四川省绵阳南山中学2013-2014学年高二数学上学期12月月考试题 理 新人教A版

2013年12月
南山中学2015级12月模拟考试（理科）数学试题题卷
考生注意：
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟.选择题用2B 铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题有10个小题，每个小题给出的四个选项中只有一个正确，请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分，共40分.）
1.直线3310x y +=的倾斜角为（ ）
A ．030
B ．060
C ．0120
D ．0150
2.某校开设街舞选修课程，在选修的学生中，有男生28人，女生21人.若采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则应抽取的女生人数为（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 3.《几何原本》的作者是（ ）.
A .欧几里得
B .阿基米德
C .阿波罗尼奥斯
D .托勒玫
4.将点的直角坐标(－2，23)化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）
A ．(4，
3
2π) B ．(4，
6
5π) C ．36
π) D ．33
π) 5. 已知(
000,90θ⎤∈⎦，则方程22
sin 1x y θ+=表示的平面图形是（ ）
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .圆或椭圆 6．如果执行图1的框图，输入N =5，则输出的数等于（ ） A . 65 B .56 C .
54 D .4
5
7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．320x -+=
C ．043=+-y x
D ．043=-+
y x
8.过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12
y x -=交于A 、B 两点,使点P 为AB 中点,则这样的直线（ ） A ．存在一条,且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条,方程为()210
x y ±+=
D ．不存在
9.圆22
2430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为3的点共（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图①、②、③的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（ ）
A ．e 1＞e 2＞e 3
B ． e 1＜e 2＜e 3
C ． e 1＝e 3＜e 2
D ．e 1＝e 3＞e 2
第II 卷（共80分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）
11.在空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -的距离是 .
12.经过点()3,4P --,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程表示) 13某同学在四次语文单元测试中，其成绩的茎叶图如下图所示，则该同学语文成绩的方差 .
( 第13题图) (第14题图)
14. 如上图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 . 15.给出下列结论：
①与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在一个椭圆上.
②若直线1y kx =-与双曲线22
4x y -=右支有两个公共点，则5k ⎛∈ ⎝⎭
.
③经过椭圆2
212
x y +=的右焦点F 作倾斜角为060的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AF BF >,则932
7
AF FB +=
. ④抛物线2
2y x =上的点P 到直线4y x =+的距离的最小值为
2
4
. 其中正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.(10分) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切. 11 4
12 6 8 13 2
x
y
B
O
D
A (1) 求圆O 的方程；
(2) 若圆O 上有两点N M 、关于直线02=+y x 对称，且32=MN ，求直线MN 的方程.
17.（10分） 某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将 他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40 分的整数）分成六段：[40,50),[50,60),[90,100]后得到如 图所示的频率分布直方图.
(1) 若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级 本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；
(2) 若从数学成绩在[40,50)和[90,100]两个分数段内的学生 中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率.
18.（10分）如图：已知直线与抛物线2
2(0)y px p =>交于,A B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥交AB
于点D ，点D 的坐标为(2,1). (1) 求p 的值； (2) 求AOB ∆的面积.
19.（10分）已知圆2
2
:2C x y +=,坐标原点为O .圆C 上任意一点A 在x 轴上的射影为点B ，已知向量
()()1,0OQ tOA t OB t R t =+-∈≠.
(1) 求动点Q 的轨迹E
的方程；
(2) 当2
t =
S (0，－13)的动直线l 交轨迹E 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一
个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过T 点?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
附加题：（注意: 本大题共2个小题，每题10分, 共20分. 每题第一问3分, 第二问7分）
20.在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3. (1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；
(2)已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率k AE 与直线
AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说
明理由．
21. 已知k R ∈,当k 的取值变化时，关于,x y 的方程2
444kx y k -=-的直线有无数条，这无数条直线形成了一个直线系，记集合M ={2(,)|444x y kx y k -=-仅有唯一直线}. (1)求M 中点(),x y 的轨迹方程；
(2)设P ={(,)|2,x y y x a a =+为常数}，任取,C M D P ∈∈,
如果CD a 的值.
南山中学2015级12月模拟考试
数学(理)答题卷
11．． 12．．13．． 14．．15．．
6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．
19．
21．
一、选择题
（本大题有10个小题，每个小题给出的四个选项中只有一个正确，请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分，共40分.）
1~5：CDAAD ; 6~10：BBDBC
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.） 12.430x y -=或70x y ++=； 13. 45； 14.
2
π
； 15.②④
三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.解（1）直线40x --=与圆O 相切 ∴r =d =
422
-=
南山中学2015级12月模拟考试（理科）数学试题
参考答案及评分细则（仅供参考）
O ∴的方程为：224x y +=……………………………………………………….…(4分) （2）
,M N 关于直线20x y +=对称
∴可设MN 所在的直线方程为：20x y C -+=…………………………………………….(5分)
∴O 到MN 的距离为1………………………………………………………………………….(7分)
1=C ⇒=直线MN 的方程为：20x y -=…………………........…(10分)
17.解:由频率分布直方图已知
（1）不低于60分的学生所占的频率为：10.050.10.85--=
∴不低于60分人数为：640⨯0.85=544（人）………………………………………………...(2分) （2）第一组[)40,50的学生人数为：0.05⨯40=2（人），记为12,A A ……………………………...(3分) 第六组[]90,100的学生人数为：0.1⨯40=4（人），记为1234,,,B B B B ………………………..…..(4分) 则从这两个分数段内的学生中随机选取2人所包含的基本事件有：
12A A ,11A B ,12A B ,13A B ,14A B ,21A B ,22A B ,23A B ,24A B ,12B B ,13B B ,14B B ,23B B ,24B B ,34B B 共15
种.
