高中物理 第1章 功和功率 第1节 机械功教学案 鲁科版必修2-鲁科版高一必修2物理教学案

第1节机械功
1．机械功简称功，其大小取决于力和力的方向的位移，
恒力做功的计算公式W＝Fs cos α，其中α是力F方向
与位移s方向的夹角。

2．功是标量，但有正、负，α小于90°时力做正功，
α大于90°时力做负功，正功、负功说明是动力做功还
是阻力做功。

一、机械功的含义
1．功的含义
如果作用于物体的恒力大小为F，该物体沿力的方向运动，经过位移s，那么F和s的乘积叫机械功，简称功。

2．做功的两个要素
作用在物体上的力F和物体在力的方向上发生的位移s。

3．功的一般公式
W＝Fs cos_α，式中的α是力的方向与位移方向的夹角。

4．功的单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。

二、机械功的计算
1．功是标量
只有大小，没有方向，但功有正负之分。

2．正功和负功
由功的计算公式：W＝Fs cos α有：
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。

(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功或称物体克服这个力做功(取正值)。

(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。

3．总功的计算
(1)方法一：一个物体同时受到几个力的作用发生位移时，这几个力做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋W4＋…。

(2)方法二：在计算几个力的总功时，也可先求合力，再根据功的公式W总＝F合s cos_α求解。

1．自主思考——判一判
(1)有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做了功。

(×)
(2)用手提起一桶水后，沿水平方向向前移动一段位移的过程中，手对水桶没有做功。

(√)
(3)用力推汽车，汽车没动，但推车者累得出汗时，可以说推车者对汽车做功了。

(×)
(4)功有正、负值，所以功是矢量。

(×)
(5)总功就是所有外力做功的代数和。

(√)
(6)合外力对物体做的功等于总功。

(√)
2．合作探究——议一议
(1)如图1­1­1甲所示，运动员举重时举着杠铃不动，举杠铃的力对杠铃做功了吗？
图1­1­1
提示：举着杠铃不动，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。

(2)如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做功了吗？
提示：足球在水平地面上滚动，重力方向竖直向下，球的位移方向水平，重力对球没有做功。

(3)高速列车出站时加速，进站后减速，这两个过程合外力分别做什么功？
提示：加速出站时，合外力方向与位移方向一致，合外力做正功，减速进站时，合外力
方向与位移方向相反，合外力是阻力，所以合外力做负功。

做功条件的应用
[典例] 如下图的人，没有对物体做功的是( )
[思路点拨] 判断力对物体是否做功，要抓住做功的两个条件：力及力的方向上的位移。

[解析] 根据功的定义可知，力对物体是否做功关键是看力及力的方向上的位移两个因素，上述情景中，A项在力的方向上没有位移，故人对墙没做功，应选A项。

[答案] A
(1)力和物体在力的方向上发生的位移，这两个因素对做功而言，缺一不可。

其中力是指在位移方向上的力，位移是指在力的方向上的位移。

(2)功是描述力在空间位移上积累作用的物理量，是过程量，反映了物体受力并运动的效果。

1．以下关于做功的说法中，正确的选项是( )
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，那么一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，那么一定有力对物体做功
解析：选D 做功的两个不可缺少的因素是：力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，应选项A 、B 错误；假设物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，应选项C 错误，选项D 正确。

2．如下图的四幅图是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的是( )
解析：选B 据功的概念及做功的两个因素可知，只有同时满足力及在力的方向上有位移两个条件时，力对物体才做功，A 、C 、D 做功，B 没有做功，选B 。

正、负功的判断
1．对正功、负功的理解 (1)正功、负功的物理意义。

功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。

(2)功是标量。

功是标量，只有量值，没有方向。

功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。

我们既不能说“正功与负功的方向相反〞，也不能说“正功大于负功〞，它们仅表示相反的做功效果。

2．正、负功的判断方法
(1)根据力F 的方向与位移s 方向的夹角α判断：0≤α＜π
2时，力对物体做正功；α
＝π2时，力对物体不做功；π
2＜α≤π时，力对物体做负功。

此方法一般用于物体做直线运动的情况。

(2)根据力F 的方向与物体运动速度v 的方向的夹角α判断：0≤α＜π
2时，力对物体
做正功；α＝π2时，力对物体不做功；π
2＜α≤π时，力对物体做负功。

此方法一般用于
物体做曲线运动的情况。

(3)看速率增大还是减小，假设在力作用下速率增大，此力做正功，反之做负功，此方法一般应用于力的方向不明确的变速运动。

1．如图1­1­2甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼，如图乙为一男士站立在乘履带式自动人行道上正在匀速上楼。

