高中物理 第5章 磁场与回旋加速器 4 探究洛伦兹力导学案 沪科版选修31

学案4 探究洛伦兹力
[目标定位] 1.通过实验，观察阴极射线在磁场中的偏转，认识洛伦兹力.2.会判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小.3.知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，并会推导其运动半径公式和周期公式.
一、洛伦兹力的方向
[问题设计]
如图1所示，用阴极射线管研究磁场对运动电荷的作用，不同方向的磁场对电子束径迹有不同影响.那么电荷偏转方向与磁场方向、电子运动方向的关系满足怎样的规律？
图1
答案左手定则
[要点提炼]
1.洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力.通电导线在磁场中受到的安培力，实际是洛伦兹力的宏观表现.
2.洛伦兹力的方向判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反.
3.洛伦兹力的方向与电荷运动方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于v和B 所决定的平面(但v和B的方向不一定垂直).
二、洛伦兹力的大小
[问题设计]
如图2所示，将直导线垂直放入磁场中，直导线中自由电荷的电荷量为q，定向移动的速度为v，单位体积的自由电荷数为n，导线长度为L，横截面积为S，磁场的磁感应强度为B.
图2
(1)导线中的电流是多大？导线在磁场中所受安培力是多大？
(2)长为L 的导线中含有的自由电荷数为多少？如果把安培力看成是每个自由电荷所受洛伦兹力的合力，则每个自由电荷所受的洛伦兹力是多少？ 答案 (1)I ＝nqvS F ＝BIL ＝BnqvSL (2)N ＝nSL f ＝F N
＝qvB [要点提炼]
1.洛伦兹力的大小：f ＝qvB sin θ，θ为电荷运动的方向与磁感应强度方向的夹角. (1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时：f ＝qvB ； (2)当电荷运动方向与磁场方向平行时：f ＝0； (3)当电荷在磁场中静止时：f ＝0.
2.洛伦兹力与安培力的关系
安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现.而洛伦兹力是安培力的微观本质.
三、研究带电粒子在磁场中的运动 [问题设计]
如图3所示的装置是用来演示电子在匀强磁场中运动轨迹的装置.
图3
(1)当不加磁场时，电子的运动轨迹如何？当加上磁场时，电子的运动轨迹如何？
(2)如果保持电子的速度不变，增大磁感应强度，圆半径如何变化？如果保持磁场强弱不变，增大电子的速度，圆半径如何变化？ 答案 (1)是一条直线 是一个圆周 (2)半径减小 半径增大 [要点提炼]
1.带电粒子所受洛伦兹力与速度方向垂直，只改变速度方向，不改变速度大小，对运动电荷不做功.
2.沿着与磁场垂直的方向射入磁场中的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动.洛伦兹力
提供向心力f ＝qvB ，由qvB ＝mv 2r 可知半径r ＝mv Bq ，又T ＝2πr v ，所以T ＝2πm Bq
.
一、对洛伦兹力方向的判定
例1 下列关于图中各带电粒子所受洛伦兹力的方向或带电粒子的带电性的判断错误的是( )
A.洛伦兹力方向竖直向上
B.洛伦兹力方向垂直纸面向里
C.粒子带负电
D.洛伦兹力方向垂直纸面向外
解析 根据左手定则可知A 图中洛伦兹力方向应该竖直向上，B 图中洛伦兹力方向垂直纸面向里，C 图中粒子带正电，D 图中洛伦兹力方向垂直纸面向外，故A 、B 、D 正确，C 错误. 答案 C
二、对洛伦兹力公式的理解
例2 如图4所示，各图中的匀强磁场的磁感应强度均为B ，带电粒子的速率均为v ，带电荷量均为q .试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向.
图4
解析 (1)因v ⊥B ，所以f ＝qvB ，方向垂直v 指向左上方.
(2)v 与B 的夹角为30°，将v 分解成垂直磁场的分量和平行磁场的分量，v ⊥＝v sin 30°，
f ＝qvB sin 30°＝12
qvB .方向垂直纸面向里.
(3)由于v 与B 平行，所以不受洛伦兹力. (4)v 与B 垂直，f ＝qvB ，方向垂直v 指向左上方.
答案 (1)qvB 垂直v 指向左上方 (2)1
2
qvB 垂直纸面向里 (3)不受洛伦兹力 (4)qvB
垂直v 指向左上方
三、带电粒子在磁场中的圆周运动
例3 质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图5中虚线所示，下列表述正确的是( )
图5
A.M 带负电，N 带正电
B.M 的速率小于N 的速率
C.洛伦兹力对M 、N 做正功
D.M 的运行时间大于N 的运行时间
解析 根据左手定则可知N 带正电，M 带负电，A 正确；因为r ＝mv Bq
，而M 的半径大于N 的半径，所以M 的速率大于N 的速率，B 错误；洛伦兹力不做功，C 错误；M 和N 的运行时间都为t ＝πm
Bq
，D 错误.故选A.
