单片机浮点数计算

单⽚机浮点数计算
在单⽚机应⽤系统的数据处理过程中，经常会遇到⼩数的运算问题，如求解BCD的增量算式、线性化处理等。

因此，需要⽤⼆进制数来表⽰⼩数。

表⽰⼩数的⽅法⼀般有两种，定点数和浮点数。

定点数结构简单，与整数的运算过程相同，运算速度快。

但随着所表⽰数的范围的扩⼤，其位数成倍增加，给运算和存储带来不便，⽽且也不能保证相对精度不变。

浮点数的结构相对复杂，但它能够以固定的字节长度保持相对精度不变，⽤较少的字节表⽰很⼤的数的范围，便于存储和运算，在处理的数据范围较⼤和要求精度较⾼时，采⽤浮点数。

浮点数的概念
常⽤的科学计数法来表⽰⼀个⼗进制数如
l234.75＝1.23475E3＝1.23475×103
在数据很⼤或很⼩时，采⽤科学计数避免了在有效数字前加0来确定⼩数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表⽰。

可以认为，科学计数法就是⼗进制数的浮点数表⽰⽅法。

在⼆进制效中，也可以⽤类似的⽅法来表⽰⼀个数，如
1234.75＝0.11（⼆进制）＝0.1×211
⼀般表达式为
N=S×2p
在这种表⽰⽅法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。

在⼆进制中，通过定义相应字节或位来表⽰这四部分，就形成了⼆进制浮点数。

⼆进制浮点数可以有多种不同的表⽰⽅法，下⾯是⼀种常见的三字节浮点数的格式：
其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。

阶码通常⽤补码来表⽰。

在这种表⽰⽅法中，⼩数点的实际位置要由阶码来确定，⽽阶码⼜是可变的，因此称为浮点数。

1234.75⽤这种格式的浮点数表⽰就是：
00 1011 1001 10 01 1000
⽤⼗六进制表⽰为
1234.75＝0B9A58H
-1234.75＝4B9A58H
0.171875＝043B00H
-0.171875＝443B00H
三字节浮点数所能表⽰的最⼤值为
1×263＝9.22×1018
能表⽰的最⼩数的绝对值为
0.5×2-63＝5.42×10－20
其所表⽰的数的绝对值范围＝(5.42×10-20～
9．22×1018)，由此可以看到，⽐三字节定点数表⽰的数的范围⼤得多。

按同样⽅法可以定义⼀个四字节的浮点数，以满⾜更⾼精度的需要。

规格化浮点数
同⼀个数⽤浮点数表⽰可以是不同的，如
1234.75＝0B9A58H＝0C4D2CH＝0D2696H
虽然这⼏种表⽰其数值是相同的，但其尾数的有效数字的位数不同，分别为16位、15位和14位。

在运算过程中，为了最⼤限度地保持运算精度，应尽量增加尾数的有效位数。

这就需要对浮点数进⾏规格化处理。

在只考虑⽤⼆进制原码表⽰尾数时，尾数的最⾼位为l，则该浮点数为规格化浮点数。

在规格化浮点数中，⽤尾数为0和最⼩阶码表⽰0，三字节规格化浮点数的0表⽰为4100H。

浮点数在运算之前和运算之后都要进⾏规格化，规格化过程包括以下步骤：
(1)⾸先判断尾是否为0，如果为0，规格化结果为4100H；
(2)如果尾数不为0，判断层数的最⾼位是否为1，如果不为1，尾数左移，阶码减1；
(3)再判断层数的最⾼位是否为1，如果不为1，继续进⾏规格化操作，如果为1，则规格化结束。

浮点数运算
浮点数运算包括加、减、乘、除四则运算，⽐较运算，开⽅运算，多项式运算和函数运算。

其它运算都可⽤这些基本运算的组合来完成。

本节主要介绍浮点数四则运算及其⼦程序。

1．浮点数的加、减运算
浮点数的运算就是求结果的尾数、数符、阶码包括阶符的过程。

在加、减运算中，参加运算的浮点数的阶码可能是不同的，其尾数所代表的值也是不同的。

在这种情况下，尾数不能直接相加或相减，必须⾸先使两个数的阶相同，这⼀过程称为对阶。

⼀般是让⼩阶向⼤阶对齐，尾数相应右移。

对阶相当于算术中的⼩数点对齐或代数中的通分。

尾数相加或相减得到了结果的尾数。

数符由尾数的运算结果的符号确定。

阶码就是两个数中较⼤的阶码。

例1计算132.25+69.75
解:
132.25+69.75＝088444H+078B80H＝088444H+0845C0H＝08CA00H＝202
由于两个浮点数的阶码分别为8和7，先将加数的阶码变为8，其尾数右移1位。

两个数的阶码相同后，尾数直接相加即为和的尾数，和的尾数的最⾼位为1，为规格化浮点数。

例2计算12.39-93.1
解:
12.39-93.1＝04C651H-07BA33H＝87A169H＝-80.71
本例中被减数⼩于减数，差为负数，结果的数符为1。

