2019年秋江西省九年级上册数学期中考试《二次函数》试题分类——解答题(2)

2019年秋江西省九年级上册数学期中考试《二次函数》试题分
类——解答题（2）
1．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程2680x x -+=的两个根是2和4，则方程2680x x -+=就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程230x x c -+=是“倍根方程”，则c = ； （2）若(2)()0(0)x mx n m --=≠是“倍根方程”，求代数式
22
2mn
m n +的值；
（3）若方程20(0)ax bx c a ++=≠是倍根方程，且不同的两点(1,5)M k +，
(3,5)N k -都在抛物线2y ax bx c =++上，求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根．
2．已知抛物线2(2)1y a x =-+经过点(1,3)P - （1）求a 的值；
（2）若点1(,)A m y 、(B n ，2)(2)y m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小． 3．如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面水位AB 宽20米时，此时水面距桥面4米，当水面宽度为10米时就达到警戒线CD ，若洪水到来时水位以每小时0.2米的速度上升，问从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O 的）
4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且2OF =，3EF =．
（1）求抛物线所对应的函数解析式．
（2）若点P 为抛物线对称轴上的一个动点，求PAC ∆周长的最小值；
（3）将AOC ∆绕点C 逆时针旋转90︒，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．
5．若一次函数(1)y a x a =++的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-有最大值还是最小值，并求出其最值．
6．已知抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 两点． （1）请求出抛物线的解析式；
（2）当04x <<时，请直接写出y 的取值范围．
7．在平面直角坐标中，规定：抛物线2()y a x h k =-+的伴随直线为
()y a x h k =-+．
例如：抛物线22(3)1y x =+-的伴随直线为2(3)1y x =+-，即25y x =+． （1）根据上面的规定，抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标为 ；伴随直线为 ；抛物线2(1)4y x =+-与其伴随直线的交点坐标为 ．
（2）抛物线2(1)4y m x m =--（其中0)m <与其伴随直线相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． ①如果90CAB ∠=︒，求m 的值；
②如果点P 是直线AC 上方抛物线的一个动点，APC ∆的面积记为S ，当S 取得最大值
27
4
时，求m 的值． 8．抛物线的顶点坐标为(1,3)-，且与y 轴的交点为(0,2)，求此抛物线的解析式． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x mx n =++经过点(3,0)A 、(0,3)B -，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．
（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求ABM ∆的面积． （3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线2y x =与直线2y x =在第一象限内有一交点A ． （1）你能求出点A 的坐标吗？
（2）在x 轴上是否存在一点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，y 与轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．已知(1,0)A -，(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使PCD ∆是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．
12．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润． 13．已知抛物线22122
y x x a =--+-
． （1）确定此抛物线的顶点在第几象限；
（2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标．
14．已知抛物线的方程为223
2(0)4y x mx m m =++>与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，120)()
x x <两点，与y 轴交于点，A 、B 两点到原点O 的距离分别为OA 、OB ，且1143
OA OB +=， （1）求m 的值；
（2）设P 是抛物线上的动点，且P 点在直线AC 的下方，求PAC ∆面积S 的最大值； （3）点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，以相同的速度分别沿AB 、OC 向点B 、点C 运动，连接PQ 与BC 交于点M ，设AP k =，问是否存在k ，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求的所有可能值；若不存在，说明理由．