以下关于两人受到的力做功判断正确的选项是( )
图1­1­2
A ．甲图中支持力对人做正功
B ．乙图中支持力对人做正功
C ．甲图中摩擦力对人做负功
D ．乙图中摩擦力对人做负功
解析：选A 甲图中，人匀速上楼，不受静摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向为锐角，即W ＝Fs cos α＞0，所以支持力做正功。

故A 正确，C 错误。

乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力沿斜面向上即与速度方向相同，做正功。

故B 、D 错误。

2.大力士比赛在国外比较盛行，首次世界大力士比赛始于1977年，如图1­1­3所示为某选手将20多吨的汽车在水平路面上拖行了20 m ，以下说法正确的选项是( )
图1­1­3
A ．汽车受到的重力做了正功
B．汽车受到的地面的摩擦力做了负功
C．汽车受到的拉力不做功
D．汽车受到地面的支持力做了正功
解析：选B 汽车所受重力的方向竖直向下，而位移的方向为水平方向，重力与位移方向垂直，故重力不做功，A项错误；汽车受到的地面的摩擦力与位移方向夹角为180°，W ＝Fs cos 180°＝－Fs，故地面对汽车的摩擦力做负功，B项正确；汽车受到的拉力与位移方向夹角为锐角，拉力做正功，故C项错误；汽车受到地面的支持力与位移方向垂直，不做功，D项错误。

3．(多项选择)如图1­1­4所示，在匀加速运动的车厢内，一个人用力向前推车厢，假设人与车厢始终保持相对静止，那么以下结论中正确的选项是( )
图1­1­4
A．人对车厢的推力不做功
B．人对车厢的摩擦力做负功
C．人对车厢的作用力不做功
D．人对车厢的作用力做负功
解析：选BD 在水平方向上，人对车厢的作用力有两个：对车厢向右的推力和对车厢地板向左的摩擦力，车厢的运动方向向右，所以人对车厢的推力做正功，人对车厢的摩擦力做负功，选项A错误，B正确；由于人随车厢向右做匀加速运动，故车厢对人的作用力(即车厢对人的推力和摩擦力的合力)向右，人对车厢的作用力向左，所以人对车厢的作用力做负功，选项C错误，D正确。

功的计算
1．某一恒力做功可直接应用公式W＝Fs cos α计算。

2．总功的计算有两种方法：
(1)先由W＝Fs cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…。

(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合s cos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角。

[典例] 如图1­1­5所示，一质量为m的物体在与水平方向成α角斜向上的拉力F作用下，沿动摩擦因数为μ的水平地面向右移动位移l，那么：
图1­1­5
(1)物体受到的各个力做的功是多少？各个力对物体所做功的代数和是多少？
(2)物体所受的合力是多少？合力所做的功是多少？
[思路点拨]
(1)物体运动过程中所受拉力F、重力、支持力、摩擦力皆为恒力。

(2)重力、支持力的方向与物体位移方向垂直，不做功。

[解析] (1)因重力、支持力与位移夹角为90°，故W G＝0，W N＝0，拉力F所做的功W1＝Fl cos α，
滑动摩擦力的大小f＝μN，又N＋F sin α＝mg，
故滑动摩擦力所做的功W2＝μNl cos 180°＝μ(F sin α－mg)l。

各个力对物体所做功的代数和W＝W1＋W2＝(F cos α＋μF sin α－μmg)l。

(2)根据正交分解法求得物体所受的合力F合＝F cos α－f，
那么F合＝F cos α＋μF sin α－μmg，合力方向向右，与位移同向。

合力所做的功W ＝F合l＝(F cos α＋μF sin α－μmg)l。

可见，各个力对物体所做功的代数和与物体所受合力做的功是相等的。

[答案] 见解析
计算功的三点技巧
(1)计算功时，一定要明确哪个力对物体做了功。

(2)做功的数值与物体的运动状态是匀速还是变速无关，只取决于F、s及两者方向的夹角α。

(3)计算总功两种方法的选取
①物体处于平衡状态或某一方向平衡或做匀变速直线运动时，用W＝F合s cos α更简捷。

②物体运动过程中受力变化或有些力不做功，应选取W合＝W1＋W2＋…＋W n。

1．如图1­1­6所示，物体在力F作用下沿水平面运动一段位移，设在甲、乙、丙所示的三种情况下力F和位移s的大小都相同，即F＝10 N，s＝1 m，那么在三种情况下力F对物体所做的功分别为W1＝________J，W2＝________J，W3＝________J。

图1­1­6
解析：根据功的计算公式W＝Fs cos α，分别代入题给条件得
W1＝Fs cos 30°＝10×1×
3
2
J＝5 3 J
W2＝Fs cos 150°＝－10×1×
3
2
J＝－5 3 J
W3＝Fs cos 30°＝10×1×
3
2
J＝5 3 J。

答案：5 3 －5 3 5 3
2．如图1­1­7所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l。