答案 A
针对训练 质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各物理量间的关系正确的是( ) A.速度之比为2∶1 B.周期之比为1∶2 C.半径之比为1∶2 D.角速度之比为1∶1
答案 B
解析 由qU ＝12
mv
2
① qvB ＝mv 2
R
②
得R ＝1B
2mU q ，而m α＝4m H ，q α＝2q H ，故R H ∶R α＝1∶2，又T ＝2πm qB
，故T H ∶T α＝1∶2.
同理可求其他物理量之比.
四、带电物体在匀强磁场中的运动问题
例4 一个质量为m ＝0.1 g 的小滑块，带有q ＝5×10－4
C 的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上(绝缘)，斜面固定且置于B ＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图6所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面(g 取10 m/s 2
).求：
图6
(1)小滑块带何种电荷？
(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度是多大？ (3)该斜面长度至少为多长？
解析 (1)小滑块在沿斜面下滑的过程中，受重力mg 、斜面支持力N 和洛伦兹力f 作用，如图所示，若要使小滑块离开斜面，则洛伦兹力f 应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带负电荷.
(2)小滑块沿斜面下滑的过程中，由平衡条件得f ＋N ＝mg cos α，当支持力N ＝0时，小滑块脱离斜面.设此时小滑块速度为v max ，则此时小滑块所受洛伦兹力f ＝qv max B ， 所以v max ＝mg cos α
qB ＝0.1×10－3
×10×
325×10－4
×0.5m/s ≈3.5 m/s
(3)设该斜面长度至少为l ，则小滑块离开斜面的临界情况为小滑块刚滑到斜面底端时.因为下滑过程中只有重力做功，由动能定理得mgl sin α＝12
mv 2
max －0，所以斜面长至少为l ＝
v 2max 2g sin α＝ 3.5
2
2×10×0.5
m≈1.2 m.
答案 (1)负电荷 (2)3.5 m/s (3)1.2 m
规律总结 1.带电物体在磁场或电场中运动的分析方法和分析力学的方法一样，只是比力学多了洛伦兹力和电场力.
2.对带电粒子受力分析求合力，若合力为零，粒子做匀速直线运动或静止；若合力不为零，粒子做变速直线运动，再根据牛顿第二定律分析粒子速度变化情况
洛
伦
兹
力
—⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
—洛伦兹力的方向——左手定则(注意正、负电荷)
—洛伦兹力的大小—⎪⎪⎪
—f ＝0(v ∥B )—f ＝qvB (v ⊥B )—f ＝qvB sin θ(v 与B 的夹角为θ)—带电粒子的轨道半径和周期—⎪⎪⎪⎪
—r ＝
mv
qB
—T ＝2πm
qB
1.(对洛伦兹力方向的判定)如图所示，带负电的粒子在匀强磁场中运动.关于带电粒子所受洛伦兹力的方向，下列各图中判断正确的是( )
答案 A
解析 本题考查了左手定则的直接应用，根据左手定则即可正确判断磁场、运动方向、洛伦兹力三者之间的关系，特别注意的是四指指向和正电荷运动方向相同和负电荷运动方向相反.根据左手定则可知A 图中洛伦兹力方向应该向下，故A 正确；B 图中洛伦兹力方向向上，故B 错误；C 图中所受洛伦兹力方向垂直纸面向里，故C 错误；D 图中所受洛伦兹力方向垂直纸面向外，故D 错误.故选A.
2.(对洛伦兹力公式的理解)一带电粒子在匀强磁场中沿着磁感线方向运动，现将该磁场的磁感应强度增大一倍，则带电粒子受到的洛伦兹力( ) A.增大两倍 B.增大一倍 C.减小一半 D.依然为零
答案 D
解析 本题考查了洛伦兹力的计算公式F ＝qvB ，注意公式的适用条件.若粒子速度方向与磁
场方向平行，洛伦兹力为零，故A 、B 、C 错误，D 正确.
3.(带电粒子在磁场中的圆周运动)在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又垂直进入另一磁感应强度是原来的磁感应强度2倍的匀强磁场，则( ) A.粒子的速率加倍，周期减半 B.粒子的速率不变，轨道半径减半
C.粒子的速率减半，轨道半径变为原来的四分之一
D.粒子的速率不变，周期减半 答案 BD
解析 洛伦兹力不改变带电粒子的速率，A 、C 错.由r ＝mv qB
，T ＝2πm qB
知，磁感应强度加倍时，
轨道半径减半、周期减半，故B 、D 正确.
