矩阵论- 线性空间
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q[ x] {an x a1 x a0 a0 , a1 ,, an F , an 0}
n
不是线性空间
例5 [a , b]区间上连续实函数全体所构成的集合C a, b 对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域 R 上 的线性空间，称为实函数空间，记为 C a, b ( R)
（1）幂等律：A∪A＝A
（2）交换律：A∪B＝B∪A
（3）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （4）分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) （5）DeMongan 律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。
定理 3 设 A, B, C 是三个集合，f：A B 是由 A 到 B 的映射， g：B C 是由 B 到 C 的映射，对于 A 中的 每一个元素 x ，有 C 中唯一确定的元素 z 满足：
g ( f ( x)) z 。 即存在一个 A C 的映射， 记为：g f ；
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
例1．证明：数集 是一个数域．
Q( 2 ) a b 2 | a , b Q
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
定理5 任意数域F都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域．
证明： 设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 1 F
m m m F, 0 F. 进而有 m , n Z , n n n
aa
1
aa
1
1;
(5) 1 a a1 a;
(6) a a a
a
a;
(7) a a a a a a a a;
到的向量空间R n 在元素和线性运算上的推广和抽象，
也是全书的理论基础，本节将给出线性空间、子空
间、基底核维数等相关概念。
定义1 若数域
F上的集合 V对于如上“+”和
“ ”两种运算是唯一封闭的，且满足如下八条：
对 , , V ; , F
(1) ; (2) ;
例6 正弦函数集合S x s A sin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间。 s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2
a1 a2 cos x b1 b2 sin x A sin x B S[ x ].
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, a 于是有 2 Q, b 或 a 0, b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q. 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q( 2)为数域．
第一章
线 性 空 间
1 2
预备知识
线性空间
线性子空间
授课预计 (6学时)
3
教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变 换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关 性质； 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理； 难点: 基变换与坐标变换;不变子空间
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论
例2
复数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 C mn (C )．
Amn Bmn C mn , Amn Dmn ,
C mn 是线性空间，通常称为复矩阵空间
一般线性空间的判定方法
（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的
定义8 定理2中的映射称为映射f与映射g的复合映射
1.1.3 其他概念
定义9 设F是至少包含两个数的数集，如果F 中 任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是
F中的数，则称F为一个数域． 常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
说明：
a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x
s1 A1 sin x B1 A1 sin x B1 S[ x ]
S x 是一个线性空间.
(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足 八条线性运算规律． 例7 正实数的全体，记作R ，在其中定义加法 及乘数运算为
称
y 为 x 在映射 f 下的像， x 为原像
我们通常称A为映射 f 的定义域，f ( A)为映射 f
的值域
定义7 设 A, B 是两个集合， f : A B
（1）若 f ( A) B, 则称 则称 f 为单射；
f 为满射；
f ( x1 ) f ( x2 ) （2）若x1 , x2 A，当 x1 x2 时，
定义5 A B x | x A且x B称为A与B的差集。
特别的，若 A S ，差集 S A 又叫做 S 关于 关于子集A的补集。记作 ： CS A
CS A x | x S且x A
定理 2
设 A，B，C 为三个集合．则以下等式成立： A∩A=A A∩B=B∩A
A B ，则称A是B的真子集。
S
定理1
设A, B, C是三个任意集合，则有：
(1) 如果 B A且 A B，则A B。
(2) 如果C
B且B A，则C A。
定义3
A B x | x A且x B 称为A与B的交集。
定义4 A B x | x A或x B 称为A与B的并集
(3) V 中存在 元素，使得对 V 有
(4) 对 V ，有 的负元素 V , st
(6) ;
(5) 1 ;
(7) ; (8) .
A ( B C ) ( A B) ( A C )
1.1.2 映射的概念与性质 定义6 设有两个非空集合 A, B ，如果对于 A 中 的任一元素 x ，按照一定规则 f ，总有 B 中一个
A 到集合 B 的映射，记作：
唯一确定的元素 y 与之对应，则称规则f 为从集合
f : A B , f (x) y
而任意一个有理ຫໍສະໝຸດ 可表成两个整数的商， Q F.
定义10 设 V 是一个非空集合， F 为一数域．在
V上定义运算如下： （1）在V中定义一个“+”运算，使得对任意 , V 总有唯一的元素 V 与之对应，即： ， 则称V 对“+”运算是唯一和封闭的，并称 “ + ” 为 V 中的“加法” ； （2）在V中定义一个“*”运算，使得对任意的 V
与任意的 F ，总有唯一的元素 V 与之对应， 我们经常将集合V和数域 F中定义的加法和 即： x ，则称集合V对“*”运算是唯一封闭的。 数乘运算合起来称为线性运算。 并称 “ * ” 为V 中的“乘法” ；
§1.2
线性空间
1.2.1 线性空间的概念与性质 线性空间（Linear Space）是线性代数中所涉及
矩阵论讲义
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用讲义
《 矩阵论讲义》自编待出版
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
a b ab, a a , R, a , b R .
