人教A版高中数学高二选修1-2配套课件 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末整合提升3

一、选择题
1．(2016·宁夏中卫中学高二检测)复数 z＝12＋i i的虚部是( C )
A．i
B．－i
C．1 [解析]
D．－1 z＝12＋i i＝2i12－i＝1＋i，故选 C.
2．(2016·全国卷Ⅰ文，2)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部
A
相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3
B．－2
A．E C．G
B．F D．H
[思路分析] 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z 在复平面内的对应点为 Z(a，b)， 据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出复数在复平面内的对应点．
[解析] ∵点 Z(3,1)对应的复数为 z， ∴z＝3＋i，1＋z i＝31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i， 该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即 H 点．
[分析] 利用－z 对应点在直线 y＝43x 上可设出 z 或－z ，再利用|z|＝5 可列方 程求解，最后由 z 的对应点在第二象限决定取舍．
[解析] 设－z ＝3t＋4ti(t∈R)， 则 z＝3t－4ti， ∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25， ∴t2＝1， ∵z 的对应点在第二象限，∴t<0， ∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 3.zz12＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋ad2di.
专题突破
题型一 ⇨复数的概念
熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类 数的条件是熟练解答复数题的前提．
∴z＝41＋＋2ii＝3－i.
题型七 ⇨复数与三角函数交汇问题
复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之 一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的创新思 维，又能考查复数与其他知识的综合．
典例 7
(1)实数x、y、θ有以下关系：x＋yi＝3＋
D
5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i是虚数单位)，则x2＋y2的最
＝ 2cos θ－sin θ＋3＝ 2 2cos θ＋π4＋3，
当 θ＝74π时，|1－i＋z|max＝ 2＋1；
当 θ＝34π时，|1－i＋z|min＝ 2－1.
题型五 ⇨共轭复数
只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不 必在复数的模与其轭复数的性质上下工夫．
z 典例 5 设 z 的共轭复数为 z ，若 z＋ z ＝4，z z ＝8，则 z 等于( D )
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
[解析] 设 z＝x＋yi(x、y∈R)，则 z ＝x－yi.
由 z＋ z ＝4，z z ＝8，得
x＋yi＋x－yi＝4 x＋yix－yi＝8
，即xx＝2＋2y2＝8
，解得xy＝ ＝2±2
.
∴
z z
＝xx－ ＋yyii＝x2－xy2＋2－y22 xyi＝±i.
题型六 ⇨与复数有关的创新型问题
大值为( )
(2)设角 A、B
A．30
为锐角三角形的两个内角，则复数
B．15
z＝(tan1
B－tan
A)＋i(tan
B
－tan1 AC)对．应2的5 点位于坐标平面的( B )D．100
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由复数相等知xy＝＝3－＋45＋co5ssiθn θ ，则 x2＋y2＝50＋50sin (θ－φ)≤100(其中 φ 为辅助角)． ∴x2＋y2 的最大值为 100. (2)∵z＝csoins BBc＋osAA－csoins ABc＋osABi， 又∵此三角形为锐角三角形，则有 B＋A>90°， ∴cos (B＋A)<0， 故有csoins BBc＋osAA<0，－csoins ABc＋osAB>0，∴复数 z 对应的点位于第二象限．
A．2i
B．－1＋i
C．1＋i
D．2
[解析] (1)∵13＋＋2i3i＝13＋－2ii＝13＋－2ii33＋＋ii ＝3－120＋7i＝110＋170i. (2)∵(11＋ －ii)2＝－2i2i＝－1， (－12＋ 23i)3＝1， ∴(11＋ －ii)4＋(－12＋ 23i)18 ＝[(11－＋ii)2]2＋[(－12＋ 23i)3]6＝2.
