高一数学平面向量的基本定理1

2.2.1平面向量基本定理
复习:
⑴向量共线充要条件

向量b与非零向量a共线,
有且只有一个实数λ ，使得b =λ a.
当 0 时， b 与 a 同向， 且 | b |是| a | 的 倍; 当 0 时， b 与 a 反向， 且 | b |是| a | 的| | 倍; 当 0 时， b 0 ，且 | b | 0 .
(唯一性)
N A
e2 O e1
M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的
分解式。
实例:
例1. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交 于M，设 AB a ， AD b ，试用基底{a，b} 表示 MA, MB, MC , MD
D b A a M B C
例 2. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点， 求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 OP 关于基底{ OA, OB }的分解式为
OP (1 t )OA tOB.
P
B O A
根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得 ON
O
N
B
OM 1OA 1 e1
ON 2 OB 2 e2
OC 1 e1 2 e2
即 a 1 e1 +2 e2
N
A
B C
e1
e2
a
O
如图 OC OM ON
M
OM 1OA 1 e1
ON 2 OB 2 e2
a b 2
D
a b 2
,
.( 用a、 b来表示)
C
A
B
2、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b A 试用 a , b 表示AG
F G D E C B
3、在正六边形ABCDEF中，AC = a , AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。 E
F
D
如果e1、 e 2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对 实数λ1、λ 2，可使
所有向量的一组基底.
a = λ1e1 + λ 2 e 2
这里不共线的向量e1、 e 2叫做表示这一平面内
uu r uu r u r uu r uu r 一个平面向量用一组基底e1,e 2 表示成ａ= λ1e1 + λ 2 e 2 uu r uu r 的形式，我们称它为向量的分解。当e1,e 2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
⑵向量的加法：
b a
共起点
b
O
B
ab
C A
a
ab
平行四边形法则
B
首尾相接
O
b
a
A
三角形法则
引入:
问题：（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式
子来表示呢？怎样表示？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示
是否唯一？请说明理由.
新课:
思考：一个平面内的两个不共线的向量 e1、 e2 与该平面 内的任一向量 a 之间的关系. M
B
N
D M C
例4. 已知向量 e1 , e2 不共线， 如果向量 e1 e2 与
e1 e2
解：由已知得 e e 共线 ,1 求 λ 2 . (e 1 e2 ) 所以
1
解得λ =±1.
练习:
1.在 ABCD中，设AC = a,BD = b,则AB = AD =
DC,BC的中点且 AM c, AN d ，用 c, d 表示 AB, AD . 解：设 AB a, AD b
A
4 2 1 a d c c b a 3 3 2 b 4 c 2 d d a 1 b 3 3 2
O
C B
A
（高考实战） : (2007江西)如图,在Δ ABC中, 点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB, uur uur uur uur AC于不同的两点M,N,若AB = mAM,AC = nAN,
2 则m + n的值为____ ____.
A N B O C
M
课堂小结:平面向量基本定理：
∵ OA OM ON ∴ 存 在 实 数 a1 ， a2 使 OM a1e1 , ON a2e2 . 于 是
a a1e1 a2e2 .
(存在性)
设存在实数 x,y 使 a xe1 ye2 ，只要证 a1 x 且 a2 y
a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0
OP OA AP OA t AB
uuu r uuu r uuu r 即 OP (1 t )OA tOB
特殊地，令t=
1 2
OA t (OB OA)
, 点M是AB的中点，则
uuuu r 1 uuu r uuu r OM (OA OB ) 2
例3.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
OC 1 e1 2 e2
即 a 1 e1 +2 e2
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成λ1e1 + λ 2 e 2的形式
平面向量基本定理
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.