A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学(B卷)试卷(原卷版)

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A10联盟2023级高二上学期9月初开学摸底考
数学（北师大版）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1. 已知集合
{}
3,2,0,1,2A =−−，
{}2
60
B x x
x =
∈−−≥N ，则()N
A B = （ ）
A. {}3,2,0,1,2−−
B. {}1,0,1,2− C {}0,1,2
D. {}1,2
2. 设,a b ∈R ，则“10b a
>>”是“1
a b <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86
B. 87
C. 88
D. 90
4. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 1
()4
P A =
B. 事件A 与事件B 互斥
C. 事件A 与事件B 相互独立
D. 1()2
P A B ∪=
5. 已知4tan 23θ=，π0,4θ
∈ ，若ππcos cos 44m θθ −
=+
，则实数m 值为（ ） A. 3−
B. 2−
C. 3
D. 2
6. 已知平面向量1e 和2e 满足2122e e =
= ，2e 在1e 上的投影向量为1e −
，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）
.的
A. 214
e −
B. 12−
C. 212
e −
D. 2e −
7. 已知函数()lg ,01016,102x x f x x x <≤
= −+>
，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则
+++a b c d 的取值范围为（ ）
A. [)26,+∞
B. ()14,+∞
C. 34126,
10
D. 22126,
10
8. 在ABC 中，M 为BC 上一点且满足2BM MC =
，120AMC ∠=°，2AM =
，若3ABM S =△，
则ABC 的外接圆半径为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 3
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A.
π
i 2
e 的虚部为1
B. 复数
πi
4e
在复平面内对应的点位于第二象限
C. i i e e sin 2i
x x
x −−=
D. 若πi 3
1
e z =，i 2e z θ=在复平面内分别对应点1Z ，2Z ，则12 OZ Z 面积的最大值为1
10. 把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω
=
+⋅+<<
的图象向右平移π
12
个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()π3f x f x
−=
C. 当π0,3
x ∈
时，()f x 的值域为[]1,2
D. 若方程()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,3
11. 如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的一个动点，则（ ）
A. 当M 在平面1111D C B A 内运动时，四棱锥M ABCD −的体积是定值
B. 当M 在直线11A C 上运动时，BM 与AC 所成角取值范围为ππ,42
C. 使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M
D. 若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN
共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 在ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 是AD 上靠近A 的四等分点，若BE xAB y AC =+
，则
x y +=______．
13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为2
5log 10
q
v =（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为1q 时的飞行速度为1v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为2q 时的飞行速度为2v （米/秒），两只燕子同时起飞，当124q q =时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米
14. 已知P A B C D ,,,,是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，
1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为______．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
的
15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =.
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. （2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
16. 已知锐角ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且cos sin 0a C C b c +−−=． （1）求A ；
（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．
17. 如图1，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为边CD 上一点．现将ADE 沿着AE 折起，使点
D 到达点P 的位置．
（1）如图2，若E 为边CD 的中点，点F 为线段PB 的中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）如图3，设点P 在平面ABCE 内的射影K 落在线段AB 上． ①求证：CB ⊥平面PAB ； ②当1
4
AK AB =
时，求直线PC 与平面ABCE 所成的角的余弦值． 18. 设函数()e e 2x x f x −−=，()e e
2
x
x
g x −+=
．
的
（1）判断函数()f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：()()()()
2
f x y f x y f x
g y ++−=；
（3）若()()()
22
ln 42ln 2x
x x h x f t f −+⋅在区间[]1,1−上的最小值为7
8
−
，求t 的值． 19. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：
σ=
A 相对的0θ的“正弦标准差”．
（1）若集合ππ,63A = ，0π
4
θ=
，求A 相对0θ的“正弦标准差”； （2）若集合π,,4
A αβ = ，是否存在3π,π4
∈
α，3π7π,24β ∈
，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
的。