差的阶码为两个数中较⼤的阶码。

2．浮点数乘法运算
如果设参加运算的两个操作数分别表⽰为
Na＝(-1)SSa×Sa×2Pa
Nb＝(-1)SSb ×Sb×2Pb
它们的积为
N＝Na×Nb＝(－1)SSa＋SSb×（Sa×Sb）×2Pa＋Pb
式中SSa和SSb为两个数的数符。

乘法运算可总结为：
(1)积的数符为乘数的符号位和被乘数的符号位按模2求和，即异或；
(2)积的阶为乘数和被乘数的阶的和；
(3)积的尾数为被乘数和乘数的尾数的积。

参加运算的浮点数⼀般都是规格化的浮点数，尾数的积⼩于1，不需进⾏右规格化处理。

但有可能⼩于0.5，所以需进⾏左规格化处理，使积为规格化浮点数。

如果乘数或被乘数的尾为
0、则积为4100H。

由于在尾数相乘时，积的低16位不能反映在结果中，因此，积可能会产⽣⼀定的误差。

例3算22.4l×4.23。

解:
22.41×4.23＝05B349H×03875EH＝07BD9AH＝94.8
积的阶为乘数和被乘数的和，即8。

尾数相乘时，积⼩于0.5，进⾏左规格化处理，阶码变为7。

例4计算2586.5×(－6.91)。

解:
2586.5×(－6.91)＝0CA1BOH×83DD13H＝8F8BA0H＝-17872
被乘数为正数，数符为0，乘数为负数，数符为1，积的数符为0⊕1＝1，积为负数。

3．浮点数的除法运算
除法运算可以表⽰为
N＝Na／Nb＝[(-1)SSa×Sa×2Pa]／[(-1)SSb×Sb×2Pb ]
＝(-1)SSa-SSb×(Sa/Sb) ×2Pa-Pb
浮点数的除法运算可以总结为：
(1)商的数符为被除数与除数的符号位的差；
(2)商的阶码为被除数和除数的阶码的差；
(3)商的尾数为被除数和除数的尾数的商。

规格化的浮点数进⾏除法运算时，尾数相除，商不会⼩于0.5，不需进⾏左规格化处理。

但有可能⼤于1，有时需进⾏右规格化处理。

例5计算
390.67÷14.3l。

解:
390.67÷14.31＝09C357H÷04E511H＝05DA4EH＝27.3
商的阶码为被除数与除数的阶码的差。

尾数相除时，结果的最⾼位为1，商为规格化浮点数。

例6计算-6.02÷16.157。

解:
-6.02÷16.157＝83C0AAH÷058143H＝FFBEC8H＝-0.373
异号相除时，商为负数。

由于被除数的尾数⼤于除数的尾数，所以被除数先进⾏右规格化，阶码变为4，商的阶码为-1，⽤补码来表⽰。

浮点数运算⼦程序
通过前⾯的分析可以看到，浮点运算⽐较复杂，有其特有的⽅法和规律。

这⾥介绍⼏种常⽤的三字节浮点数运算⼦程序，通过分析、设计这些程序，可以进⼀步了解浮点数的运算过程和特点，熟悉复杂程序的设计⽅法。

1．浮点数通⽤规格化⼦程序
在浮点数运算过程中，有时需要左规格化，有时需要右规格化。

通过规格化⼦程序既可实现左规格化，⼜可实现右规格化，其具体功能如下：
当Cy＝0时，进⾏右规格化：
F0＝0时．对R6(阶)R2R3(尾数)右规格化1位；F0＝1时，对R7(阶)R4R5(尾数)右规格化1位。

当Cy＝1时，对R6(阶)R3(尾数)执⾏左规格化。

程序开始时，判断是执⾏左规格化还是右规格化。

如果是右规格化，还要判断是对R6(阶)R2R3(尾数)还是对R7(阶)R4R5(尾
数)进⾏规格化。

如果是左规格化，直⾄把操作数变为规格化浮点数。

其程序框图如图4-13所⽰。

程序为：FSDT:
JC LNORMS
MOV C, 39H ；进⾏右规格化
JB F0, NR7
MOV A, R2；R2R3右移⼀位
RRC A ；(Cy)移⼊尾数最⾼位
MOV R2, A
MOV A, R3
RRC A
MOV R3, A
INC R6；阶码加1
RET
NR7: MOV A, R4
RRC A
MOV R4, A
MOV A, R5
RRC A
MOV R5, A
INC R7
RET
LNORMS:
MOV A, R7
JNZ LSHIFT
CJNE R3, #00H, LSBIT8；尾数为0，阶码41H MOV R6, #41H
LSEND :
RET
LSHIFT:
JB ACC.7, LSEND
LSBIT8: MOV C, F0
MOV A, R3
RLC A
MOV R3, A
MOV A, R2
RLC A
SJMP LNORMS
2．浮点数加减运算⼦程序
参加运算的浮点数可能是正数，也可能是负数。