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
证明:
a , b R , a b ab R ; R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
n 1 F x a a x a x ai F ; i 0,1, , n 0 1 例3 设 n 1 n
对通常多项式的加法和数乘运算构成数域F上的线
F xn (F ) 性空间，称为复多项式空间。记为：
例4 由数域F 上所有n 次多项式的全体构成的集合
下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
( 2)(a b) c (ab ) c (ab )c a (b c );
(3) R 中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a 1 R , 使
组成集合的事物称为集合中的元素。
一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z 表示集合，
用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。
例如： A {a, b, c, d , e}和 S { s s具有性P } 都表示的是集合。
没有任何元素的集合称为空集，记为 。
常用的特殊集合一般用N, Z, Q，R和C 分别表 示自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数 集。此外：
x | x 2n 1, n Z
和
x | x 2n, n Z
分别代表奇数集和偶数集。 定义2 若集合 A和集合B有同样的元素，称为A和B 相等，记为A = B；若集合 A和中的元素都是集合 B中的元素，称为A含于B或者称B包含A，记为： A B ，此时，称A是B的子集；若 A B ，且
则称 V 为数域 F 上的线性空间．记为: V ( F )
) 集合V 中的元素，称为线性空间 V ( F中的
元素或向量。
例1 全体n维复向量所构成的集合
C n [ x1 , x2 , , xn ]T | xi C
对通常向量的加法和数乘运算构成复数域C 上的
C n (C ) 线性空间。称为复向量空间，记为：
的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的
抽象化。
本章将从最简单的集合概念入手，详细给出线
性空间的的概念和相关理论。
§1.1
预备知识
1.1.1 集合的概念与性质 定义1 具有某种性质的事物的全体称为集合，
0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2) 证：
又对 x , y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2,
a , b, c , d Q ,
则有
x y (a c ) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc ) 2 Q( 2)
(8) (a b ) (ab ) ab a b
n
不是线性空间
例5 [a , b]区间上连续实函数全体所构成的集合C a, b 对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域 R 上 的线性空间，称为实函数空间，记为 C a, b ( R)
（1）幂等律：A∪A＝A
（2）交换律：A∪B＝B∪A
（3）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （4）分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) （5）DeMongan 律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。
定理 3 设 A, B, C 是三个集合，f：A B 是由 A 到 B 的映射， g：B C 是由 B 到 C 的映射，对于 A 中的 每一个元素 x ，有 C 中唯一确定的元素 z 满足：
g ( f ( x)) z 。 即存在一个 A C 的映射， 记为：g f ；
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
例1．证明：数集 是一个数域．
Q( 2 ) a b 2 | a , b Q
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
定理5 任意数域F都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域．
证明： 设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 1 F
m m m F, 0 F. 进而有 m , n Z , n n n
aa
1
aa
1
1;
(5) 1 a a1 a;
(6) a a a
a
a;
(7) a a a a a a a a;
到的向量空间R n 在元素和线性运算上的推广和抽象，
也是全书的理论基础，本节将给出线性空间、子空
间、基底核维数等相关概念。
定义1 若数域
F上的集合 V对于如上“+”和
“ ”两种运算是唯一封闭的，且满足如下八条：
对 , , V ; , F
(1) ; (2) ;
例6 正弦函数集合S x s A sin x B A, B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间。 s1 s2 A1 sin x B1 A2 sin x B2
a1 a2 cos x b1 b2 sin x A sin x B S[ x ].
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, a 于是有 2 Q, b 或 a 0, b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q. 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q( 2)为数域．
第一章
线 性 空 间
1 2
预备知识
线性空间
线性子空间
授课预计 (6学时)
3
教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变 换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关 性质； 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理； 难点: 基变换与坐标变换;不变子空间
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论
例2
复数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 C mn (C )．
Amn Bmn C mn , Amn Dmn ,
C mn 是线性空间，通常称为复矩阵空间
一般线性空间的判定方法
（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的
定义8 定理2中的映射称为映射f与映射g的复合映射
1.1.3 其他概念
定义9 设F是至少包含两个数的数集，如果F 中 任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是
F中的数，则称F为一个数域． 常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
说明：
a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x
s1 A1 sin x B1 A1 sin x B1 S[ x ]
S x 是一个线性空间.
