高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理ppt版本

【即时训练】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系.曲线
C
的极坐标方程为ρ
cos

π 3
=1(0≤θ
<2π ),M,N
分别为 C
与
x
轴、y 轴的交点.
(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;
解:(1)由ρcos


π 3

另一条过点 A(0,2),倾斜角为 π ,直线的直角坐标方程为 y=x+2,极坐 4
标方程为ρ(sin θ-cos θ)=2,即ρsin (θ- π )= 2 . 4
反思归纳(1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ 之间 的关系,然后列出方程f(ρ,θ )=0,再化简并检验特殊点. (2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形. (3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标 方程,注意方程的等价性.
③正确.极坐标系中,点(2, π )与(2, π +2kπ) (k∈Z)为同一点.
3
3
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ=1 表示垂直于极轴的直线.
答案:①②③
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x2+y2=1 变换为椭
3
2
答案:x-y+1=0
2.(2015
高考北京卷)在极坐标系中,点

2,
π 3

到直线ρ
(cos
θ
+
3 sin θ )=
6 的距离为
.
解析:由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点(2, π )对应的直角 3
坐标为(1, 3 ),直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6 对应的直角坐标方程为 x+ 3 y
(2)O1 与☉O2 的圆心距为 12 a2 = 5 ,解得 a=±2.
备选例题
【例 1】求直线ρ =
5
关于θ = π (ρ ∈R)对称的直线方程.
3cos 2sin
4
解:法一 设点 P(ρ,θ)为所求直线上一点,该点关于θ= π (ρ∈R)的对 4
称点为
P0(ρ0,θ0),则



(2)若直线 C3的极坐标方程为θ = π (ρ ∈R),设 C2与 C3的交点为 M,N,求△C2MN 4
的面积.
解:(2)将θ= π 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 4
得ρ2-3 2 ρ+4=0,解得ρ1=2 2 ,ρ2= 2 ,故ρ1-ρ2= 2 ,即|MN|= 2 . 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 1 .
第十三篇 坐标系与参数方程(选修4—4) 第1节 坐标系
最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在 平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念,会在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置, 能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表 示的极坐标方程.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为

:
x '

y
'

1 x, 3 1 y， 2
则点(3,2)经过变换 后的点的坐标为(1,1); ②正确.将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数
y=sin[2( 1 x)]=sin x 的图象; 2
θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α (ρ ∈R)
ρ cos θ =a
ρ sin θ =a
夯基自测
1.直线
3x-2y+1=0
经过变换
x'

y
'

3x, 2y
后的直线方程为
.
解析:由变换
x'

y
'

3x, 2y
得
x


y

x', 3 y', 2
代入直线方程,
得 3× x ' -2× y ' +1=0,得 x′-y′+1=0,即变换后的直线方程为 x-y+1=0.
【即时训练】
若函数
y=f(x)的图象在伸缩变换
:
x ' 2x,

y
'

3y
的作用下得到曲
线的方程为 y′=3sin(x′+ π ),求函数 y=f(x)的最小正周期. 6
解:由题意,把变换公式代入曲线 y′=3sin(x′+ π )得 6
3y=3sin(2x+ π ),整理得 y=sin(2x+ π ),故 f(x)=sin(2x+ π ).
圆心为(r,0),半径为 r 的圆
圆心为

r,
π 2

,半径为
r
的圆
过极点,倾斜角为α 的直线
过点(a,0),与极轴垂直的直线
过点


,
π 2

,与极轴平行的直线
图形
极坐标方程 ρ =r
ρ =2rcos θ (- π <θ ≤ π )
2
2
ρ =2rsin θ (0≤θ <π )
直线θ= π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3 x. 3
圆心(0,4)到直线 3 x-y=0 的距离 d=
4
=2.
3 2 12
又圆的半径为 4,故圆上的点到直线距离的最大值是 2+4=6. 答案:6
4.(2014高考广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ =cos θ 和 ρ sin θ =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角
①点(3,2)经过伸缩变换
:
3x' 2y '
x, y
后所得点的坐标为(1,1);
②将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=sin x
的图象;
③在极坐标系中,点(2, π )与(2,- 5π )为同一点;
3
3
④在极坐标系中,方程ρ cos θ =1 表示圆.
为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直 角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为 x= ρ cos θ ,
y= ρ sin θ ,由此得ρ 2= x2+y2 ,tan θ = y x 0 .
x
3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线
圆心在极点,半径为 r 的圆
=1
得ρ

