2025优化设计一轮素能培优(八) 三角形中的特殊线段
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2025
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
素能培优(八) 三角形中的特殊线段
考点一
三角形的中线问题
例 1(2024·广东珠海模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C
+
且
=
.
(1)求角C的大小;
+
2sin(B+ )= .
6
且有
(1)求角 A;
(2)若 BC 边上的高
3
h= 4 a,求
cos Bcos C.
解
π sin+sin
(1)由题意得,2sin(B+6)= sin ,
则( 3sin B+cos B)sin A=sin B+sin Acos B+sin Bcos A,
则 3sin Bsin A=sin B+sin Bcos A.因为 sin B≠0,
ACcos∠BAC,解得 AC= 3+1,
由正弦定理得,
sin
∵AD
=
,解得
sin∠
C=45°.
1
平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°.(角平分线的性质)
2
如图,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,设 DE=t,
由几何知识得,AD=2t,AE= 3t,CE=DE=t,
ACsin∠CAD=2AB·
ACsin∠BAC,
1
π
1
π
1
π
6 3
即2 ×2×ADsin6 + 2 ×3×ADsin6 = 2 ×2×3sin3,所以 AD= 5 .
考点三
三角形的高线问题
例3(2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
π
π
π
0<A< ,所以 A= .故 C=π-A-B= .
3
6
6
sin A=cos Ccos A-sin Csin A,
(2)如图,取 BC 中点 D,连接 AD,记△ABC 的外接圆的半径为 r,
则 πr2=3π,解得 r= 3.由正弦定理,得 AB=2rsin C= 3.
因为
π
A=C=6,所以
BC=AB= 3,所以
4
4
因为
=
,则 sin
sin
sin∠
3 3
即 BD>CD,故 BD= 4 .
3 21
1
C=
>sin∠CBD= ,
14
2
=
7
.
4
[对点训练2](2024·山东济南模拟)已知函数f(x)= 2 3 sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=2,b=3,c=2,求A的内角平
8
1
又 cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=2,则 cos Bcos
1
C=-8.
本 课 结 束
π
π 1
所以 3sin A=1+cos A,即 2sin(A-6)=1,则 sin(A-6)=2.
π
π
π
因为 A∈(0,π),所以 A-6 = 6,则 A=3.
1
1
3 2 3
(2)由 S△ABC=2ah=2bcsin A,则 8 a = 4 bc,所以 a2=2bc,
3
2
有 sin A=2sin Bsin C,则 sin Bsin C= .
∴AC=AE+CE= 3t+t= 3+1,解得 t=1,∴AD=2t=2.
(方法 2)由方法 1 知,AC= 3+1,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴
∴ 3( 3+1)=AD+
1
AB·
ACsin
2
1
60°=2AB·
ADsin
3+1
AD,∴AD=2.
2
1
30°+2AC·
ห้องสมุดไป่ตู้ADsin
30°,
(2)(2024·河南郑州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中
分线AD的长.
解 (1)因为 f(x)=2 3sin x·
cos x+sin x-cos x= 3sin 2x-cos
2
π
2kπ+
2
π
≤2x6
2
π
2x=2sin(2x- ),
6
3π
π
5π
所以
≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
2
3
6
π
5π
所以 f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.
Csin A,
所以 sin Acos C+cos Asin C=sin Acos
所以 cos Asin
3
C= 3 sin
因为 sin C≠0,所以 cos
又 0<A<π,所以
π
A=3.
Csin A,
3
C+ 3 sin
Csin A.
3
A= 3 sin
A,则 tan A= 3.
Csin A,
(2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2+c2-bc=3.
因为 bc≤
2 +2
,当且仅当
2
b=c 时,等号成立,所以 b2+c2≤6.
+
因为 AM 是 BC 边上的中线,所以 =
,
2
2
1
1
+2 1 3 2 2
9
2
2
2
2
2
两边平方得|| =4(b +c +bc)≤ 4(b +c + 2 )=4 × 2(b +c )≤ 4,
3
当且仅当 b=c= 3时,等号成立,此时,中线 AM 的长度取得最大值 .
∴2(sin A-cos A)=sin A+cos A.
∴sin A=3cos A.
