提公因式法(第2课时)

探究新知
因式分解： − + ( − )
因式分解
解： − + ( − )=( − )( + )
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以
是一个多项式的形式.
探究新知
素养考点 1 提公因式为多项式的因式分解
例
因式分解： + + ( + )
(n是偶数)
(n是奇数)
(n是整数)
探究新知
素养考点 1
提符号不同的多项式的因式分解
例1 因式分解： ( − ) −( − )
解：( − ) −( − )
=( − ) − −( − )
=( − ) − −

=( − ) ( − − )
因式分解： − + ( − )
（1）多项式的公因式是什么？（ − ）
（2）如何将多项式因式分解？ 可将( − )看做整体.
分析：设 − = ，则原式变形为 + ，
∴ + = ( + )，
整体思想 即 − + − = ( − )( + )

巩固练习
变式训练
把下列各式因式分解：
(1)( + ) + ( + )；
(2) − − ( − )；
解： (1)( + ) + ( + )=( + )( + )；
(2) − − − = − − ；
巩固练习
(3)( + ) −( + )；
D. − ( + − )
课堂检测
基础巩固题
3.因式分解：( − ) + ( − ).
解法1：( − ) + ( − ) 解法2：( − ) +( − )
= ( − ) − ( − )
= ( − ) +( − )
= ( − )( −#43; − .
解：− + −
= −( − + )
= −( − + )
注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”
号，注意多项式的各项变号.
导入新知
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
（1） − 与− + 互为相反数：(a-b)n = (b-a)n
(n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
+ 与− − 互为相反数：(-a-b)n = (a+b)n
(-a-b)n = -(a+b)n
（2） + 与 + 互为相同数： (a+b)n = (b+a)n
= ( − )( − + )
= ( − )( − ).
= ( − )( − ).
课堂检测
基础巩固题
4.已知 + = ， − = −，求代数式
+ − + ( + )的值.
解： + − + ( + )
最大公约数
相同的字母 最低次幂
例如，多项式 − 的公因式为:

思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
素养目标
2. 能运用整体思想进行因式分解.
1. 能准确地找出各项的多项式公因式进行因
式分解.
探究新知
知识点 1
提公因式法
C. −
D. + − ( + )
2. 把多项式 ( − ) +( − ) 分解因式结果正确的是（ B ）
A. − ( − − )
B. − ( − + )
C. − ( + − )
判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
如: − 和− + ，即 − = − + ；
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: − 和 − ，即 − = −（ − ）.
探究新知
结论2
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
= + − +
= + − ，
∵ + = ， − = −，
∴原式= −.
课堂检测
能力提升题
观察下列各组中的两个多项式，其中有公因式的
是 ②③ ④⑤ .
① + 与 + ；②− − 与 − ( + )；
③ − 与 − + ；④ − 与 + ；
提公因式法 ，
课堂检测
（2）若分解 + + + + ( + ) +…+( + ) ，
则需应用上述方法 2004 次；
（3）分解因式：
+ + + + (
为正整数）.
+ ) +…+(
+
) =
( + )+ （
课堂小结
⑤ + + 与 + .
课堂检测
拓广探索题
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
+ + + + ( + )
= ( + ) + + ( + )
= +

+
= ( + )
（1）上述分解因式的方法是
共应用了
2 次；
解： + + ( + )
= + + ( + )
= + ( + + )
巩固练习
变式训练
将 − − ( − )分解因式，应提出的公
因式是（ B ）
A. −
B. ( − )
C. −
D. +
= − − − ( − )( − )
= − − ( − )
= −

−
巩固练习
变式训练
（1）因式分解: ( −
) −
−

=
− ( − − ) .
（2）已知 + + − + − = ，
确定公因
式的方法
提公因式法
（多项式）
提公因式
法的步骤
定系数，定字母（或多项式），定指数
一找；
二提；
三分解.
提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
注意
2、不要漏项；
3、底数相反时，提取“-”
号要变号.
− ；
(2) − = −
(3) + = +
+ ；
(4)( − ) = +
(5) − − =
−
+ ；(6)-s2+t2= −
观察：以上各多项式有什么特点？
− ；
( − ) ；
（s2-t2）.
只有符号不同
探究新知
结论1
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下
(4) − + − ；
(5)( − ) +( − )；
(6) − − ( − ) .
解：
(3)( + ) − + = ( + )( + − )；
(4) − + − = ( − )( − )；
7
−
11
则 =
.
连接中考
（2020•聊城）分解因式：( − ) − + .
解： ( − ) − +
= − − −
=( − )( − )
课堂检测
基础巩固题
1. 下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ A ）
A. − +
B. ( − ) − ( − )
(5)( − ) + − = ( − )( − + ) ；
(6) − − −

= − − + .
探究新知
素养考点 2
整体思想
例2 分解因式
− − − ( − )( − )
解： − − − ( − )( − )
探究新知
知识点 2
符号不同的多项式的关系
因式分解：( − ) + ( − )
解： − + ( − )
= − − ( − )
=( − )( − )
转化思想
探究新知
请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“−”，使
等式成立.
(1) − = −