15．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看
成一点）的路线是抛物线23
315y x x =-++的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
16．已知函数214
:(3)43
C y kx k x =+--
（1）求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；
（2）当0k ≠时，(3,7)A n n --、(1,7)B n n -+-是抛物线上的两个不同点： ①求抛物线的表达式； ②求n 的值．
17．已知抛物线2(3)2y a x =-+经过点(1,2)-． （1）求a 的值．
（2）若点1(,)A m y ，(n ，2)(3)y m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小．
18．已知抛物线242y x x a =-+-的最小值为 0 ，求a 的值 ．
19．如图，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ． （1）对于任意实数m ，点(,2)M m -是否在该抛物线上？请说明理由； （2）求证：ABC ∆是等腰直角三角形；
（3）若点D 在x 轴上，则在抛物线上是否存在点P ，使得//PD BC ，且PD BC =？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180︒，求所得抛物线的解析式？
21．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作BC 的垂线，垂足为F ，点
D 、
E 的坐标分别为(0,6)，(4,0)-，连接PD 、PE 、DE ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置时发现；当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出PDE ∆的周长最小时点P 的坐标；
（4）若将“使PDE ∆的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
22．已知抛物线2:(2)2(L y m x x m m =-+-是常数且2)m ≠ （1）若抛物线L 经过原点，求m 的值； （2）若抛物线L 有最低点，求m 的取值范围；
（3）若抛物线L 与抛物线2y x =的性状相同，开口方向相反，求m 的值． 23．已知抛物线23(y ax bx a =++，b 是常数）的对称轴是直线1x = （1）求证：20a b +=；
（2）若关于x 的一元二次方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根． 24．如图，点A 、点E 的坐标分别为(0,3)与(1,2)，以点A 为顶点的抛物线记为
211:C y x n =-+；以E 为顶点的抛物线记为222:C y ax bx c =++，且抛物线2C 与y 轴交于点5(0,)2
P ．
（1）分别求出抛物线1C 和2C 的解析式，并判断抛物线1C 会经过点E 吗？
（2）若抛物线1C 和2C 中的y 都随x 的增大而减小，请直接写出此时x 的取值范围； （3）在（2）的x 的取值范围内，设新的函数312y y y =-，求出函数3y 与x 的函数关系式；问当x 为何值时，函数3y 有最大值，求出这个最大值．
25．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x 的两个二次函数1y ，2y ，且21()4(0)y a x m m =-+>，1y ，2y 的“生成函数”为：2414y x x =++；当x m =时，215y =；二次函数2y 的图象的顶点坐标为
(2,)k ．
（1）求m 的值；
（2）求二次函数1y ，2y 的解析式．
26．如图，抛物线223y x x =--+ 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求AEM ∆的面积．
2019年秋江西省九年级上册数学期中考试《二次函数》试题分
类——解答题（2）
1．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程2680x x -+=的两个根是2和4，则方程2680x x -+=就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程230x x c -+=是“倍根方程”，则c = 2 ； （2）若(2)()0(0)x mx n m --=≠是“倍根方程”，求代数式
22
2mn
m n +的值；
（3）若方程20(0)ax bx c a ++=≠是倍根方程，且不同的两点(1,5)M k +，
(3,5)N k -都在抛物线2y ax bx c =++上，求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根．
【解答】解：（1）设一元二次方程230x x c -+=的根是a ，2a ， 则23a a +=，得1a =，则22a =，
121
c
∴⨯=
，得2c =， 故答案为：2；
（2）(2)()0(0)x mx n m --=≠是“倍根方程”，
2x ∴=或n
x m
=
， ∴
1n m =或4n
m =， 当1n
m
=时， 222
222211111()n
mn m n m n m
⨯===+++； 当4n
m
=时，
222
22224814171()n
mn m n m n m
⨯===+++； （3）不同的两点(1,5)M k +，(3,5)N k -都在抛物线2y ax bx c =++上，
∴该抛物线的对称轴是直线(1)(3)
22
k k x ++-=
=，