对于加法运算．当加数和被加数的数符相同时，尾数相加，不同时尾数相减；对于减法运算，当减数和被减数的数符相同时，尾数相减、不同时尾数相加。

当两个浮点数的阶码不同时，要进⾏对阶，使⼩阶与⼤阶相等，因此，结果的阶码与其较⼤的阶码相同。

在执⾏加法运算时，尾数有可能⼤于1，因此要进⾏右规格化处理；执⾏减法运算时，尾数有可能⼩于0.5，因此，要进⾏左规格化处理。

下⾯是三字节浮点数加、减法处理于程序，具体功能为：
R6(阶)R2R3(尾)±R7(阶)R4R5(尾)→R4(阶)R2R3(尾)；
当位3AH＝0时，执⾏加法；
当位3AH＝1时，执⾏减法。

程序框图如图4—14所⽰。

程序如下：
FABP：
MOV A, R6
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C ；存被加数数符
XRL A, R7
JNB ACC.7, FAB1；数符相同则转
CPL 3AH ；数符不等，求反运算标志
图4-14
FAB1: MOV A, R6
MOV C, ACC.6；扩展阶码符号位
MOV ACC.7, C
MOV R6, A
MOV A, R7
CLR C
MOV A, R6
SUBB A, R7
JZ FAB2；阶码相同则转
CLR F0
JB ACC.7, FAB6
CJNE R4, #00H, FAB7
CJNE R5, #00H, FAB7
FAB2: JB 3AH, FAB9；转向尾数减法MOV A, R3；执⾏尾数加法
ADDC A, R4
MOV R2, A
JNC FAB4
SETB 39H
CLR C
FAB3: CLR F0
LCALL FSDT
FAB4: CJNE R2, #00H, FAB5 CJNE R3, #00H, FAB5 MOV R4, #41；结果为0，规格化RET
FAB5: MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C
XCH A, R4
MOV R6, A
RET
FAB6: CJNE R2, #00H, FAB8 CJNE R3, #00H, FAB8 MOV A, R7
MOV R6, A
SJMP FAB2
FAB7: CPL F0
FAB8: CLR C
LCALL FSDT
SJMP FAB1
FAB9: MOV A, R3；尾数相减
CLR C
SUBB A, R5
MOV R3, A
MOV A, R2
SUBB A, R4
MOV R2, A
JNC FAB10
CLR A
CLR C
SUBB A, R3
MOV R3, A
CLR A
SUBB A, R2
MOV R2, A
CPL 38H
FAB10: SETB C
SJMP FAB3
3.浮点数乘法运算⼦程序
浮点数相乘时，阶码直接相加即获得积的阶码，尾数相乘时，结果可能⼩于0.5，需进⾏左规格化处理。

下⾯是三字节浮点数乘法运算⼦程序，具体功能为：
(Ro)指向的三字节浮点数×(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)。

图4-15三字节浮点数乘法的程序框图。

程序为：FMUL:
LCALL FMLD ；传送浮点数
MOV A, R6；求积的数符
XRL A, R7
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
LCALL DMUL ；调⽤双字节⽆符号数乘法⼦程序MOV A, R7
MOV C, ACC.7
MOV F0, C
MOV A, @R0
ADD A, @R1
MOV R6, A
SETB C
LCALL FSDT ；进⾏规格化操作
图4-15三字节浮点数乘法⼦程序
MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C ；置积的数符
MOV R4, A
RET
注：
(1)FMLD为浮点数取数⼦程序，功能为：
将(R0)指向的三字节浮点数送⼊R6(阶)R2R3(尾数)中，将(R1)指向的三字节浮点数送⼊R7(阶)R4R5(尾数)中。

(2)DMUL为双字节⽆符号数乘法⼦程序。

4．浮点数除法运算⼦程序
在进⾏除法运算时，被除数的尾数可能⽐除数的尾数⼤很多，使结果⼤于1。

为避免这种情况，如果被除数尾数⼤于除数的尾数，先将被除数的尾数右移，使其⼩于除数的尾数。

阶码也相应增加，保持其数值不变。

下⾯是三字节浮点数除法运算程序，其功能为：
（R0）指向的三字节浮点数除以(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)中。

程序框图如图4-16所⽰。

程序为：
FDIV:
LCALL FMLD
MOV A, R6
XRL A, R7；求商的数符
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
CLR A
MOV R6, A
MOV R7, A
CJNE R4, #00H, FDIV1
CJNE R5, #00H, FDIV1
SETB C
RET ；除数为0返回FDIV1: MOV A, R3；⽐较被除数与
SUBB A, R5；除数的尾数
MOV A, R2
SUBB A, R4
JC FDIV2
CLR F0
CLR 39H
LCALL FDST
RRC A
MOV R7, A
CLR C
SJMP FDIV1
FDIV2: CLR A
XCH A, R6
PUSH ACC
LCALL DDIV ；调⽤双字节除法程序POP ACC
ADD A, @R0
CLR C SUBB A, @R1
MOV C, 38H MOV ACC.7, C MOV R4, A CLR C RET。