试求：
图1­1­7
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
解析：物体受力情况如下图，物体受到重力mg、摩擦力f和支持力N
的作用。

物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动距离l，这
些力均是恒力，故可用W＝Fl cos α计算各力的功。

根据物体的平衡条件，可得f＝mg sin θ，N＝mg cos θ。

(1)W f ＝fl cos(180°－θ)＝－mgl sin θ·cos θ； (2)W N ＝Nl cos(90°－θ)＝mgl sin θ·cos θ； (3)W G ＝mgl cos 90°＝0；
(4)斜面对物体做的功为斜面对物体施的力做功的代数和；W 斜＝W f ＋W N ＝0。

各个力对物体所做的总功等于各个力做功的代数和。

即W 总＝W f ＋W N ＋W G ＝0。

答案：见解析
变力做功的计算
[典例] 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。

在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm 。

问击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)
[思路点拨] 根据阻力与深度成正比的关系，将变力求功转化为平均力求功。

达到化变力为恒力的目的。

[解析] 法一：铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做力，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F ＝kx ，可用平均阻力来代替。

如下图，第一次击入深度为x 1，平均阻力F 1＝12kx 1，做功为W 1＝F 1x 1＝12
kx 12。

第二次击入深度为x 1到x 2，平均阻力F 2＝1
2k (x 2＋x 1)，位移为x 2－x 1，做功为W 2＝F 2(x 2
－x 1)＝12
k (x 22－x 12
)。

两次做功相等，W 1＝W 2， 可解得：x 2＝2x 1≈1.41 cm， Δx ＝x 2－x 1＝0.41 cm 。

法二：(图像法)因为阻力F ＝kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移
x 为横坐标，作出F ­x 图像(如下图)，图线与横轴所围成的面积的值
等于F 对铁钉做的功。

由于两次做功相等，故有：
S 1＝S 2(面积)，即：
12kx 12＝1
2k (x 2＋x 1)(x 2－x 1)， 所以Δx ＝x 2－x 1≈0.41 cm。

[答案] 0.41 cm
求变力做功的四种常用方法
1．平均值法：当力F 的大小发生变化，且F 、l 成线性关系时，F 的平均值F ＝F 1＋F 2
2
，
用F 计算F 做的功。

2．图像法：变力做的功W 可用F ­l 图线与l 轴所围成的面积表示。

l 轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l 轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。

3．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W
＝Fs 路或W ＝－Fs 路。

空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。

4．等效替换法：假设某一变力做的功和某一恒力做的功相等，那么可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。

1.如图1­1­8所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R
2和R 的两
个半圆构成。

现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，假设拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，那么此过程中拉力F 所做的功为( )
图1­1­8
A ．0
B ．FR C.3
2πFR D ．2πFR
解析：选C 在拉动的过程中，力F 的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小
的一段位移内力F 可以看成恒力，小球路程为⎝
⎛⎭⎪⎫πR ＋π×R 2，由此得W ＝32πFR ，C 正确。

2．如图1­1­9所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角变为β。

图中的高度h ，求绳的拉力T 对物体所做的功。

(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不计)
图1­1­9
解析：设绳的拉力T 对物体做的功为W T ，人的拉力F 对绳做的功为W F ，由题意知T ＝F ，
W T ＝W F
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中，拉力F 的作用点的位移大小为Δs ＝l 1
－l 2。

由W ＝Fs ，得
W F ＝F Δs ＝Fh ⎝
⎛⎭
⎪
⎫1sin α－1sin β，
故绳子的拉力T 对物体做的功
W T ＝W F ＝Fh ⎝
⎛⎭
⎪
⎫1sin α－1sin β。

答案：Fh ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1sin α－1sin β
1．(多项选择)以下说法中正确的选项是( ) A ．功是矢量，正负表示其方向
B ．功是标量，正负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C ．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D ．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD 功是标量，是过程量，功的正负不代表其大小，也不代表其方向，只说
明做功的力是动力还是阻力。

2．关于力对物体做功的说法中，正确的选项是( )
A．力作用到物体上，力一定对物体做功
B．只要物体通过一段位移，就一定有力对物体做了功
C．只要物体受到力的作用，而且还通过了一段位移，那么此力一定对物体做了功
D．物体受到力的作用，而且有位移发生，那么力有可能对物体做功，也可能没有做功解析：选D 做功的两个必备条件是：物体受力和在力的方向上发生位移。