由 sin A+cos A=1,得 sin
2
2
∵A∈(0,π),∴sin
9
A=10.
2
3 10
A= 10 .
(方法
π
2)∵A+B=3C,A+B+C=π,∴C=4,B=3C-A.
∵2sin(A-C)=sin B,
3π
在△ABC 中,由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=7,
即 7a2=7,得 a=1,故 c=3.
在△BCD 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+a2-2a·
BDcos 30°,
故 16BD2-16 3BD+9=(4BD-3 3)·
(4BD- 3)=0,
3 3
3
故 BD= 或 BD= .
∴tan A=3.
∵0<A<π,∴sin
3 10
A= 10 .
(2)过点 C 作 AB 的垂线,垂足为点 D,则 CD 为 AB 边上的高.
AB=5, 由正弦定理得
=
,
sin
sin
sin
故 BC= sin =3 5.
3 10
π
10
∵sin A= 10 ,由(1)知 A∈(0,2),∴cos A= 10 .
3
6
π
π
(2)因为 f(A)=2sin(2A-6)=2,所以 sin(2A-6)=1.
π
π 11π
π
π
π
因为 A∈(0,π),所以 2A-6 ∈(-6 , 6 ),所以 2A-6 = 2,所以 A=3,
π
故∠BAD=∠CAD= ,
6
由题意知,S△ABD+S△ACD=S△ABC,
1
1
1
所以2AB·
ADsin∠BAD+2AD·
(2)若△ABC的外接圆面积为3π,求BC边上的中线长.
2
的对边,B= ,
3
+sin
cos
解 (1)因为
=
,
cos
sin
sin+sinsin
由正弦定理,得
cos
所以
因为
sincos
= sin ,所以
π
1
sin A=cos(C+A)=cos(π-B)=cos = .
3
2
3π
3π
3π
∴sin B=sin( 4 -A)=sin 4 cos A-cos 4 sin A
2
10
2 3 10
2 5
= 2 × 10 + 2 × 10 = 5 .
2 5
∴CD=BCsin B=3 5 × 5 =6.
综上,AB 边上的高为 6.
[对点训练 3](2024·湖北武汉模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
sin C=3sin
A,B=60°,b=
7.若
B
的角平分线
BD
交
AC
于点
D,则
3 3
BD=_________.
4
∠
解析 由题设∠ABD=∠CBD= 2 =30°,则 = = .
1
1
又 sin C=3sin A,则 c=3a,故 = 3.因为 b= 7,即 CD=4AC=4
已知 b=acos
3
C+ csin
3
A,M 是 BC 的中点.
(1)求 A 的值;
(2)若 a= 3,求中线 AM 长度的最大值.
解 (1)因为 b=acos
3
C+ csin
3
A,
由正弦定理,得 sin B=sin Acos
所以 sin(A+C)=sin Acos C+
3
C+ 3 sin
3
sin
3
2
考点二
三角形的中线与角平分线问题
例 2(1)(2023·全国甲,理 16)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的角
2
平分线交 BC 于 D,则 AD=__________.
解析 (1)(方法 1)由题意,在△ABC 中,AB=2,BC= 6,∠BAC=60°,
由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·
3
BD= 2 .
根据余弦定理,
得 AD =AB +BD -2AB·
BDcos B=( 3) +(
2
所以 AD=
2
21
,故
2
2
BC 边上的中线长为
2
21
.
2
3 2
) -2×
2
3×
3
1 21
×(-2)= 4 ,
2
[对点训练 1](2024·湖南株洲模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,
∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin( 4 -A),
3π
3π
∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin 4 cos A-cos 4 sin A.
2
2
代入数据,得 2sin A- 2cos A= 2 cos A+ 2 sin A.
2
3 2
整理得 2 sin A= 2 cos A,
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解 (1)(方法 1)由题意知 A+B=3C,
π
3π
∵A+B+C=π,∴C=4,A+B= 4 .
π
3π
π
π
由 2sin(A-C)=sin B,得 2sin(A-4)=sin( 4 -A)=sin[π-(A+4)]=sin(A+4),
π
π
π
π
∴2(sin Acos4-cos Asin4)=sin Acos4+cos Asin4.
