平面向量基本定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册

= + + = − + +
1

2
=
1
− .
2
练习
方法技巧：
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义.
练习
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(2)模型：
模
型
一
模
型
二
条件
多个向量首尾相接，并且最后一
共线，则 =（ ）.
A.
1
3
B.−
1
3
C.−3
D.3
答案：B.
解：因为与共线，所以存在 ∈ ，使得 = ，
即−3 − = ( − ).
故 = −3，− = −1，解得 =
故选B.
1
− .
3
练习
方法技巧：
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，
，，，，，的中点分别为，，，设 = ， = ， = .
(1)试用，，表示向量，，；
1
2
1
2
解(1)：∵ = ， = ( + )，
∴ = − =
同理： =
1
( +
2
1
(
2

+ − ).
− )， =
若，，三点共线，为直线外一点⇔
你有什么发现？
存在实数，，使 = + 且
+ = 1.
例析
例2.如图，是∆的中线， =
1
，用向量方法证明∆是直角三角形.
2
证明：如图，设 = ， = ，则 = + ， = −，

于是 = − .
由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研
究问题带来了极大的方便.
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.
（
）
(2)零向量可以作为基底.
（
）
(3)若 ， 是同一平面内两个不共线的向量，则1 + 2 (1 ，2 为实数)可以
表示该平面内所有向量.
（
）
答案：×，×，√.
辨析2：若 ， 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的
是（ ）.
1
A. − ， −
B.2 − ， −
2
C.2 − 3 ，6 − 4
D. + ， −
答案：D.
力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为
多组大小、方向不同的分力.
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，
使向量是这两个向量的和呢？

新知探索
如图(1)，设 ， 是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与
， 都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点，作 = ， = ，
6.3 平面向量基本定理
及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
情境导入
上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条
直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的
两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个
P
B
N
M
C
解：设 = ， = ，则 = + = −3 − ， = + =
2 + .∵，，和，，分别共线，∴存在实数，使得 = =
− − 3 ， = = 2 + .∴ = + = − = ( +
1 + 2 .也就是说，与 ， 都不共线的向量都可以表示成1 + 2 的形
式.
当是与 或 共线的非零向量时，也可以表示成1 + 2 的形式；当是零


向量时，同样可以表示成1 + 2 的形式.(为什么？)



•

练习
方法技巧：
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解；
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
课堂小结
平面向量基本定理
(1)定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
2
2
B. = +
D. =
1

2
1

2
答案：ABC.
解：如图， = + = −
1
+
2
1
2
+ ，B正确； = + =
1
2
1
2
1
2
) = − ，C正确； =
F
B
E
D
C
1
= − − ，A正确； = +
2
1
1
− − ， = + = + (− −
可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.
A.与
B.与
C.与
D.与
答案：AC.

解：结合图形可知，与不共线，与不共线，
∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可
以作为基底.




练习
变1.设向量 ， 是平面内的一组基底，若向量 = −3 − 与 = −
则1 =
1
(
2
+ ) =
1
(
4

+ + ).
设，的中点分别为2 ，3 ，
1
4
1
4
同理可求得2 = ( + + )，3 = ( + + ).
∴1 = 2 = 3 ，即，，交于一点且互相平分.
• •
•
• •

1
( +
2

− ).
• •
•
• •

•

练习
变3.平面内有一个∆和一点(如图)，线段，，的中点分别为
，，，，，的中点分别为，，，设 = ， = ， = .
(2)求证：线段，，交于一点且互相平分.

证明(2)：设线段的中点为1 ，
例析
例1.如图，，不共线，且 = ( ∈ )，用，表示.

解：因为 = ，

所以 = + = + = + ( − )

= + − = (1 − ) + .

思考1：观察 = (1 − ) + ，
一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线
性表示出来.
练习
题型二：用基底表示向量
例2.(多选)，，分别为∆的边，，上的中点，且 = ，
= ，则下列结论中正确的是（ ）.
A
1
A. = − −
2
1
1
C. = − +
个向量的终点与第一个向量的起
点重合
结论
这些向量的和为零向量，其中任
意一个向量可用其他向量表示
条件
∆中，为中点
结论
1
= ( + )
2
练习
题型三：平面向量基本定理的应用
A
例3.如图，在∆中，点是的中点，点在上，且
= 2，与相交于点，求: 与: 的值.
2
2
1
= − ，D不正确.
2
=
练习
变2.如图所示，在□中，点，分别为，边上的中点，与
交于点.若 = ， = ，试用，表示向量，.






1
2



1
2
1
2
解： = + + = − + + = − + + = − .
= .将按 ， 的方向分解，你有什么发现？





图(1)



图(2)

新知探索
如图(3)，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平
行于直线的直线，与直线交于点，则 = + .由与 共线，
与 共线可得，存在实数1 ，2 ，使得 = 1 ， = 2 ，所以 =
2) + (3 + ) .而 = + = 2 + 3 ，由平面向量基本定理，得
4
5
3
= .
5
3
= .
2
= ，
+ 2 = 2，
解得
3 + = 3，

∴: = 4，:
∴ =
4
，
5
=
3
，
5
练习
变3.平面内有一个∆和一点(如图)，线段，，的中点分别为
使 = 1 + 2 .
新知探索
综上，我们得到如下定理：
平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的任一向量，有且仅有一对实数1 ，2 ，使 = 1 + 2 .
若 ， 不共线，我们把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
量，有且仅有一对实数1 ，2 ，使 = 1 + 2 .
(2)基底
若 ， 不共线，我们把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P27的练习1~3题；
(3)课本P36的习题6.3的1、11题.
(2 −2 ) = .由此式可以推出1 − 1 ，2 − 2 全为0(假设1 − 1 ，2 − 2 不
全为0，不妨假设1 − 1 ≠ 0，则 =
2 −2
−
.由此可得 ， 共线.这与已知
1 −1
， 不共线矛盾)，即1 = 1 ，2 = 2 .也就是说，有且只有一对实数1 ，2 ，

图(3)



新知探索
上述讨论表明，平面内任一向量都可以按 ， 的方向分解，表示成
1 + 2 的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成
1 + 2 的形式，那么1 + 2 = 1 + 2 .可得(1 − 1 ) +
∙ = ( + ) ∙ ( − ) = − .
1
2因为 = ，所以 = .

因为 = ， = ，所以 ∙ = 0.
因此 ⊥ .
于是∆是直角三角形.



练习
题型一：对平面向量基本定理的理解
例1.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，