2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高一数学第一学期期末教学质量检测试题含

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
A.134217728
B.268435356
C.536870912
D.513765802
2．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象，只需要把函数sin y x =的图象上所有的点 ①向左平移
3π个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的12倍； ②向左平移6π个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的12
倍； ③各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向左平移3
π个单位: ④各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π个单位 其中命题正确的为（）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
3．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )
A.3x －y －5＝0
B.3x －y ＋5＝0
C.3x ＋y ＋13＝0
D.3x ＋y －13＝0
4．函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，则74f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为（ ） A.6
- B.3
C.2
D.1-
5．下列说法正确的是（）
A.若0a b >>，则b b m
a a m +<+
B.若a b >，则22ac bc >
C.若0a b >>，则11
a b b a +>+
D.若,R a b ∈，则2a b
ab +≥
6．设()f x 是定义在实数集上的函数，且(2)()f x f x -=，若当1≥x 时，()ln f x x =，则有（
）
A.(1)(0)(2)f f f -<=
B.(1)(0)(2)f f f ->=
C.(1)(0)(2)f f f -<<
D.(1)(0)(2)f f f ->>
7．已知幂函数()2()44m f x m m x =--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（）
A.5-
B.5
C.1-
D.1
8．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是减函数，则a 的取值范围是（）
A.10,7⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.11,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9．若函数()213()log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A.()2,5
B.()1,2-
C.()2,+∞
D.(),2-∞
10．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为
A.25
B.35
C.23
D.910
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知幂函数()223m m y x m N --*
=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________. 12．已知0a >，b R ∈，当0x >时，关于x 的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a
+的最小值是_________ 13．函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的图象与y 轴相交于点(0,3)P ，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为2
π，则()3π=f _________.
14．给出下列命题“
①设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[][][][][]22222log 1log 2log 3log 127log 128649L +++++=；
②定义：若任意x A ∈，总有()a x A A -∈≠∅，就称集合A 为a 的“闭集”，已知{}1,2,3,4,5,6A ⊆且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个；
③已知函数()f x 为奇函数，()()2g x f x =+在区间()0,∞+上有最大值5，那么()g x 在(),0-∞上有最小值3-.其中正确的命题序号是_________.
15．已知函数()221,1,,1,
x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若()()03f f a =，则a 的值为______
16．若函数2
()61f x ax x =+-在(1,1)-内恰有一个零点，则实数a 的取值范围为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合，，全集. （1）求，；
（2）求
； （3）如果，且，求的取值范围.
18．已知an 2()t θπ-=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（1）求sin θ，cos θ的值；
（2）求34cos sin 223sin()5cos(2)
ππθθπθπθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-的值
19．已知全集{}{},||1|2,|05U R A x x B x x ==-<=<<，求：
（1）A B ； （2）()U A B ⋃.
20．已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤.
（1）若1a =，求A B ；
（2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围.
21．已知函数()1()3312x a f x =
-+为奇函数 （1）求a 的值；
（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式31(())099f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C
【解析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.
【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，
所以有：16384×32768＝536870912,
故选C.
【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.
2、B
【解析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以，为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象，只需要把函数sin y x =的图象上所有的点向左平移3π个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的12
倍， 或将函数sin y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向左平移6π个单位. 故①④满足条件，
故选：B.
3、D
【解析】由题意确定直线斜率，再根据点斜式求直线方程.
【详解】由题意直线l 与AB 垂直，所以
13:43(3),31304233
l k l y x x y =-=-∴-=--+-=-+， 选D.
【点睛】本题考查直线斜率与直线方程，考查基本求解能力.
4、C
【解析】根据()f x 的最值得出A ，根据周期得出ω，利用特殊点计算ϕ，从而得出()f x 的解析式，再计算74f π⎛⎫
⎪⎝⎭.
【详解】由函数的最小值可知：A =
函数的周期：74123T πππ⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭，则222T ππωπ===， 当712x π=时，()7322122
x k k Z πωϕπϕπ+=⨯+=+∈， 据此可得：()23
k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得：3πϕ=，
则函数的解析式为：()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
7711
2sin 4643f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
5、C
【解析】运用作差法可以判断C ，然后运用代特殊值法可以判断A 、B 、D ，进而得到答案.