1 2
cos

3 2
sin

=1.
从而 C 的直角坐标方程为 1 x+ 3 y=1,即 x+ 3 y=2. 22
当θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0).
当θ=
π 2
时,ρ=
23 3
,所以
N

23 3
,
π 2

.
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

0,
π 2
0
,
所以

0
0


π 2
,

.
又 P0(ρ0,θ0)在已知直线上,所以ρ=
5
3cos

π 2




2sin

π 2



=
5
.故所求直线方程为ρ=
5
.
3sin 2cos
圆 x2 + y 2 =1. 94
解:设伸缩变换为

x y
' '

x y
0, 0,
由题知

2x 9
2
+ 2y2 4
=1,即

3
2
x2+

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
y2=1.
与
x2+y2=1
比较系数,得

3
2
1 3 3 6
=6,由点到直线距离公式可得,所求距离为
=1.
2
12 3
答案:1
3.(2015 高考安徽卷)在极坐标系中,圆ρ =8sin θ 上的点到直线θ = π 3
(ρ ∈R)距离的最大值是
.
解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16,
坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为
.
解析:C1 的方程可化为ρ2sin2θ=ρcos θ,即 y2=x, C2 的方程可化为 y=1,
由

y2 x, y 1,
得

x y

1, 1.
所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,1).
答案:(1,1)
5.给出下列命题:
反思归纳
平面上的曲线
y=f(x)在变换

:
x ' y '

x 0, y 0
的作用下得
到的方程的求法是将
x y

x' ,

y'
代入
y=f(x),得
y'
=f

x'


,整理之后得到

y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
2
反思归纳(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x=ρcos θ 及y=ρsin θ 直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程 时常通过变形,构造形如ρcos θ ,ρsin θ ,ρ2的形式,进行整体代换.其 中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法. 但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
:
x ' y '

x 0, y 0
的作
用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换.
解:(1)由公式
x

y


cos sin
,
得曲线
C1:ρ=2sin
θ与 C2:ρcos
θ
=-1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为 x2+y2=2y,x=-1.
联立方程组,解得
x

y

1. 1.
由公式
x2

tan
y x
y

2, x

0
得点 P(-1,1)的极坐标为( 2 , 3π ). 4
【即时训练】 已知☉O1 和☉O2 的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和ρ =2asin θ (a 是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值.
解:(1)由ρ=2cos θ 得ρ2=2ρcos θ . 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 由ρ=2asin θ 得ρ2=2aρsin θ . 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2.
(2)过点 P 被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线的极坐标方程.
解:(2)由(1)可知,曲线 C1:ρ=2sin θ即圆 x2+(y-1)2=1,如图所示, 过 P(-1,1)被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线有两条:
一条过原点 O,倾斜角为 3π ,直线的直角坐标方 4
程为 y=-x,极坐标方程为θ= 3π (ρ∈R); 4
解:(2)M
点的直角坐标为(2,0).N
点的直角坐标为

0,
2
3 3

.
所以
P
点的直角坐标为
1,
3 3

,则
P
点的极坐标为

2
3 3
,
π 6

,
所以直线 OP 的极坐标方程为θ= π (ρ∈R). 6
考点三 简单曲线的极坐标方程及应用
【例3】 在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =-1(0≤θ <2π ),求: (1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标;
2
2

1, 1,
故


3, 2,
所以伸缩变换为
x'

y
'

3x, 2y
即先使圆
x2+y2=1
上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍,得到椭圆 x2 +y2=1,再将 9
该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到椭圆 x2 + y 2 =1. 94
6
6
6
所以 y=f(x)的最小正周期为 2π =π. 2
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【例2】 (2015高考新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
解:(1)因为x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ =-2, C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0.
2.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为ρ .以极轴 Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角 ,记为θ .有序数对(ρ ,θ )叫
做点M的极坐标,记为M(ρ ,θ ).
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作