4.(带电物体在匀强磁场中的运动)光滑绝缘杆与水平面保持θ角，磁感应强度为B 的匀强磁场充满整个空间，一个带正电q 、质量为m 、可以自由滑动的小环套在杆上，如图7所示，小环下滑过程中对杆的压力为零时，小环的速度为 .
图7
答案
mg cos θ
qB
解析 以带电小环为研究对象，受力如图所示.
f ＝m
g cos θ，f ＝qvB ，
解得v ＝
mg cos θ
qB
.
题组一 对洛伦兹力方向的判定
1.在以下几幅图中，对洛伦兹力的方向判断正确的是( )
答案ABD
2.一束混合粒子流从一发射源射出后，进入如图1所示的磁场中，分离为1、2、3三束，则下列判断正确的是( )
图1
A.1带正电
B.1带负电
C.2不带电
D.3带负电
答案ACD
解析根据左手定则，带正电的粒子左偏，即1；不偏转说明不带电，即2；带负电的粒子向右偏，即3，因此答案为A、C、D.
题组二对洛伦兹力特点及公式的应用
3.一个运动电荷在某个空间里没有受到洛伦兹力的作用，那么( )
A.这个空间一定没有磁场
B.这个空间不一定没有磁场
C.这个空间可能有方向与电荷运动方向平行的磁场
D.这个空间可能有方向与电荷运动方向垂直的磁场
答案BC
解析由题意，运动电荷在某个空间里没有受到洛伦兹力，可能空间没有磁场，也可能存在磁场，磁场方向与电荷运动方向平行.故A错误，B、C正确.若磁场方向与电荷运动方向垂直，电荷一定受到洛伦兹力，不符合题意，故D错误.故选B、C.
4.关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是( )
A.带电粒子沿电场线方向射入，则电场力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加
B.带电粒子垂直于电场线方向射入，则电场力对带电粒子不做功，粒子动能不变
C.带电粒子沿磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加
D.不管带电粒子怎样射入磁场，洛伦兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变 答案 D
解析 带电粒子在电场中受到的电场力F ＝qE ，只与电场有关，与粒子的运动状态无关，做功的正负由θ角(力与位移方向的夹角)决定.对选项A ，只有粒子带正电时才成立；垂直射入匀强电场的带电粒子，不管带电性质如何，电场力都会做正功，动能增加.带电粒子在磁场中的受力——洛伦兹力F ′＝qvB sin θ，其大小除与运动状态有关，还与θ角(磁场方向与速度方向之间的夹角)有关，带电粒子沿平行磁感线方向射入，不受洛伦兹力作用，粒子做匀速直线运动.在其他方向上由于洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，故洛伦兹力对带电粒子始终不做功.综上所述，正确选项为D.
5.有一个带正电荷的离子，沿垂直于电场的方向射入带电平行板的匀强电场，离子飞出电场后的动能为E k .当在带电平行板间再加入一个垂直纸面向里的如图2所示的匀强磁场后，离子飞出电场后的动能为E k ′，磁场力做功为W ，则下列判断正确的是( )
图2
A.E k <E k ′，W ＝0
B.E k >E k ′，W ＝0
C.E k ＝E k ′，W ＝0
D.E k >E k ′，W >0
答案 B
解析 磁场力即洛伦兹力，不做功，故W ＝0，D 错误；有磁场时，带正电的粒子受到洛伦兹力的作用使其所受的电场力做功减少，故B 选项正确. 题组三 带电粒子在磁场中的圆周运动
6.质子(p)和α粒子以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为R p 和R α，周期分别为T p 和T α.则下列选项正确的是( ) A.R p ∶R α＝1∶2，T p ∶T α＝1∶2 B.R p ∶R α＝1∶1，T p ∶T α＝1∶1 C.R p ∶R α＝1∶1，T p ∶T α＝1∶2 D.R p ∶R α＝1∶2，T p ∶T α＝1∶1 答案 A
解析 由qvB ＝mv 2R ，有R ＝mv qB ，而m α＝4m p ，q α＝2q p ，故R p ∶R α＝1∶2，又T ＝2πm qB
，故T p ∶T α
＝1∶2.故A 正确.
7.如图3所示是在匀强磁场中观察到的粒子的轨迹，a 和b 是轨迹上的两点，匀强磁场B 垂直于纸面向里.该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是( )
图3
A.粒子先经过a 点，再经过b 点
B.粒子先经过b 点，再经过a 点
C.粒子带负电
D.粒子带正电 答案 AC
解析 由于粒子的速率减小，由r ＝mv
qB
知，轨道半径不断减小，所以A 对，B 错；由左手定则得粒子应带负电，C 对，D 错.