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
素能培优(八) 三角形中的特殊线段
考点一
三角形的中线问题
例 1(2024·广东珠海模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C
+
且
=
.
(1)求角C的大小;
+
2sin(B+ )= .
6
且有
(1)求角 A;
(2)若 BC 边上的高
3
h= 4 a,求
cos Bcos C.
解
π sin+sin
(1)由题意得,2sin(B+6)= sin ,
则( 3sin B+cos B)sin A=sin B+sin Acos B+sin Bcos A,
则 3sin Bsin A=sin B+sin Bcos A.因为 sin B≠0,
ACcos∠BAC,解得 AC= 3+1,
由正弦定理得,
sin
∵AD
=
,解得
sin∠
C=45°.
1
平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°.(角平分线的性质)
2
如图,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,设 DE=t,
由几何知识得,AD=2t,AE= 3t,CE=DE=t,
ACsin∠CAD=2AB·
ACsin∠BAC,
1
π
1
π
1
π
6 3
即2 ×2×ADsin6 + 2 ×3×ADsin6 = 2 ×2×3sin3,所以 AD= 5 .
考点三
三角形的高线问题
例3(2023·新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
π
π
π
0<A< ,所以 A= .故 C=π-A-B= .
3
6
6
sin A=cos Ccos A-sin Csin A,
(2)如图,取 BC 中点 D,连接 AD,记△ABC 的外接圆的半径为 r,
则 πr2=3π,解得 r= 3.由正弦定理,得 AB=2rsin C= 3.
因为
π
A=C=6,所以
BC=AB= 3,所以
4
4
因为
=
,则 sin
sin
sin∠
3 3
即 BD>CD,故 BD= 4 .
3 21
1
C=
>sin∠CBD= ,
14
2
=
7
.
4
[对点训练2](2024·山东济南模拟)已知函数f(x)= 2 3 sin xcos x+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=2,b=3,c=2,求A的内角平
8
1
又 cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=2,则 cos Bcos
1
C=-8.
本 课 结 束
π
π 1
所以 3sin A=1+cos A,即 2sin(A-6)=1,则 sin(A-6)=2.
π
π
π
因为 A∈(0,π),所以 A-6 = 6,则 A=3.
1
1
3 2 3
(2)由 S△ABC=2ah=2bcsin A,则 8 a = 4 bc,所以 a2=2bc,
3
2
有 sin A=2sin Bsin C,则 sin Bsin C= .
∴AC=AE+CE= 3t+t= 3+1,解得 t=1,∴AD=2t=2.
(方法 2)由方法 1 知,AC= 3+1,
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴
∴ 3( 3+1)=AD+
1
AB·
ACsin
2
1
60°=2AB·
ADsin
3+1
AD,∴AD=2.
2
1
30°+2AC·
ห้องสมุดไป่ตู้ADsin
30°,
(2)(2024·河南郑州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其中
分线AD的长.
解 (1)因为 f(x)=2 3sin x·
cos x+sin x-cos x= 3sin 2x-cos
2
π
2kπ+
2
π
≤2x6
2
π
2x=2sin(2x- ),
6
3π
π
5π
所以
≤2kπ+ ,k∈Z,解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
2
3
6
π
5π
所以 f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.
Csin A,
所以 sin Acos C+cos Asin C=sin Acos
所以 cos Asin
3
C= 3 sin
因为 sin C≠0,所以 cos
又 0<A<π,所以
π
A=3.
Csin A,
3
C+ 3 sin
Csin A.
3
A= 3 sin
A,则 tan A= 3.
Csin A,
(2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2+c2-bc=3.
因为 bc≤
2 +2
,当且仅当
2
b=c 时,等号成立,所以 b2+c2≤6.
+
因为 AM 是 BC 边上的中线,所以 =
,
2
2
1
1
+2 1 3 2 2
9
2
2
2
2
2
两边平方得|| =4(b +c +bc)≤ 4(b +c + 2 )=4 × 2(b +c )≤ 4,
3
当且仅当 b=c= 3时,等号成立,此时,中线 AM 的长度取得最大值 .
∴2(sin A-cos A)=sin A+cos A.
∴sin A=3cos A.
