴当3
θ=
时，有max S ．……………（14分）
答：（1）当3
π
θ=
时，观光道路的总长l 最长，最长为5km ；
（2）当3
π
θ=
时，鲜花种植面积S 最大．……………（16分）
19．（本小题满分16分）
解：(1)因为b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，
所以b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，所以b 1＝－1. ……………………………… 2分 (2)证明：因为b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，① 所以b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1.② ②－①得b n ＋3
＝b n ， ……………………………… 4分
从而(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数，
故数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列． ………………………………6分 (3)因为T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1，
当n ≥2时，T n ＝b 1b 2b 3…b n ，(*) 当n ＝1时，T 1＝b 1也适合(*)式，
所以T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)． ………………………………8分
因为b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝3
2，b n ＋3＝b n ，
所以T 1＝b 1＝－12， T 2＝T 1b 2＝12， T 3＝T 2b 3＝3
4
，
T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1， T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝3
4T 2，
T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝3
4
T 3，……
所以T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3 ＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3 ＝3
4
(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， 故数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是首项为T 1＋T 2＋T 3＝34，公比q ＝3
4的等比数列．记
S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n . ……………………………… 10分
①当n ＝3k (k ∈N *)时，
S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )
＝34⎣⎡
⎦⎤1－34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫34k ，所以34≤S n ＜3；………………………………11分 ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时，
S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k ＝3⎣⎡⎦⎤1－3
4k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·3
4k ，所以0≤S n ＜3；………………………………1 3分
③当n ＝3k －2(k ∈N *)时，
S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k
＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k
＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫34k －12⎝⎛⎭⎫34k －1－⎝⎛⎭⎫34k ＝3－143·⎝⎛⎭⎫34k ， 所以－1
2≤S n ＜3. ………………………………15分
综上所述，－12≤S n ＜3，则p ≤－1
2
且q ≥3，
所以q －p 的最小值为7
2. ………………………………16分
20．解：（1）当a ＝－1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝－x 3＋x ＋1，从而f ′(x )＝－3x 2＋1．
当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－2，
所以函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0． ………………………………………………… 3分 （2）f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4．
所以x 4－ax 3＝|x －a |，从而x 3(x －a )＝|x －a |．
此方程等价于x ＝a 或⎩⎨⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎨⎧x ＜a ，x ＝－1．
…………………………………… 6分
所以当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1； 当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1；
当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1． …………………………… 9分
（3）当a ＞0，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，
所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0．
所以当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1024f (x )∈[1024f (a ＋2)，1024
f (a )
]，
当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[ f (a ＋2)，＋∞)． ……………………………… 11分 因为对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024， 所以[1024f (a ＋2)，1024
f (a )]⊆[ f (a ＋2)，＋∞)． (13)
分
从而1024f (a ＋2)
≥f (a ＋2)．
所以f 2(a ＋2)≤1024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32． 因为a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． ……………………………… 16分。