设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为1(x ，0)，2(x ，0)， 方程20(0)ax bx c a ++=≠是倍根方程，
∴方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为1x ，2x ，
124x x ∴+=，
假设122x x =， 则234x =，得243x =
，则183
x =， 即一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根是
43
或8
3． 2．已知抛物线2(2)1y a x =-+经过点(1,3)P - （1）求a 的值；
（2）若点1(,)A m y 、(B n ，2)(2)y m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小． 【解答】解：（1）抛物线过点(1,3)P -， 31a ∴-=+，解得4a =-．
（2）当4a =-时，抛物线的解析式为24(2)1y x =--+． ∴抛物线的开口向下，对称轴为2x =， ∴当2x 时，y 随x 的增大而增大，
2m n <<，
12y y ∴<．
3．如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面水位AB 宽20米时，此时水面距桥面4米，当水面宽度为10米时就达到警戒线CD ，若洪水到来时水位以每小时0.2米的速度上升，问从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O 的）
【解答】解：设所求抛物线的解析式为：2y ax =． 把(10,4)-代入2y ax =中，得1004a =- 0.04a =-，
20.04y x ∴=-，
当5x =时，20.0451D y =-⨯=-， ∴
||
50.2
D y h =， 答：再持续5小时才能到拱桥顶．
4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且2OF =，3EF =．
（1）求抛物线所对应的函数解析式．
（2）若点P 为抛物线对称轴上的一个动点，求PAC ∆周长的最小值；
（3）将AOC ∆绕点C 逆时针旋转90︒，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．
【解答】解：（1）四边形OCEF 为矩形，2OF =，3EF =， ∴点C 的坐标为(0,3)，点E 的坐标为(2,3)．
把0x =，3y =；2x =，3y =分别代入2y x bx c =-++中，
得3342c b c =⎧⎨=-++⎩
， 解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线所对应的函数解析式为223y x x =-++；
（2）由（1）知，抛物线所对应的函数解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，则对称轴直线是1x =，
连接BC 交直线1x =于点P ，此时PAC ∆的周长最小，如图所示．
当0x =时，2433y x x =-+=，
∴点C 的坐标为(0,3)．
又223(3)(1)y x x x x =-++=--+，
(1,0)A ∴-，(3,0)B ， 22(10)(03)10AC ∴=--+-=，32BC =，
PAC ∴∆周长1032AC PC PA AC PC PB AC BC =++=++=+=+；
（3）点G 不在该抛物线上．理由如下：
AOC ∆绕点C 逆时针旋转90︒，CO 落在CE 所在的直线上，由（2）可知1OA =， ∴点A 对应点G 的坐标为(3,2)，
当3x =时，2323302y =-+⨯+=≠，所以点G 不在该抛物线上．
5．若一次函数(1)y a x a =++的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-有最大值还是最小值，并求出其最值．
【解答】解：一次函数(1)y a x a =++的图象过第一、三、四象限，
10a ∴+>且0a <，
10a ∴-<<，
22221111()()()4424
y ax ax a x x a x x a x a =-=-=-+
-=--， 而0a <， ∴二次函数有最大值，最大值为14
a -． 6．已知抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 两点．
（1）请求出抛物线的解析式；
（2）当04x <<时，请直接写出y 的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线解析式为(1)(3)y x x =+-，
即223y x x =--；
（2）2(1)4y x =--，抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,4)-，
当4x =时，2(41)45y =--=，
所以当04x <<时，y 的取值范围为45y -<．
7．在平面直角坐标中，规定：抛物线2()y a x h k =-+的伴随直线为
()y a x h k =-+．
例如：抛物线22(3)1y x =+-的伴随直线为2(3)1y x =+-，即25y x =+．
（1）根据上面的规定，抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标为 (1,4)-- ；伴随直线为 ；抛物线2(1)4y x =+-与其伴随直线的交点坐标为 ．
（2）抛物线2(1)4y m x m =--（其中0)m <与其伴随直线相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧）．
①如果90CAB ∠=︒，求m 的值；
②如果点P 是直线AC 上方抛物线的一个动点，APC ∆的面积记为S ，当S 取得最大值274
时，求m 的值． 【解答】解：（1）抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标为(1,4)--，伴随直线为