由 sin A+cos A=1,得 sin
2
2
∵A∈(0,π),∴sin
9
A=10.
2
3 10
A= 10 .
(方法
π
2)∵A+B=3C,A+B+C=π,∴C=4,B=3C-A.
∵2sin(A-C)=sin B,
3π
在△ABC 中,由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=7,
即 7a2=7,得 a=1,故 c=3.
在△BCD 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+a2-2a·
BDcos 30°,
故 16BD2-16 3BD+9=(4BD-3 3)·
(4BD- 3)=0,
3 3
3
故 BD= 或 BD= .
∴tan A=3.
∵0<A<π,∴sin
3 10
A= 10 .
(2)过点 C 作 AB 的垂线,垂足为点 D,则 CD 为 AB 边上的高.
AB=5, 由正弦定理得
=
,
sin
sin
sin
故 BC= sin =3 5.
3 10
π
10
∵sin A= 10 ,由(1)知 A∈(0,2),∴cos A= 10 .
3
6
π
π
(2)因为 f(A)=2sin(2A-6)=2,所以 sin(2A-6)=1.
π
π 11π
π
π
π
因为 A∈(0,π),所以 2A-6 ∈(-6 , 6 ),所以 2A-6 = 2,所以 A=3,
π
故∠BAD=∠CAD= ,
6
由题意知,S△ABD+S△ACD=S△ABC,
1
1
1
所以2AB·
ADsin∠BAD+2AD·
(2)若△ABC的外接圆面积为3π,求BC边上的中线长.
2
的对边,B= ,
3
+sin
cos
解 (1)因为
=
,
cos
sin
sin+sinsin
由正弦定理,得
cos
所以
因为
sincos
= sin ,所以
π
1
sin A=cos(C+A)=cos(π-B)=cos = .
3
2
3π
3π
3π
∴sin B=sin( 4 -A)=sin 4 cos A-cos 4 sin A
2
10
2 3 10
2 5
= 2 × 10 + 2 × 10 = 5 .
2 5
∴CD=BCsin B=3 5 × 5 =6.
综上,AB 边上的高为 6.
[对点训练 3](2024·湖北武汉模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
sin C=3sin
A,B=60°,b=
7.若
B
的角平分线
BD
交
AC
于点
D,则
3 3
BD=_________.
4
∠
解析 由题设∠ABD=∠CBD= 2 =30°,则 = = .
1
1
又 sin C=3sin A,则 c=3a,故 = 3.因为 b= 7,即 CD=4AC=4
已知 b=acos
3
C+ csin
3
A,M 是 BC 的中点.
(1)求 A 的值;
(2)若 a= 3,求中线 AM 长度的最大值.
解 (1)因为 b=acos
3
C+ csin
3
A,
由正弦定理,得 sin B=sin Acos
所以 sin(A+C)=sin Acos C+
3
C+ 3 sin
3
sin
3
2
考点二
三角形的中线与角平分线问题
例 2(1)(2023·全国甲,理 16)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的角
2
平分线交 BC 于 D,则 AD=__________.
解析 (1)(方法 1)由题意,在△ABC 中,AB=2,BC= 6,∠BAC=60°,
由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·
3
BD= 2 .
根据余弦定理,
得 AD =AB +BD -2AB·
BDcos B=( 3) +(
2
所以 AD=
2
21
,故
2
2
BC 边上的中线长为
2
21
.
2
3 2
) -2×
2
3×
3
1 21
×(-2)= 4 ,
2
[对点训练 1](2024·湖南株洲模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,
∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin( 4 -A),
3π
3π
∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin 4 cos A-cos 4 sin A.
2
2
代入数据,得 2sin A- 2cos A= 2 cos A+ 2 sin A.
2
3 2
整理得 2 sin A= 2 cos A,
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解 (1)(方法 1)由题意知 A+B=3C,
π
3π
∵A+B+C=π,∴C=4,A+B= 4 .
π
3π
π
π
由 2sin(A-C)=sin B,得 2sin(A-4)=sin( 4 -A)=sin[π-(A+4)]=sin(A+4),
π
π
π
π
∴2(sin Acos4-cos Asin4)=sin Acos4+cos Asin4.