【详解】对A ，令2,1,1a b m ===-，则1110221
b
b m a a m +-=>==+-.A 错误； 对B ，令2,1,0a b
c ===，则220ac bc ==.B 错误；
对C ，因为()()1111a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，而0a b >>，则10,10a b ab ->+>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a
+>+.C 正确；
对D ，令1a b ==-，则
112
a b +=-<=.D 不正确. 故选：C.
6、B
【解析】由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以()()02f f =， ()()13f f -=，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以()()()102f f f ->=，
故选B
7、C
【解析】根据幂函数的定义，求得1m =-或5m =，再结合幂函数的性质，即可求解.
【详解】解：依题意，2441--=m m ，故1m =-或5m =；
而1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，5()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故1m =-，
故选：C.
8、D
【解析】利用分段函数在R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】因函数()()()512,1
0,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是定义在R 上的减函数，
则有51001(51)2log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1175a ≤<， 所以a 的取值范围是11,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.
故选：D
9、A
【解析】令245t x x =-++，则
13log y t =，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.
【详解】令245t x x =-++，则13log y t =，由真数0t >得15x -<<，
∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，
∴245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵13
log y t =在定义域上单调递减， 由复合函数的单调性可得：
()213
()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5. 故选：A.
10、D
【解析】分析：先求对立事件的概率：黑白都没有的概率，再用1减得结果.
详解：从袋中5球随机摸3个，
有35C 10=，黑白都没有只有1种，
则抽到白或黑概率为1911010
-
= 选D 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数()223m m y x m N --*=∈在()0,∞+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.
*m N ∈，故0m =，1，2.
当0m =时 ，3
y x -=不关于y 轴对称，舍去； 当1m =时 ，4
y x -=关于y 轴对称，满足； 当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去； 故1m =，()()1
1
33132a a --+<-，函数13
y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减， 故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或
2332a <<. 故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 12、4
【解析】由题意可知，当1x a =时，有21140b a a +⋅-=，所以14b a a +=， 所以2144b a a a
+=+≥ 点睛：本题考查基本不等式的应用．本题中，关于x 的不等式()()2140ax x bx -+-≥恒成立，则当1x a
=时，有
21140b a a +⋅-=，得到14b a a +=，所以2144b a a a
+=+≥．本题的关键是理解条件中的恒成立
13、
【解析】根据图象可得2A =，由题意得出T π=，即可求出2ω=，再代入P 即可求出ϕ，进而得出所求.
【详解】由函数图象可得2A =， 相邻的两条对称轴之间的距离为2π，22
T π∴=，则T π=，22T πω==， ()()2sin 2f x x ϕ∴=+，
又()02sin f ϕ==sin 2
ϕ=，||ϕπ<，3πϕ∴=或23πϕ=， 根据“五点法”画图可判断23πϕ=，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭， 2
2sin 2333f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：14、①②
【解析】对于①，如果122k k m +≤<，则2log 1k m k ≤<+，也就是[]2log m k =，所以
[][][][][]2622222log 1log 2log 3log 4log 12801222627+++++=+⨯+⨯++⨯+，进一步计算可以得到该和为2824641603847649++++++=，故①正确；对于②，我们把1,2,3,4,5,6分成四组：{}{}{}{}1,5,2,4,3,6，由题设可知6不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为3217-=，故②正确；对于③，因为()g x 在()0,∞+上的最大值为5，故()f x 在()0,∞+上的最大值为3，所以()f x 在(),0-∞上的最小值为3-，()g x 在(),0-∞上的最小值为1-，故③错．综上，填①② 点睛：（1）根据[]=x k 可以得到1k x k ≤<+，因此2log 1k m k ≤<+⇔122k k m +≤<，这样的m 共有2k ，它们的和为2k k ，依据这个规律可以写出和并计算该和
（2）根据闭集的要求，{}{}{}1,5,2,4,3中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算
（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论
15、4
【解析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.