(1)4y x =+-，即3y x =-，
联立2(1)43
y x y x ⎧=+-⎨=-⎩，
解得：11
14x y =-⎧⎨=-⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线2(1)4y x =+-与其伴随直线的交点坐标为(1,4)--和(0,3)-． 故答案为：(1,4)--；3y x =-；(1,4)--和(0,3)-．
（2）当0y =时，有2(1)40m x m --=，
解得：11x =-，23x =，
∴点C 的坐标为(1,0)-，点D 的坐标为(3,0)．
抛物线2(1)4y m x m =--的伴随直线为(1)4y m x m =--，即5y mx m =-，
联立2(1)45y m x m y mx m
⎧=--⎨=-⎩，
解得：1114x y m =⎧⎨=-⎩，22
23x y m =⎧⎨=-⎩， ∴点A 的坐标为(1,4)m -，点B 的坐标为(2,3)m -．
①(1,4)A m -，(2,3)B m -，(1,0)C -，
2222(21)[3(4)]1AB m m m ∴=-+---=+，2222(11)[0(4)]416AC m m =--+--=+，2222(12)[0(3)]99BC m m =--+--=+．
90CAB ∠=︒，
222BC AC AB ∴=+，即222991416m m m +=+++，
解得：12m =-
，22
m =（不合题意，舍去）， m ∴
的值为．
②过点P 作//PE y 轴，交直线AC 于点E ，如图所示．
设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，
将点(1,4)A m -、(1,0)C -代入y kx b =+，得：
40k b m k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得：22k m b m =-⎧⎨=-⎩
， ∴直线AC 的解析式为22y mx m =--．
设点P 的坐标为(x ，2(1)4)m x m --，则点E 的坐标为(,22)x mx m --， 22(1)4(22)PE m x m mx m mx m ∴=-----=-，
21[1(1)]2
S PE mx m ∴=--=-． 0m <，S 的最大值为274
， 274
m ∴-=， 274
m ∴=-．
8．抛物线的顶点坐标为(1,3)-，且与y 轴的交点为(0,2)，求此抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为2(1)3y a x =++，
把(0,2)A 代入得2(01)32a ++=，
解得1a =-，
所以抛物线解析式为2(1)3y x =-++．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x mx n =++经过点(3,0)A 、(0,3)B -，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．
（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．
（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求ABM ∆的面积．
（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把(3A ，0)(0B ，3)-代入2y x mx n =++，得
9303m n n ++=⎧⎨=-⎩
， 解得：23m n =-⎧⎨=-⎩
， 所以抛物线的解析式是223y x x =--．
设直线AB 的解析式是y kx b =+，
把(3A ，0)(0B ，3)-代入y kx b =+，得：303k b b +=⎧⎨=-⎩
， 解得：13k b =⎧⎨=-⎩
， 所以直线AB 的解析式是3y x =-；
（2）设点P 的坐标是(,3)t t -，则2(,23)M t t t --， p 在第四象限，
22239(3)(23)3()24
PM t t t t t t ∴=----=-+=--+， 当32t =时，二次函数取得最大值94，即PM 最长值为94
， 则19273248
ABM BPM APM S S S ∆∆∆=+=⨯⨯=．
（3）存在，
理由如下：
//PM OB ，
∴当PM OB =时，点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，
①当P 在第四象限：3PM OB ==，PM 最长时只有94，所以不可能有3PM =． ②当P 在第一象限：3PM OB ==，2(23)(3)3t t t ----=，
解得1321t +=，2321t -=（舍去）， 所以P 点的横坐标是321+； ③当P 在第三象限：3PM OB ==，233t t -=，解得1321t +=
（舍去），2321t -=， 所以P 点的横坐标是
3212-． 所以P 点的横坐标是321-或321+． 10．如图，抛物线2y x =与直线2y x =在第一象限内有一交点A ．
（1）你能求出点A 的坐标吗？
（2）在x 轴上是否存在一点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解方程组
2
2
y x
y x
⎧=
⎨
=
⎩
得
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以A点坐标为(2,4)；
（2）①当AP AO
=时，作AB x
⊥轴于B点，如图1，当PB OB
=时，AOP
∆是以OP为底的等腰三角形，
而(2,4)
A，
所以P点坐标为(4,0)．
②当OA OP
=时，(2,4)
A，
22
2425
OA
∴=+=，
则(25
P±，0)；
③当AP OP
=时，如图2，过点P作PQ AO
⊥于点Q．设(,0)
P t．
则(1,2)
Q．
故11
4
22
OA PQ OP
=⨯，即22
11
25(1)24
22
t t