8.图4为某磁谱仪部分构件的示意图.图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹.宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子.当这些粒子从上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是( )
图4
A.电子与正电子的偏转方向一定不同
B.电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同
C.仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子
D.粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小 答案 AC
解析 电子、正电子和质子垂直进入磁场时，所受的重力均可忽略，受到的洛伦兹力的方向与其电性有关，由左手定则可知A 正确.由轨道公式r ＝mv Bq
知，若电子与正电子进入磁场时的速度不同，则其运动轨迹的半径也不相同，故B 错误.由r ＝mv Bq
＝
2mE k
Bq
知，D 错误.因
质子和正电子均带正电，且运动轨迹的半径大小无法计算出，故依据粒子运动轨迹无法判断
该粒子是质子还是正电子，C 正确.
9.如图5所示，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图示平面的匀强磁场(未画出).一带电粒子从紧帖铝板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的中点O .已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变.不计重力.铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
图5 A.2 B. 2 C.1 D.22 答案 D 解析 设带电粒子在P 点时初速度为v 1，从Q 点穿过铝板后速度为v 2，则E k1＝12mv 21；E k2＝12mv 22，由题意可知E k1＝2E k2，即12mv 21＝mv 22，则v 1v 2＝21.由洛伦兹力提供向心力，即qvB ＝mv 2R ，得R ＝mv qB ，由题意可知R 1R 2＝21，所以B 1B 2＝v 1R 2v 2R 1＝22
，故选项D 正确. 题组四 带电物体在磁场中的运动问题
10.带电油滴以水平速度v 0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图6所示，若油滴质量为m ，磁感应强度为B ，则下述说法正确的是( )
图6
A.油滴必带正电荷，电荷量为
mg v 0B B.油滴必带正电荷，比荷q m ＝q v 0B
C.油滴必带负电荷，电荷量为mg v 0B
D.油滴带什么电荷都可以，只要满足q ＝
mg v 0B 答案 A
解析 油滴水平向右匀速运动，其所受洛伦兹力必向上，且与重力平衡，故带正电，其电荷量q ＝mg v 0B
，A 正确.
11.如图7所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直.一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆轨道的最高点M 下滑到最右端，则下列说法中正确的是( )
图7
A.滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B.滑块从M 点到最低点的加速度比磁场不存在时小
C.滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D.滑块从M 点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
答案 D
解析 由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，选项
A 错误；由a ＝v 2
R
，与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，选项B 错误；由左手定则，滑块经最低点时受的洛伦兹力向下，而滑块所需的向心力不变，故滑块经最低点时对轨道的压力比磁场不存在时大，选项C 错误；由于洛伦兹力始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度均与不加磁场时相同，选项D 正确.
12.如图8所示，一带负电的滑块从绝缘粗糙斜面的顶端滑至底端时的速率为v ，若加一个垂直纸面向外的匀强磁场，并保证滑块能滑至底端，则它滑至底端时的速率为( )
图8
A.变大
B.变小
C.不变
D.条件不足，无法判断 答案 B
解析 加上磁场后，滑块受到垂直斜面向下的洛伦兹力作用，使滑块所受摩擦力变大，滑块克服摩擦力所做的功增大，而洛伦兹力不做功，重力做功恒定，由能量守恒可知，滑块滑至底端时的速率变小.
13.如图9所示，质量为m ＝1 kg 、电荷量为q ＝5×10－2 C 的带正电的小滑块，从半径为R
＝0.4 m 的光滑绝缘14
圆弧轨道上由静止自A 端滑下.整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中.已知E ＝100 V/m ，方向水平向右，B ＝1 T ，方向垂直纸面向里，g ＝10 m/s 2.
图9
求：(1)滑块到达C 点时的速度；
(2)在C 点时滑块所受洛伦兹力.
答案 (1)2 m/s ，方向水平向左 (2)0.1 N ，方向竖直向下
解析 以滑块为研究对象，自轨道上A 点滑到C 点的过程中，受重力mg ，方向竖直向下； 静电力qE ，方向水平向右；洛伦兹力f ＝qvB ，方向始终垂直于速度方向.
(1)滑块从A 到C 过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得
mgR －qER ＝12
mv 2C 得v C ＝ 2mg －qE R m
＝2 m/s.方向水平向左. (2)根据洛伦兹力公式得：f ＝qv C B ＝5×10－2×2×1 N＝0.1 N ，方向竖直向下.。