流体力学讲义7-2

0
声速与流体的压缩性有关，密度为常数的流体中， a

复习 马赫数
流体速度与当地声速之比，称为马赫数。
M V a
物理意义：惯性力 / 弹性力，动能 / 内能 流动的分类：亚声速，跨声速，超声速，高超声速
超声速流动和亚声速流动的主要差别：影响域和依赖域
马赫角：马赫锥顶角的一半
sin 1
的波。经过一定时间后，无数个小 扰动弱波迭加在一起形成一个有限 激波的形成
强度的扰动波—激波，它将以大于
静止气体中声波的速度向右传播 。
§7.4 激波理论
Brass bullet in supersonic flight through air. By Ernst Mach in Prague in The winter of 1888.
2 / 1
2 1 0 0
0
20
40
p 2 /p 1
60
80
100
1
2
p 2 /p 1
3
4
5
20 R-H Isentropic

2 R-H Isentropic
15
1.5
10
(p 2 /p 1 )/( 2 / 1 )
0 20 40 60 80 100
T 2 /T 1
1
5
0.5
0
0
p 2 /p 1
V a, M 1
马赫锥
1 M
复习
依赖域：影响空间某点流动的区域称为该点的依赖域。
M 1
依赖域
P

影响域
超音速气流中 P 点的影响域和依赖域
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
一、完全气体等熵流动的基本性质和Crocco定理 理想气体定常绝热的连续流动中沿流线熵不变。
理想完全气体定常绝热的连续流动中沿流线总焓不变。
1、 正激波形成的物理过程
初始状态为：
u 0 , p p 0 , 0 , T T0
第一个波以 a 0 速度向右传播 第二道波的绝对速度是 后续波
a 1 u1 a 0
a 2 u 2 a 1 u1 a 0
后续扰动波的波速总是大于先行波
的波速，后面的波一定会追上前面

1 1
2 1
2 1


1 1
p2 p1 p2 p1
1 1

p2 p2 1 1 p1 T2 p1 p T1 1 2 1 p1
2
i
V
2
C T C l p 2 2 1 2 1
2
V
2

p
V
2
a
2
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
二、理想常比热完全气体沿流线的等熵关系式
2、滞止参数（驻点参数） 在定常流动中，流体质点由状态 p , , T , i , V 等熵地滞止到速度等于零时的状态参数，称为滞止参数。
相对于选定的坐标系静止的激波为驻激波
§7.4 激波理论
1) 正激波的相容条件
1V1 2V2
p1 1V1 p 2 2V2
2 2
p1 , 1 , T1
p 2 , 2 , T2
波前
C p T1 1 V1 C p T2 1 V 2 2 2
2 2
V1
V2
波后
0
1
2
p 2 /p 1
3
4
5
§7.4 激波理论
3) 等熵关系与激波关系的比较小结
30
a) 激波压缩是有限压缩 等熵压缩是无限压缩
p2 p1
, lim
p2 p1

2 1

1 1 1.4
6
2 / 1
25 20 15 10 5
R-H Isentropic
p2 p1
2 2
A1
A2
p1
1
e1 V1
1 2 2
p2
2
2
e2 1 V 2 2
2
1V1 2V 2
2
C p T1 1 V1 C p T2 1 V 2 2 2
§7.4 激波理论激波理论
正激波的相容条件：
连续方程
1V1 2V 2
动量方程：
5
0
0
20
40
p 2/p 1
60
80
100
§7.4 激波理论
4）Prandtl关系式 推导
V1V 2 a
a
2
2
，
1 2 1
可看出：
2
p
2 2
由正激波基本方程，应用临界参数定义可得：
( 1) a* 2 a ( 1)V
动量方程除以连续方程：
正激波前后必有：
(V1 V 2 )(1
复习
声速
dp 2 a d s
常比热完全气体
p c , p0

0
, a0
2
p0
0
RT0
声速是状态参数，声波的传播是等熵过程； 在不均匀气流中，每个点上流动参数不同，声速也不同； 在匀速运动的惯性坐标系中，声速仍为 a
2
p s