设“这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件A
∴事件A 所包含的的基本事件有：12A A ,12B B ,13B B ,14B B ,23B B ,24B B ,34B B 共7种.
∴()7
15
P A =
…………………………………………………………………………………….…….(10分) 18.解（1）OD AB ⊥ 1OD AB k k ∴=- 又1
2
OD k = 2AB k ∴=-
∴直线AB 的方程为25y x =-+.………………………………………………………………….…(1分)
设12(,)A x x ,22(,)B x y ,则由121200OA OB OA OB x x y y ⊥⇒=⇒+=…………………….…(2分) 又12121212(25)(25)x x y y x x x x +=+-+-+1212510()25x x x x =-++
联立方程2225
y px
y x ⎧=⎨=-+⎩ 消y 可得 24(202)250x p x -++= ①
12102p x x +∴+=
,1225
4
x x = ………………………………………………………….……….…(3分) 121225105102542p x x y y +∴+=⨯-⨯+54p =- 5
4
p ∴=
当54p =时，方程①成为2
845500x x -+= 显然此方程有解.54p ∴= ……… ….…(5分)
(2)法一:由22
1212(1)()4AB k x x x x ⎡⎤=
++-⎣⎦ 2155855()2588⎡⎤=⨯-=⎢⎥⎣⎦
.………....…(7分) 5OD =.…………………………………………………………………………………………...…(8分)
12AOB
S
AB OD ∴=
1585528=⨯⨯ 2517
16
=………………………………….......….…(10分) 法二:),(),,(2211y x OA y x OA ==
2122121122112214)(2
525)52()52(2121x x x x x x x x x x y x y x S AOB -+=-=+--+-=-=
∆ 后面做法同法一.
19.解（1）设(,)Q x y ,00(,)A x y ,0(,0)B x
(1)OQ tOA t OB =+-
000(,)(,)(1)(,0)x y t x y t x ∴=+-00(,)x ty = 001x x y y t =⎧⎪∴⎨=⎪⎩
又00(,)A x y 在圆222x y +=上
∴轨迹E 的方程为22
22y x t +=即2
2
2122x y t
+=…………………………….………………………(4分)
（2）当22t =时，轨迹E 的方程为2
212
x
y +=
（ⅰ）当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为2
2
1
16()3
9
x y ++= （ⅱ）当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为221x y +=
由
⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＋y ＋132＝
432
，
x 2＋y 2＝1，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝1.
即两圆相切于点
(0,1)，.……………………..……………(6分)
因此，所求的点T 如果存在，只能是(0,1)．事实上，点T (0,1)就是所求的点，证明如下： 当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l 的方程为y ＝kx －1
3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1
3，x 2
2＋y 2
＝1
消去y 得(18k 2＋9)x 2
－12kx －16＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝
12k
18k 2
＋9
，x 1x 2
＝－1618k 2
＋9.
又因为TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →
＝(x 2，y 2－1)，
所以TA →·TB →
＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－4
3
)
＝(1＋k 2
)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169
＝(1＋k 2
)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169
＝0，
所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)，
综上，在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件. .…………………………………………………(10分) 20.解 (1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m
2(x ＋2)，
①
直线A 2N 2的方程为：y ＝－n
2
(x －2)，
②
设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得
y 2＝－mn
4
(x 2－4)，
由mn ＝3，整理得x 24＋y 2
3
＝1，
∵N 1，N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上，
∴轨迹M 的方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠±2)，.…………………………………………………………………(3分)
(2)∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 2
3＝1解得t ＝3
2
，
即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，
设k AE ＝k ，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1并整理得(3＋4k 2)x 2
＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32－k 2
－12＝0，
设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在轨迹M 上，
∴x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2
－123＋4k
2
， ③ y E ＝kx E ＋32
－k ，
④
又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得
x F ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋k 2
－12
3＋4k 2
，y F ＝－kx F ＋32
＋k ， ∴直线EF 的斜率k EF ＝
y F －y E x F －x E ＝－k x F ＋x E ＋2k
x F －x E
， ∵x E ＋x F ＝8k 2
－64k 2＋3，x F －x E ＝24k
4k 2＋3，
∴k EF ＝－k ·8k 2
－64k 2＋3＋2k
24k 4k 2
＋3
＝
－k
8k 2－6＋2k 4k 2
＋324k ＝1
2
，
即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2..…………………………………………………………..………(10分)
21.解(1)由题意易知，2
44(1)0k kx y +-+=仅有唯一解
21616(1)0x y ∴∆=++=
∴所求的轨迹方程为210x y ++=.……………………………………………………..……………(3分)
（2）设直线2y x C =+与轨迹M 相切，则
由2210
y x C x y =+⎧⎨++=⎩ 消y 可得2210x x C +++= 44(1)0C ∴∆=-+= 即0C = 2y x ∴=
CD 的最小值为555
a =5a ⇒=±.……………………………………………………………....…………………(10分)。