湖南专版2020年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的图象与性质2019111118

课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.[2019·衢州]二次函数y=(x -1)2
+3的图象的顶点坐标是 ( ) A .(1,3) B .(1,-3)
C .(-1,3)
D .(-1,-3)
2.[2019·重庆B 卷]抛物线y=-3x 2+6x +2的对称轴是 ( ) A .直线x=2 B .直线x=-2 C .直线x=1
D .直线x=-1
3.关于抛物线y=x 2
-4x +1,下列说法错误的是 ( ) A .开口向上
B .与x 轴有两个不同的交点
C .对称轴是直线x=2
D .当x>2时,y 随x 的增大而减小
4.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax 2
+bx 与一次函数y=bx -a 的图象可能是
( )
图K13-1
5.[2019·河南]已知抛物线y=-x 2
+bx +4经过(-2,n )和(4,n )两点,则n 的值为 ( ) A .-2
B .-4
C .2
D .4
6.[2019·陕西]在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x 2
+(2m -1)x +2m -4与y=x 2
-(3m +n )x +n 关于y 轴对称,则符合条件的m ,n 的值为 ( ) A .m=5
7
,n=-18
7
B .m=5,n=-6
C .m=-1,n=6
D .m=1,n=-2
7.[2019·烟台]已知二次函数y=ax 2
+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表:
x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0
下列结论:① 抛物线的开口向上;② 抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4;⑤若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,则x 1<x 2. 其中正确的个数是 ( )
A .2
B .3
C .4
D .5
8.[2019·株洲]若二次函数y=ax 2
+bx 的图象开口向下,则a 0(填“=”或“>”或“<”). 9.[2019·武威]将二次函数y=x 2
-4x +5化成y=a (x -h )2
+k 的形式为 .
10.[2019·无锡]某个函数具有性质:当x>0时,y 随x 的增大而增大,这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).
11.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2
+bx +c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
12.[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t -3
2t 2
.在飞
机着陆滑行中,最后4 s 滑行的距离是 m . 13.[2018·宁波]已知抛物线y=-1
2x 2
+bx +c 经过点(1,0),0,
32
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=-1
2x 2
+bx +c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
14.[2019·威海]在画二次函数y=ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 … y 甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 … y 乙
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax 2
+bx +c (a ≠0)的表达式;
(2)对于二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0),当x 时,y 的值随x 值的增大而增大; (3)若关于x 的方程ax 2+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.
|拓展提升|
15.[2019·遂宁]如图K13-2,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y
的轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,点O恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12
x 图象经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为(填一般式).
图K13-2
16.[2019·淮安]如图K13-3,已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,3).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且ED=EF,求点E的坐标;
?若存在,求出点G的坐标;若(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的3
5
不存在,请说明理由.
图K13-3
【参考答案】
1.A
2.C
3.D
4.C
5.B
6.D [解析]∵抛物线y=x 2
+(2m -1)x +2m -4与y=x 2
-(3m +n )x +n 关于y 轴对称, ∴{2x -1=3x +x ,2x -4=x ,解得{x =1,x =-2.
故选D . 7.B [解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线
x=2且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,由图象可以看出当0<x<4时,y<0,所以结
论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,既有可能x 1<x 2,也有可能x 1>x 2,所以结论⑤错误. 8.<
9.y=(x -2)2
+1 10.y=x 2
(答案不唯一)
11.(1,4) [解析]∵A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2
+bx +c 上两点,
∴{x =3,-4+2x +x =3,解得{x =2,x =3,
∴y=-x 2
+2x +3=-(x -1)2
+4,顶点坐标为(1,4).
12.24 [解析]∵y=60t -3
2t 2
=-3
2(t -20)2
+600,∴当t=20时,滑行到最大距离600 m 时停止;当t=16时,y=576,∴最后4 s 滑行的距离是24 m . 13.解:(1)把(1,0)和0,32
代入y=-12x 2
+bx +c ,得{-1
2+x +x =0,x =32,解得{x =-1,x =32
, ∴抛物线的函数表达式为y=-1
2x 2
-x +3
2. (2)∵y=-1
2x 2
-x +32=-1
2(x +1)2
+2, ∴顶点坐标为(-1,2),
∴将抛物线y=-1
2
x 2
-x +3
2
平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度,再向下平移2
个单位长度(答案不唯一), 平移后的函数表达式为y=-1
2x 2
.
