2017-2018学年四川省遂宁市高二下学期期末数学(理)试题-解析版

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四川省遂宁市2017-2018学年高二下学期期末
数学（理）试题
一、单选题
1．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再判断象限。

详解：，所以位于第一象限。

故选A。

点睛：分式复数的运算公式，实部对应轴，虚部对应。

2．已知命题，则为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。

详解：，故选C
点睛：带全称、特称量词的否定，
命题“，则成立”的否定：，则成立
命题“，则成立”的否定：，则成立
3．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，
再得出准线方程。

详解：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程
点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程
4．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为
A. 5
B. 10
C. 12
D. 20
【答案】B
【解析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。

详解：，，代入方程，解得，故选B
点睛：回归直线方程必过样本中心。

5．“”是“函数在内存在零点”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：先求函数在内存在零点的解集，，再用集合的关系判断充分条件、还是必要条件。

详解：函数在内存在零点，则，所以的解集那么是的子集，故充分非必要条件，选A
点睛：在判断命题的关系中，转化为判断集合的关系是容易理解的一种方法。

6．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可
详解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
最后：输出。

，故选B。

点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。

7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为
A. 18
B. 24
C. 28
D. 36
【答案】D
【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。

详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种。

类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个
地区，共有18种。

综上一共有36种，故选D
点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。

8．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知在上恒成立，
在上单调递减，又.
本题选择C选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 9．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解
详解：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，设
的根为，极大值点在处取得则
解得，故选C。

点睛：极值转化为最值的性质：
1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；
2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；10．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点
M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值。

详解：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距
离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值。

所以
，解得，由内切圆的面积公式，解得。

故选D。

点睛：利用到准线的距离与到焦点的距离之间的互化是一种常见解法，利用图像用几何
法分析取最小值时的点的位置，内切圆的面积公式，利用面积和三角形三边求内切圆半径。

11．已知函数在处取得极值，对任意
恒成立，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据函数在处取得极值解得
，由于，对任意恒成立，则，确定的值。

再由三次函数的二阶导数的几何意义，确定的对称中心，最后求解。

详解：已知函数在处取得极值，故，解得。

对任意恒成立，则，对任意恒
成立，则所以.所以函数表达式为
，，，令，解得，由此，
由三次函数的性质，为三次函数的拐点，即为三次函数的对称中心,，所以
，.故选C。

点睛：在某点处的极值等价于在某点处的一阶导函数的根，二阶导函数的零点的几何意义为函数的拐点，三次函数的拐点的几何意义为三次函数的对称中心。

二阶导函数的零点为拐点，但不是所有的拐点都为对称中心。

12．已知是虚数单位，若复数，则____
【答案】
【解析】分析：根据复数模的公式直接求解。

详解：，所以。

点睛：复数，模的计算公式。

13．二项式的展开式中含项的系数为____
【答案】
【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出的系数。

详解：所以，当时，
所以系数为。

点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其满足题目设置的条件。

第II卷（非选择题）
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二、填空题
14．已知等比数列是函数的两个极值点，则____【答案】或
【解析】分析：一阶导函数，是函数的两个极值点，则是方程的两根，根据韦达定理，列出两根的关系式，求
详解：,则是方程的根，所以，所以解得或
点睛：等价转化是解决本题的关键，函数的极值点是导数方程的两根，由韦达定理和等比中项的概念，可快速得出答案。

15．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，
且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则
的最小值为__________．
【答案】.
【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用和表示出的长度，根据余
弦定理建立的关系式；根据离心率的定义表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。

详解：，所以解得
在△中，根据余弦定理可得
代入得
化简得
而
所以的最小值为
点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。

结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。

三、解答题
16．设命题函数在单调递增；
命题方程表示焦点在轴上的椭圆.
命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】分析：利用真值表判断、的真假性、为一真一假，分别解、为真时的解集，为假时取为真时的补集。

详解：由于命题函数在单调递增，所以
命题方程表示焦点在轴上的椭圆.所以
命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假
①真假时：
②：
综上所述：的取值范围为：
点睛：利用真值表判断、的真假性，再解、为真时的解集，不要受题目的干扰，为
假时取为真时的补集。

17．已知二项式，其展开式中各项系数和为.若抛物线方程为，过点且倾斜角为的
直线与抛物线交于两点.
（1）求展开式中最大的二项式系数（用数字作答）.
（2）求线段的长度.
【答案】(1)35(2)4
【解析】分析：（1）当n为奇数时，二项式系数在时取最大，即在第4、5项取最大
（2）各项系数和为，求，解，利用弦长公式求解。

详解：（1）二项式系数分别为其中最大.最大为35
（2）令，有
抛物线方程为
过抛物线的焦点且倾斜角为，则直线方程为，
令
联立：，，
点睛：二项式系数最大项满足以下结论：
当n为偶数时，二项式系数在时取最大，即在第项取最大。

当n为奇数时，二项式系数在时取最大，即在第或项取最大。

联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出，的关系式，利用弦长公式。

18．已知函数在处有极值.
（1）求的解析式.
（2）求函数在上的最值.
【答案】(1) (2) 最大值为为
【解析】分析：（1）先求一阶导函数解出。

（2）求出端点处的函数值，与极值比较大小得出最值。

详解：（1）由题意：，又
由此得：
经验证：
∴
（2）由（1）知
，
又
所以最大值为为
点睛：函数在闭区间内求最值的步骤：（1）求导，研究函数的单调性和极值
（2）求出极值，和端点处的函数值，比较大小求出最值。

注意不管表达式含参或是不含参步骤都是一样，我们可以通过分析图像简化研究的过程。

19．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：
表2
（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为
，求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据：，其中.
【答案】(1) 能(2)（3）见解析
【解析】分析：根据题意完善表格，由卡方公式得出结论。

（2）根据题意，平均时间为计算即可
（3）由题意，满足超几何分布，由超几何分布计算概率，数学期望
详解：（1）依题意，补充完整的表1如下：
由表中数据计算得的观测值为
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

（2）依题意，所求平均时间为（分钟）（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故
故X的分布列为
故
点睛：计算离散型随机变量的概率，要融入题目的情景中去，对于文字描述题，题目亢长，要逐句的分析。

超几何分布的特征：
1.样本总体分为两大类型，要么类，要么类。

2.超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思。

3.超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件。

4. 超几何分布的随机变量的确定我们只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间。

20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；
【答案】(1) (2)
【解析】分析：（1）利用离心率，点在曲线上，列出的方程。

（2）联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出，的关系式，利用向量关系式
，列出关于斜率的不等式，解出取值范围。

详解：（1）设椭圆的方程为：，
由已知：得：，，
所以，椭圆的方程为：.
（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为
由得
由即有
即
有
解得
综上：实数的取值范围为
点睛：求参数的取值范围，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。

根据题目的条件，转化为，关系的式子是解题的关键。

21．已知函数，.
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）若，讨论的单调性；
（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且
．
【答案】(1) (2)见解析（3）见解析
【解析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程
（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。

（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。

详解：（1）因为，所以；又。

由题意得，解得
（2），其定义域为，
又，令或。

①当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。

所以函数在单调递增，在和单调递减
②当即时，，
所以，函数在上单调递减
③当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。

所以函数在单调递增在和上单调递减
（3）证明：当时，
由①知，的极小值为，极大值为.
因为
且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点
又因为，
所以函数只有一个零点，且.
点睛：利用导数求在某点切线方程利用，即可，方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用。