浙教版初中数学第一章 二次函数专题复习(1)待定系数法求二次函数表达式 导学练(含答案)

专题复习一 待定系数法求二次函数表达式
二次函数表达式的三种形式：①一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0);②顶点式y =a (x －m )2+k (a ≠0);③交点式(分解式)y =a (x －x 1)(x －x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.
1.一抛物线和抛物线y =－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的函数表达式为(B ).
A.y =－2(x －1)2+3
B.y =－2(x +1)2+3
C.y =－(2x +1)2+3
D.y =－(2x －1)2+3 2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点为点A (－2，－2)，且过点B (0，2)，则y 关于x 的函数表达式为(D ).
A.y =x 2+2
B.y =(x －2)2+2
C.y =(x －2)2－2
D.y =(x +2)2－2
(第2题)
(第3题) （第4题） (第8
题)
3.如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y =－x 2+x +2 B.y =－
21x 2－21x +2 C.y =－21x 2－2
1
x +1 D.y =x 2－x －2 4.如图所示，二次函数y =x 2+bx +c 的图象过点B (0，－2).该二次函数的图象与反比例函数y =－
x
8
的图象交于点A (m ，4)，则这个二次函数的表达式为(A ).
A.y =x 2－x －2
B.y =x 2－x +2
C.y =x 2+x －2
D.y =x 2+x +2 5.抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，则a +c = －2 ．
6.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3)，则二次函数的表达式为 y =x 2－4x +3 ．
7.老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象经过第一象限；③当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；④当x ＜2时，y ＞0． 已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： y =（x －2）2（不唯一） ．
8.如图所示，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A 1OB 1，若点A 的坐标为(2，1)，过点A ，O ，A 1的抛物线的函数表达式为 y =65x 2－6
7
x ． 9.根据下列条件求二次函数的表达式.
(1)二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点的横坐标是－21,2
3
,与y 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的表达式．
(2)二次函数图象的顶点在x 轴上，且图象过点(2，－2)，(－1，－8)，求此函数的表达式．
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y =a （x +21）（x －2
3）.把点（0，－5）代入，得a ×21×（－23）=－5，解得a =320.∴抛物线的函数表达式为y =320（x +21）（x －23）=320x 2－
3
20x －5.
(2)设抛物线的函数表达式为y =a （x －k ）2
.把点（2，－2）,（－1，－8）代入，得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-8
1222
2
k a k a , 解得⎪⎩
⎪⎨⎧
=-
=592k a ,或⎩⎨
⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y =－92（x －5）2或y =－2（x －1）2.
（第10题）
10.在平面直角坐标系中，抛物线y =2x 2+mx +n 经过点A (0，－2)，B (3，4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.
(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，且点D 的纵坐标为t ，记抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象G (包含A ，B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围.
【答案】(1)把点A (0，－2)，B (3，4)代入抛物线y =2x 2
+mx +n ，得⎩
⎨⎧=++-=43182
n m n ,
解得
⎩⎨
⎧-=-=2
4
n m .∴抛物线的函数表达式为y =2x 2－4x －2，对称轴为直线x =1.
（第10题答图）
(2)如答图所示，作出抛物线在A ，B 两点之间的图象G .由题意得C (－3，－4)，二次函数y =2x 2－4x －2的最小值为－4，由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为－4.设直线BC 的表达式为
y =kx +b ，将点B ，C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩
⎪⎨⎧
==
034b k .∴直线BC 的表达式y =34
x .当x =1时，y =
34，∴t 的取值范围是－4≤t ≤3
4
.
11.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴为直线x =2，则这条抛物线的顶点坐标为(B ).
A.(2，3)
B.(2，1)
C.(－2，1)
D.(2，－1) 12.若一次函数y =x +m 2与y =2x +4的图象交于x 轴上同一点，则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.
2 D.±2
13.若所求的二次函数图象与抛物线y =2x 2－4x －1有相同的顶点，且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为(D ). A.y =－x 2+2x －5 B.y =ax 2－2ax +a －3(a ＞0) C.y =－2x 2－4x －5 D.y =ax 2－2ax +a －3(a ＜0)
14.如图所示，已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为点C ，则AC 长为 3 ．
(第14题) (第16题)
15.已知二次函数的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 y =
21x 2
+2x 或y =－61x 2+3
2x ． 16.如图所示，直线y =x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上.若抛物线y =ax 2+bx +c 以点C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的函数表达式为 y =2
1x 2
－2x +2 ．
（第17题）
17.如图所示，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA =2，AB =1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，抛物线y =－6
5x 2
+bx +c 经过B ，D 两点. (1)求二次函数的表达式.
(2)连结BD ，点P 是抛物线上一点，直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.
【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，∴CD =AB =1，OC =OA =2.