复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之 一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的创新思 维，又能考查复数与其他知识的综合．
典例 6 定义新运算ac db＝ad－bc，则满足关系
zi －1
1z＝4＋2i 的复数 z 是( D )
A．1－3i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3－i
[解析] ∵z－i 1 1z＝zi＋z＝4＋2i，
题型三 ⇨复数及其运算的几何意义
复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义充分体现 了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来 研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的 平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数 形转换来解决实际问题．
典例 3 若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i 的点是( D )
题型四 ⇨复数的模
熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向 量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．
典例 4
典例4 已知复数z＝cos θ＋isin
θ(0≤θ≤2π)．当θ为何值时，|1－i＋z|取得最值．并求出它
[解析] |1－i＋z|＝|cos θ＋isin θ＋1－i|
的＝最值co．s θ＋12＋sin θ－12
对于 p1，若1z∈R，即a＋1 bi＝aa2－＋bbi2∈R，则 b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以 p1 为真命题．
对于 p2，若 z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则 ab＝0. 当 a＝0，b≠0 时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以 p2 为假命题．
对于 p3，若 z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R， 则 a1b2＋a2b1＝0.而 z1＝ z 2，即 a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为 a1b2＋ a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以 p3 为假命题．
三、解答题 9．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i 对应点 (1)在虚轴上； [分(2析)在] 第确二定z象的实限部；、虚部 → 列方程不等式组 → 求解m (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围．
[解析] 复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i 的实部为 m2－m－2，虚部为 m2－3m＋2.
4．(2018·全国Ⅰ文，2)设 z＝11－＋ii＋2i，则|z|＝( C )
A．0
1 B.2
C．1
D. 2
[解析] ∵ z＝11－ ＋ii＋2i＝1＋1i－1i－2 i＋2i＝－22i＋2i＝i，∴ |z|＝1.
故选 C.
5．(2017·全国Ⅰ理，3 改编)设有下面四个命题
p1：若复数 z 满足1z∈R，则 z∈R；
一、复数的概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部． 3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔b＝0， z 是虚数⇔b≠0 z 是纯虚数⇔ab＝ ≠00 . 4．a＋bi 与 a－bi(a、b∈R)互为共轭复数
7．若 z＝1＋2i，则 z2 012＋z2 016 的值是_0__. [解析] ∵z＝1＋2i＝1＋2i1－1－ii＝ 212－i， ∴z2＝1－2 i2＝－i， ∴z4＝－1， ∴z2 012＋z2 016＝(z4)503＋(z4)504＝0.
8．若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，－z 对应点在直线 y＝ 43x 上，则 z＝_－__3_＋__4_i__.
题型二 ⇨复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘 法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2 ＝－1.
典例 2 (1)复数13＋＋2i3i的值是__11_0_＋__17_0_i _.
(2)(11＋－ii)4＋(－12＋ 23i)18＝( D )
对于 p4，若 z∈R，即 a＋bi∈R，则 b＝0⇒ z ＝a－bi＝a∈R，所以 p4 为真 命题．
二、填空题 6．(2018·天津文，9)i 是虚数单位，复数61＋＋72ii＝__4_－__i _ [解析] 16＋＋27ii＝61＋ ＋72ii11－ －22ii＝61＋2－142－i25i＝20－5 5i＝4－i.
(1)由题意得 m2－m－2＝0. 解得 m＝2 或 m＝－1. (2)由题意得mm22－ －m3m－＋2＜ 2＞00 ， ∴－ m＞1＜2或m＜ m＜2 1’ ∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
第三章 数系的扩充与复数的引入
章末整合提升
1
知识网络
2
知识整合
3
专题突破
知识网络
知识整合
本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数 的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先 简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出 当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量 代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求， 从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复 数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复
二、复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c 且 b＝d. 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0 且 b＝0. 三、复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复 数 0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点 O 为 起点，复数 z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量O→Z，与复数 z 一一对应，O→Z 的模叫做复数 z 的模．
p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2；
p4：若复数 z∈R，则 z ∈R. 其中的真命题为( B )
A．p1，p3 C．p2，p3
B．p1，p4 D．p2，p4
[解析] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2 ∈R)．
典例 1
已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m
取何实数值时，复数z是：
(1)零；
[解((32析))纯z]＝虚(21)＋数由题5；i意. 可得mm2＋m－2m1－＝30＝0 ，
即mm＝ ＝0－或3m或＝m1＝1 ，∴m＝1. 所以当 m＝1 时，复数 z 为零．
(2)由题意可得mm2＋m－2m1－＝30≠0 ， 解得mm＝≠0－或3m且＝m1≠1 ，所以 m＝0. 所以 m＝0 时，z 为纯虚数． (3)由题意可得mm2＋m－2m1－＝32＝5 ， 解得mm＝＝－2或4m或＝m－＝12 ，∴m＝2. 所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复 数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法 分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用 复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个 非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过 来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而 能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问 题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由 此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析
C．2
D．3
[解析] (1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件， 得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.
3．(2017·全国Ⅱ文，2)(1＋Bi)(2＋i)＝( )
A．1－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3＋3i
[解析] (1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故选B.