D
f V d


Tn V d A

D
q q R d


n TdA e 1 V 2 V n dA 2



Tn V d A


e 1 V 2 V n dA 0 2
2 2
p1V1 A1 p 2V 2 A2 1 e1 1 V1 V1 A1 2 e2 1 V 2 V 2 A2 0 2 2 p1V1 1 e1 1 V1 V1 p 2V 2 2 e2 1 V 2 V 2 2 2
，容器外环境压力
p b 1 Pa
求气流出口处速度
p 0 2 Pa T0 293 K
p b 1 Pa
V ?
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
3、临界参数
流体质点的状态参数 p , , T经历定常等熵 , i, V 过程变化到声速状态时的参数，称为临界参数。 记作： p * , * , T * , a * , V * 临界参数与滞止参数的关系
Crocco定理： 理想气体定常绝热流动中，若质量力可略，在全流场成立：
Ω V T s i0
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质 二、完全气体等熵流沿流线的等熵关系式 1、 理想常比热完全气体定常等熵流动的基本方程： （ 定常绝热流动沿流线的能量关系------伯努利积分）
V
§7.4激波理论 2、驻正激波前后物理量之间的关系式
1)激波的简化模型 激波是流动物理量的间断面，气流 穿过激波的过程是绝热过程 2) 正激波与斜激波 与气流速度垂直的物理量间断面为正激波
V1
A
A1 A2 V2
波前
波后
A1 A2 A
D0 A1 A2
3) 驻激波与运动激波
A1 A2 A
1V1 2V2
D0 A1 A2
§7.4激波理论
运动方程
t
D
V d

D
fd


Tn d A


V V n dA


pndA


V V n dA 0
§7.4 激波理论
Symmetric shock waves on a wedge. Air flow at M=1.45 over a wedge-plate of 10 degree semi-vertex angle.
§7.4 激波理论
Sphere at M=1.53. A shadowgraph catches a ½-inch sphere In free flight through air.
1
1 1 2 1 * 1 2

1

1 1 2 1 * 1 p 2 p
1
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
5、最大速度
理想常比热完全气体定常流动，流体质点等熵地加速到
等熵关系比较
p2 2 p1 1

1
1
2
p2 1 p1
T2
p 2 T1 p1

§7.4 激波理论----30 25 20 R-H Isentropic
等熵关系与激波关系的比较
5
4
3
2 / 1
15 10 5 0
p0
V max
或
T 0
或
2
i0
时的速度，称为最大速度。
2 C p T0
1
RT0
说明: (i)理想完全气体定常等熵流中参数变化的范围 ；
(ii)是假想的参数.
V 0, V max M 0,
0,
1 1

§7.4 激波理论
p1
1T1

p2
2 T2
§7.4激波理论
连续方程
t
A
A1
V1
D
d V ndA

A2 V2


V n dA

A1
V n dA

A2
V n dA
波前
波后
1V1 A1 2V 2 A2 0
2 2
A
A1 A2 V2
p1 A1 p 2 A2 1V1 A1 2V 2 A2 0 p1 1V1 p 2 2V2
2 2
V1
波前
波后
A1 A2 A
D0 A1 A2
§7.4 激波理论
能量方程
t
D
e 1 V 2 d 2

,
2 1

b) 激波压缩温升比大于等熵压缩（图b) c) 激波绝热曲线与等熵曲线在 1 点相切， 1 说明：微弱的激波压缩接近等熵压缩 d) 激波压缩过程是绝热不可逆过程
T 2 /T 1
0
0
20
40
p 2 /p 1
60
80
100
2
20 R-H Isentropic
15ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
气体穿过激波： 压力、密度、温度增加，速度降低
p

1
滞止参数为空间点上的参数，非均匀流各点滞止参数不同； 理想常比热完全气体定常等熵流沿流线滞止参数相同； 滞止参数与参考坐标系有关。
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
例：
1.4 的气体从很大容器上的小孔流出，已知容器内压力
p 0 2 Pa T ，0 293 K
和温度为
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
4、速度系数 流体速度与临界声速（或临界速度）之比，称为速度系数。
定义：
V a
*

V V
*
速度系数与马赫数的关系
2 1 2 M 1 M 2 1
V Vmax
2
1 / 2
1 1 2 M 1 2 1
p

p0
(
2

1
) 1 0.5283 ( 1.4)


0
(
2
1
1
) 1 0.634 ( 1.4)
T

T0

a
2 2

2
a0
1
0.833 ( 1.4)
说明:（1）临界参数为空间点上的参数，非均匀流各点临界参数不同；
（2）理想常比热完全气体定常等熵流沿流线临界参数相同； （3）临界参数与参考坐标系有关。

1 / 2
M 0: M 1: M 1:
0 1 1 1 1 1

1
M 1: M :
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M
§7.3 完全气体等熵流动的主要性质
用速度系数表示的等熵关系式
T T
*

1
1 2 1 2 1
p0 ,
0 , T0 ,
i0
i 0 c p T0 V
2
2 i V cpT
2
定常等熵关系式
1 2 1 M T0 2
T
1
1 2 1 M 0 2


1
1
1 2 1 M p0 2
p1 1V1 p 2 2V 2
2
2
能量方程： C pT1

p1
V1
2
2
C pT2
V2 2
p2
2
或
1 1

V1
2
2


1 2

V2 2
2
§7.4激波理论
2）Rankine-Hugonio关系（绝热关系）
1

2
2 1
p2 p1
1