物体受力而且有位移，不一定有力做功。

如物体沿光滑水平面做匀速运动时，所受的两个力(重力和支持力)都不做功，A、B、C错。

再如沿粗糙斜面下滑的物体，重力和摩擦力做功，支持力不做功，D正确。

3．2015年8月1日至9日，东亚杯足球赛在中国武汉进行，比赛时某足球运动员用20 N的力，把重为5 N的足球踢出10 m远，在这一过程中运动员对足球做的功为( ) A．200 J B.50 J
C.98 J
D.无法确定
解析：选D 足球运动员用20 N的力作用在足球上，一瞬间就能把足球踢出去，足球在这个力的作用下的位移不知道，所以无法计算运动员对足球所做的功，故D正确。

4．关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况，以下说法正确的选项是( )
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功代数和为零
解析：选C 比较功时，不要只看到力的大小和方向，还要分析两力对应的物体的位移情况，作用力和反作用力分别对各自的受力物体做功，没有必然的联系，故只有C正确。

5．如图1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的选项是( )
图1
A．摩擦力对物体做正功B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体做正功 D.合外力对物体做正功
解析：选A 摩擦力方向平行皮带向上，与物体运动方向相同，故摩擦力做正功，A对，B错；支持力始终垂直速度方向，不做功，C错；合力为零，不做功，D错。

6.如图2所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离s。

假设物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，那么在此过程中( )
图2
A．摩擦力做的功为fs B.力F做的功为Fs cos θ
C．力F做的功为Fs sin θ D.重力做的功为mgs
解析：选C 物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，由功的公式可得W＝－fs，所以A错误。

力F与竖直方向成θ角，所以在水平方向的分力为F sin θ，所以F做的功为Fs sin θ，所以B错误，C正确。

重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力的功为零，所以D错误。

7.以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f，那么从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( ) A．0 B.－fh
C．－2fh D．－4fh
解析：选C 上升阶段，空气阻力做功W1＝－fh。

下落阶段空气阻力做功W2＝－fh，整个过程中空气阻力做功W＝W1＋W2＝－2fh，故C选项正确。

8.力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段位移，如果力F1对物体做功为6 J，物体克服力F2做功为9 J，那么F1、F2的合力对物体所做的功为( )
A．3 J B.－3 J
C.15 J
D.－15 J
解析：选B F1、F2做的功分别为W1＝6 J，W2＝－9 J，那么它们的合力做功W＝W1＋W2＝－3 J，B正确。

9．(多项选择)质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的速度图像如图3所示，那么
以下说法正确的选项是(取g ＝10 m/s 2
)( )
图3
A ．拉力F 做功150 J
B ．拉力F 做功350 J
C ．物体克服摩擦力做功100 J
D ．物体克服摩擦力做功175 J
解析：选AD 由题图可以求出0～2 s 内的加速度a 1＝2.5 m/s 2,
2～6 s 内的加速度a 2
＝－2.5 m/s 2
，由F ＋f ＝ma 1，f ＝ma 2，得F ＝10 N ，f ＝－5 N ，由题图还可求出前2 s 内的位移s 1＝15 m,2～6 s 内的位移s 2＝20 m 。

所以拉力做功W F ＝Fs 1＝10×15 J＝150 J ；摩擦力做功W f ＝f (s 1＋s 2)＝－5×(15＋20)J ＝－175 J ，即物体克服摩擦力做功175 J ，故A 、D 正确。

10.如图4所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F 1＝3 N 和F 2＝4 N 的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m ，求：
图4
(1)F 1和F 2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？ (2)F 1和F 2合力为多大？合力做功是多少？ 解析：(1)力F 1做的功
W 1＝F 1s cos θ1＝3×10×3
5
J ＝18 J
力F 2做的功
W 2＝F 2s cos θ2＝4×10×45
J ＝32 J W 1与W 2的代数和
W ＝W 1＋W 2＝18 J ＋32 J ＝50 J 。

(2)F1与F2的合力F＝F12＋F22＝5 N
合力F做的功W′＝Fs＝5×10 J＝50 J。

答案：(1)18 J 32 J 50 J (2)5 N 50 J
11.质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1。

那么运动员滑至坡底的过程中：
图5
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)
解析：(1)重力做的功
W G＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J。

(2)运动员所受合力：
F合＝mg sin 37°－μmg cos 37°＝260 N
方向沿斜坡向下，沿合力方向位移s＝50 m，合力做的功W合＝F合·s＝260×50 J＝1.3×104 J。

答案：(1)1.5×104 J (2)1.3×104 J
12．一辆汽车质量为105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F＝103s＋f，f是车所受的阻力。

当车前进100 m时，牵引力做的功是多少？(g＝10 m/s2)。

解析：由于车的牵引力和位移的关系为F＝103s＋f，是线性关系，故前进100 m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F所做的功。

由题意可知
f＝0.05×105×10 N＝5×104 N
所以前进100 m过程中的平均牵引力为
F＝5×104＋100×103＋5×104
2
N＝1×105 N
故W＝F s＝1×105×100 J＝1×107 J。

答案：1×107 J。