则点B (2，1)，D (－1，2)，代入y =－65x 2+bx +c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26
512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==3102
1c b .
∴二次函数的表达式为y =－
65x 2+21x +3
10
.
（第17题答图）
(2)如答图所示，∵OA =2，AB =1，∴B (2，1).∵直线OP 把△BOD
的周长分成相等的两部分，
且OB =OD ，∴DQ =BQ ，即点Q 为BD 的中点，D (－1，2).∴点Q 坐标为（21，2
3
）.设直线OP 的表达式为y =kx ，将点Q 坐标代入，得
21k =2
3，解得k =3.∴直线OP 的表达式为y =3x .由⎪⎩
⎪
⎨⎧++-==310216532x x y x
y 得⎩⎨
⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1，3)或(－4，－12).
（第18题）
18.在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +2过B (－2，6)，C (2，2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.
(2)记抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积. (3)若直线y =－
2
1
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围.
【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y =21x 2－x +2.
(2)如答图所示，∵y =
21x 2－x +2=21
(x －1)2+23.∴顶点D 的坐标为（1，2
3），对称轴为直线x =1.设直线BC 的函数表达式为y =kx +b.将B （－2，6），C （2，2）代入，得⎩
⎨⎧=+=+-226
2b k b k ,
解得⎩⎨
⎧=-=4
1
b k .∴直线BC 的函数表达式为y =－x +4，∴对称轴与BC 的交点H (1，
3).∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =
21×23×3+21×2
3×
1=3.
(3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2212
12x x y b x y 消去y 得x 2－x +4－2b =0，当Δ=0时，直线与抛物线相切，1－4(4
－2b )=0，解得b =
8
15.当直线y =－21x +b 经过点C 时，b =3，当直线y =－21
x +b 经过点B 时，
b =5.∵直线y =－21
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有
两个交点，∴8
15
＜b ≤3.
（第19题）
19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A ).
A.y =(x －1)2+1
B.y =(x +1)2+1
C.y =2(x －1)2+1
D.y =2(x +1)2+1 20.【广州】已知抛物线y 1=－x 2+mx +n ，直线y 2=kx +b ，y 1的对称轴与y 2交于点A (－1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.
(2)若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y 1=－x 2+mx +n ，直线y 2=kx +b ，y 1的对称轴与y 2交于点A (－1，5)，点
A 与y 1的顶点
B 的距离是4.∴B (－1，1)或(－1，9).∴－()
12-⨯m =－1，()()14142-⨯--⨯m n =1
或9，
解得m =－2，n =0或8.∴y 1=－x 2－2x 或y 1=－x 2－2x +8.
(2)①当y 1=－x 2－2x 时，抛物线与x 轴的交点是(0，0)和(－2，0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A (－1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－2，0).把(－1，5)，(－2，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-0
25
b k b k ,
解得
⎩⎨
⎧==10
5
b k .∴y 2=5x +10.②当y 1=－x 2－2x +8时，令－x 2－2x +8=0，解得x =－4或2.∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A (－1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－4，0).把(－1，5)，(－
4，0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==3203
5b k .∴y 2=35x +320.综上可得y 2=5x +10或y 2=35x +320.
21.如图所示，直线y =－
2
1
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A (－1，0)． (1)求B ，C 两点的坐标． (2)求该二次函数的表达式．
(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．
(第21题) 图1 图2
（第21题答图）
【答案】(1)令x =0，可得y =2;令y =0，可得x =4，∴B ,C 两点的坐标分别为B （4，0），C （0，2）.
(2)设二次函数的表达式为y =ax 2+bx +c ，将点A ，B ，C 的坐标代入表达式得⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=+-204160
c c b a c b a
,
解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y =－21x 2+23x +2.
(3)存在.∵y =－21x 2+23x +2=－21
(x －23)2+8
25，∴抛物线的对称轴是直线x =23.∴OD =23.∵C （0，2），∴OC =2.在Rt △OCD 中，由勾股定理得CD =2
5.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=C D.如答图1所示，作CH ⊥对称轴直线x =2
3
于点H ，
∴HP 1=HD =2，∴DP 1=4.∴P 1(23，4)，P 2(23，25)，P 3(23，－2
5
).
(4)如答图2所示，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，－21a +2），F （a ，－21
a 2+2
3a +2），
∴EF =－21a 2+2
3a +2－（－21a +2）=－21
a 2+2a （0≤a ≤4）.∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =
21BD ·OC +21EF ·CM +21EF ·BN =25+21a （－21a 2+2a ）+21（4－a ）（－21
a 2+2a ）=－a 2+4a +25=－（a －2）2+213，∴当a =2时，四边形CDBF 的面积最大，最大面积为2
13
，此时点E 坐标为（2，1）.。