【详解】由题意可知()00212f =+=，()2
2223f a a =+=，解得4a =， 故答案为：4
16、[3,3]-
【解析】根据实数a 的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当0a =时，1()610(1,1)6
f x x x =-=⇒=∈-，符合题意， 当0a ≠时，二次函数2()61f x ax x =+-的对称轴为：3x a =-， 因为函数2
()61f x ax x =+-在(1,1)-内恰有一个零点，所以有： (1)(1)031f f a ⋅-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，或(1)(1)031f f a ⋅-<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，即(5)(7)031a a a +-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩或(5)(7)031a a a
+-<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， 解得：30a -≤<，或03a <≤，
综上所述：实数a 的取值范围为[3,3]-，
故答案为：[3,3]-
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）
， （2）
（3）
【解析】（1）根据函数
和函数的单调性，可以直接得到的范围 （2）先求出集合与集合的交集，再求补集即可
（3）根据集合和集合的交集为空集，可直接求出的取值范围
【小问1详解】
根据题意，可得：，函数在区间上单调递增，则有： 故有：
函数在区间上单调递增，则有：
综上，答案为：， 【小问2详解】
由（1）可知：， 则有：
故有：
故答案为：
【小问3详解】 由于，且， 则有：， 故的取值范围为：
故答案为： 18、（1）5sin 5
θ=，5cos 5θ=- （2）7 【解析】（1）首先利用诱导公式得到tan 2θ=-，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；
【小问1详解】
解：因为an 2()t θπ-=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2θ=-，又22sin tan 2cos sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩解得25sin 55cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或25sin 55cos θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25sin 55
cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【小问2详解】 解：34cos sin 223sin()5cos(2)
ππθθπθπθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-
4sin cos 3sin 5cos θθθθ
+=+ 4tan 13tan 5
θθ+=+ ()()421
7325⨯-+==⨯-+
19、（1）{}03A B x x ⋂=<<；（2）{()1U A B x x ⋃=≤-或}0x >.
【解析】（1）求出集合A ，再根据集合间的基本运算即可求解； （2）求出U A ，再根据集合间的基本运算即可求解.
【详解】解：（1）由12x -<，
解得：13x ， 故{}13A x x =-<<，
又 {}|05B x x =<<，
{}03A B x x ∴⋂=<<；
（2）由（1）知：{}
13A x x =-<<， {1U A x x ∴=≤-或}3x ≥，
{()1U A B x x ∴⋃=≤-或}0x >.
20、（1）{}02x x ≤<；（2）(][),11,-∞-+∞.
【解析】（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合A 是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当1a =时，{}{}21112A x a x a x x =-<<+=<<， 所以{}
02A B x x ⋃=≤<.
（2）因为A B φ⋂=，
（i ）当211a a -≥+，即2a ≥时，A φ=，符合题意； （ii ）当A φ≠时，21121110a a a a -<+⎧⎨-≥+≤⎩
或，解得12a ≤<或1a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞.
【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合A 为空集的情况.
21、（1）2a =
（2）单调递减，证明见解析
（3）(,5)-∞
【解析】（1）根据奇函数性质(0)0f =求解即可；
（2）根据定义法严格证明单调性，注意式子正负的判断即可求解； （3）根据奇函数性质化简不等式得31(())99f f x f ⎛⎫<-
⎪⎝⎭， 再根据函数单调性得到31()99f x >-
，代入函数解不等式即可求解. 【小问1详解】
因为()1()3
312x a f x =-+为奇函数且()f x 的定义域为R ， 所以由奇函数性质得(0)0f =，解得2a =，当2a =时，
()()2112()3312312x x x f x -=-=++，()
21()312x x f x --=+， 即()()f x f x =--，符合题意.
【小问2详解】
()f x 在R 上单调递减，证明如下：
由（1）知()21()3
312x f x =-+，1x ∀，2x R ∈，12x x <时， ()()12f x f x -=1221131212x x ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭()()
211222231212x x x x -⨯++ ， 因为12x x <，所以21220x x ->，()()12
12120x x ++>， 所以()()120f x f x ->，即()f x 在R 上单调递减
【小问3详解】 因为31(())099f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以31(())99f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
， 因为()f x 为奇函数，()()f x f x =--，所以31(())99f f x f ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，
又因为()f x 在R 上单调递减，所以31()99
f x >-， 即()21313
99312x ->-+，所以1233x +<，即232x <，解得5x <， 即不等式的解集为(,5)-∞。