14.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的, 由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax 2
+bx +3,得{
x -x +3=6,
x +x +3=2,
解得a=1是正确的.
根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x 2+bx +c ,
得{1-x +x =-2,1+x +x =2,解得b=2是正确的, ∴y=x 2
+2x +3.
(2)抛物线y=x 2
+2x +3的对称轴为直线x=-1,∵二次项系数为1,∴抛物线开口向上, ∴当x ≥-1时,y 的值随x 值的增大而增大. 故答案为≥-1.
(3)∵方程ax 2
+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,即x 2
+2x +3-k=0有两个不相等的实数根,∴
Δ=4-4(3-k )>0,解得k>2.
15.y=1
2x 2
-114x +3 [解析]∵矩形OABC 中,C (0,3),∴点B 的纵坐标为3.∵反比例函数y=12
x 的图象经过点B ,∴
B (4,3),A (4,0),∴OA=4.∵
C (0,3),∴OC=3,∴Rt △ACO 中,AC=5.设G (m ,0),则OG=m ,∴GP=OG=m ,CP=OC=3,∴AP=2,AG=4-m ,∴Rt △AGP 中,m 2+22=(4-m )2,∴m=32,∴G 32
,0.∵A (4,0),C (0,3),G
32
,0,∴解析式为
y=12x 2-11
4x +3.
16.[解析](1)利用顶点式求二次函数表达式;
(2)设对称轴与x 轴的交点为C ,利用DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴证明△BEF ∽△BDC ,利用对应边成比例求出BF ,EF 的长度,进而确定点E 的坐标; (3)分两种情况求交点坐标.
解:(1)∵二次函数图象的顶点D 的坐标为(1,3),∴设二次函数的表达式为y=a (x -1)2
+3. ∵函数图象过点B (5,0), ∴a (5-1)2
+3=0,∴a=-3
16
,
∴该二次函数的表达式为y=-3
16(x -1)2
+3,即y=-3
16x 2
+38x +45
16. (2)设对称轴与x 轴的交点为C ,如图①所示. ∵D (1,3),B (5,0), ∴DC=3,BC=4,BD=5.
∵DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴, ∴△BEF ∽△BDC ,
∴
xx xx =xx xx =xx
xx
. 设EF=ED=m ,则
5-x 5
=x 3=
xx 4
,
∴m=158
,BF=43
×158=5
2
,
∴OF=5-52=52,∴E
52,158
.
(3)存在.根据题意知A (-3,0),A ,B 两点到直线DG 的距离之比为3∶5,分两种情形:
①A ,B 两点在直线DG 的同旁,如图②,直线DG 与x 轴交于点H ,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点
M ,则有AN ∥BM ,xx xx =3
5,
∴△HAN ∽△HBM , ∴
xx xx =xx
xx
, ∴AH=12, ∴H (-15,0).
设直线DG 的表达式为y=kx +b , 则{-15x +x =0,x +x =3,解得{x =3
16,
x =4516
,
∴直线DG 的表达式为y=316
x +45
16
.
∵点G 为直线DG 与抛物线y=-3
16x 2
+38x +45
16的另一个交点, ∴{
x =316x +45
16,x =-3
16x 2
+3
8x +45
16,
解得{x =0,x =4516或{x =1,x =3.
∴G 0,45
16.
②A ,B 两点在直线DG 的两旁,如图③,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点M ,则有AN ∥BM ,xx xx =3
5.
∵
xx xx =3
5
, ∴直线DG 经过点O ,其表达式为y=3x.
∵点G 为直线DG 与抛物线y=-3
16
x 2
+38
x +45
16
的另一个交点,
∴{
x =3x ,
x =-316x 2+38x +4516,
解得{
x =-15,x =-45或{x =1,x =3.
∴G (-15,-45).综上所述,点G 的坐标为0,45
16或(-15,-45).。