(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足 八条线性运算规律． 例7 正实数的全体，记作R ，在其中定义加法 及乘数运算为
称
y 为 x 在映射 f 下的像， x 为原像
我们通常称A为映射 f 的定义域，f ( A)为映射 f
的值域
定义7 设 A, B 是两个集合， f : A B
（1）若 f ( A) B, 则称 则称 f 为单射；
f 为满射；
f ( x1 ) f ( x2 ) （2）若x1 , x2 A，当 x1 x2 时，
定义5 A B x | x A且x B称为A与B的差集。
特别的，若 A S ，差集 S A 又叫做 S 关于 关于子集A的补集。记作 ： CS A
CS A x | x S且x A
定理 2
设 A，B，C 为三个集合．则以下等式成立： A∩A=A A∩B=B∩A
A B ，则称A是B的真子集。
S
定理1
设A, B, C是三个任意集合，则有：
(1) 如果 B A且 A B，则A B。
(2) 如果C
B且B A，则C A。
定义3
A B x | x A且x B 称为A与B的交集。
定义4 A B x | x A或x B 称为A与B的并集
(3) V 中存在 元素，使得对 V 有
(4) 对 V ，有 的负元素 V , st
(6) ;
(5) 1 ;
(7) ; (8) .
A ( B C ) ( A B) ( A C )
1.1.2 映射的概念与性质 定义6 设有两个非空集合 A, B ，如果对于 A 中 的任一元素 x ，按照一定规则 f ，总有 B 中一个
A 到集合 B 的映射，记作：
唯一确定的元素 y 与之对应，则称规则f 为从集合
f : A B , f (x) y
而任意一个有理ຫໍສະໝຸດ 可表成两个整数的商， Q F.
定义10 设 V 是一个非空集合， F 为一数域．在
V上定义运算如下： （1）在V中定义一个“+”运算，使得对任意 , V 总有唯一的元素 V 与之对应，即： ， 则称V 对“+”运算是唯一和封闭的，并称 “ + ” 为 V 中的“加法” ； （2）在V中定义一个“*”运算，使得对任意的 V
与任意的 F ，总有唯一的元素 V 与之对应， 我们经常将集合V和数域 F中定义的加法和 即： x ，则称集合V对“*”运算是唯一封闭的。 数乘运算合起来称为线性运算。 并称 “ * ” 为V 中的“乘法” ；
§1.2
线性空间
1.2.1 线性空间的概念与性质 线性空间（Linear Space）是线性代数中所涉及
矩阵论讲义
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用讲义
《 矩阵论讲义》自编待出版
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
a b ab, a a , R, a , b R .
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
证明:
a , b R , a b ab R ; R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
n 1 F x a a x a x ai F ; i 0,1, , n 0 1 例3 设 n 1 n
对通常多项式的加法和数乘运算构成数域F上的线
F xn (F ) 性空间，称为复多项式空间。记为：
例4 由数域F 上所有n 次多项式的全体构成的集合
下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
( 2)(a b) c (ab ) c (ab )c a (b c );
(3) R 中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a 1 R , 使
组成集合的事物称为集合中的元素。
一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z 表示集合，
用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。
例如： A {a, b, c, d , e}和 S { s s具有性P } 都表示的是集合。
没有任何元素的集合称为空集，记为 。
常用的特殊集合一般用N, Z, Q，R和C 分别表 示自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数 集。此外：
x | x 2n 1, n Z
和
x | x 2n, n Z
分别代表奇数集和偶数集。 定义2 若集合 A和集合B有同样的元素，称为A和B 相等，记为A = B；若集合 A和中的元素都是集合 B中的元素，称为A含于B或者称B包含A，记为： A B ，此时，称A是B的子集；若 A B ，且
则称 V 为数域 F 上的线性空间．记为: V ( F )
) 集合V 中的元素，称为线性空间 V ( F中的
元素或向量。
例1 全体n维复向量所构成的集合
C n [ x1 , x2 , , xn ]T | xi C
对通常向量的加法和数乘运算构成复数域C 上的
C n (C ) 线性空间。称为复向量空间，记为：
的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的
抽象化。
本章将从最简单的集合概念入手，详细给出线
性空间的的概念和相关理论。
§1.1
预备知识
1.1.1 集合的概念与性质 定义1 具有某种性质的事物的全体称为集合，
0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2) 证：
又对 x , y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2,
a , b, c , d Q ,
则有
x y (a c ) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc ) 2 Q( 2)
(8) (a b ) (ab ) ab a b