2-4 转动刚体的角速度和角加速度解读

例2-6 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形 转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时 其角速度 0 0 ，经过300s后，其转速达到 18000 r min 1 .已知转子的角加速度 与时间
成正比，问在这段时间内，转子转过多少转？
解：由题意可知，转子的角加速度与时间成正比。 d kt 由角加速度得
2
an r 33.8 (m s )
2 2 2
习题2-19 由山顶上以初速度 v0 水平抛出一小球， 若山顶为坐标原点，沿 v0 方向为x轴正方向，竖 直向下为y轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试 求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t时刻，小球的 切向加速度和法向加速度。 解：（1）小球在x轴作匀速直线运动，y轴上作自由 落体运动，即
角速度
转动平面
o
r
·
p
d lim t 0 t dt

d 角加速度 dt
角加速度的方向：
2


1

1
2



定轴转动的特点
三 刚体的匀变角速转动 当刚体绕定轴转动的角加速度 为恒量时，刚 体做匀角变速转动 .
0 t
2－ 4
转动刚体的角速度和角加速度
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体 .
一 刚体的平动和转动
刚体的平动
定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆 周运动. 刚体的平面平行运动 .
二
转动刚体的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 角位移

(t t) (t)
于是，转子的角速度为


150
t
2
由角速度定义得
d 2 t dt 150
分离变量，代入上下限



0
d
t dt 0 150
t

2
积分得

450
t3
在300s内，转子转过的转数为
3 4 N (300) 3 10 (圈） 2 2 450
习题2-13 质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m,以 角量表示的运动方程为
v0 at
1 2 2
x x0 v0t at
2 2 0
0 0t t
1 2
2 2 0 2 ( 0 )
2
v v 2a( x x0 )
四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
ds rd ds d
r
dt dt d d dt dt
dt
分离变量，代入上下限 积分得


0
d

t
0
ktdt
1 2 kt 2
确定比例系数
k,
t 300s 时，
2 n 2 18000 rad s 1 600 (rad s 1 ) 60 60
由上式得
2 2 600 3 3 k 2 rad s ( rad s ) 2 t 300 75
1 2 0 0t t 2
2 2 0
2 ( 0 )
质点直线运动 坐标 x=x(t)
dx v dt
刚体绕定轴转动 角坐标 (t ) d dt d dt =常数 0 t
d vx a dt a=常数 v
x v0t
1 2 y gt 2
g 2 y x 2 消去时间t,可得小球的轨迹方程 2v0
（2）由速度的分量式得
t时刻，小球的速率
dx vx v0 dt
dy vy gt dt
v v v v g t
2 x 2 y 2 0
2 2
t时刻，小球的切向加速度
dv at dt
g 2t v g t
2 0 2 2
由总加速度得
ax 0
ay g
ag
a a
2 x 2 y
a a
2 t
2 n
所以，法向加速度
an
g a
2 2 tv0 g v g源自t2 0 2 2
a
an r
et v a
t
v ret
at r an r
2
a ret r en
2
例2-5 一飞轮在时间t内转过角度
a bt ct
2
3
求飞轮的角速度和角加速度。 解：由角速度定义得 角加速度定义得
d 2bt 3ct 2 dt d 2b 6ct dt
1 10 t t 2 2
试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；
（2）第3s末的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）由角速度和角加速度得 d 10 t dt d dt
（2）由切向加速度和法向加速度得
at r 0.2 (m s )