⨯⨯-+=⨯，
解得5
t=，
即(5,0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标是(4,0)或(25，0)或(25
-，0)或(5,0)．
11．如图，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于A ，B 两点，y 与轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．已知(1,0)A -，(0,3)C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使PCD ∆是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．
【解答】解：（1）将A 、C 点坐标代入函数解析式，得
103m n n --+=⎧⎨=⎩
， 解得23m n =⎧⎨=⎩
抛物线的解析式223y x x =-++，
（2）如图：
由勾股定理，10CD =，
10CD PD ==，
1(1,10)P ，2(1,10)P -，
PC PD =时，设(1,)P b ，
22
1(3)b b +-=，
解得6b =
3(1,6)P ， 综上所述：1(1,10)P ，2(1,10)P -，3(1,6)P ； （3）当0y =时，11x =-，23x =，即(3,0)B ，(0,3)C ．
BC 的解析式为3y x =-+，设E 点横坐标为t ，3y t =-+，即(,3)E t t -+，2(,23)F t t t -++
22(23)(3)3EF t t t t t =-++--+=-+，
1123322
CDB S BD OC ∆==⨯⨯=， 211339(3)22222
CBF CEF BEF S S S EF t EF t EF t t ∆∆∆=+=+-==-+，
2
23933513()22228
CDB CBF CDBF S S S t t ∆∆=+=-++=--+四边形， 当32t =时，518CDBF S =四边形最大， 33322
y =-+= 3(2E ，3)2
． 12．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
【解答】解：（1）由题意得，销售量25010(25)10500x x =--=-+，
则(20)(10500)w x x =--+
21070010000x x =-+-；
（2）22107001000010(35)2250w x x x =-+-=--+．
100-<，
∴函数图象开口向下，w 有最大值，
当35x =时，2250max w =，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）2030x <，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，
故当30x =时，w 有最大值，此时2000w =．
13．已知抛物线22122
y x x a =--+-． （1）确定此抛物线的顶点在第几象限；
（2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）2222221112(2)(1)222
y x x a x x a x a =--+-=-++-=-+++
∴抛物线的顶点坐标为21
(1,)2a -+，在第二象限；
（2）抛物线经过原点，所以21
02
a -
=，所以a =， 21
12
a ∴+
=， ∴顶点坐标为(1,1)-．
14．已知抛物线的方程为223
2(0)4y x mx m m =++>与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，120)()
x x <两点，与y 轴交于点，A 、B 两点到原点O 的距离分别为OA 、OB ，且1143
OA OB +=， （1）求m 的值；
（2）设P 是抛物线上的动点，且P 点在直线AC 的下方，求PAC ∆面积S 的最大值； （3）点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，以相同的速度分别沿AB 、OC 向点B 、点C 运动，连接PQ 与BC 交于点M ，设AP k =，问是否存在k ，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求的所有可能值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当0y =时，223
204x mx m ++=
整理，得224830x mx m ++=，
解得，132x m =-，21
2x m =-
所以3(2A m -，0)，1
(2B m -，0)
所以32OA m =，1
2OB m =
又因为1143
OA OB +=， 所以
1143322
m m +=，即22433m m +=， 解得：2m =
（2）由（1）知，2m =，所以抛物线的解析式为：2430y x x =++=， 所以点(3,0)A -，点(1,0)B -，点(0,3)C 所以直线AC 的解析式为：3y x =+
平行于直线AC 且在下方的直线l 与抛物线仅有一个交点时，l 与直线AC 的距离最长，此时ABC ∆的面积最大．
设直线l 的解析式为：y x n =+
当直线与抛物线仅有一个交点时，243x x x n ++=+，整理，得2330x x n ++-=， △94(3)34n n =--=-+ 当△0=时，34
n = 即当34n =
时，直线l 的解析式为：34l x =+，该直线与y 轴的交点坐标为3(0,)4
E 过点C 作C
F l ⊥，垂足为F ．
因为//EF AC ，45CAO ∠=︒，所以45CEF ∠=︒，AC =在等腰直角三角形CEF 中
因为39344EC =-=，所以CF =，
所以1127
228
APC S AC CF ∆=
=⨯=
； （3）存在．
当//PQ AC 时，ABC PBM ∆∆∽ 此时QO PO = 即3k k -=，解得3
2
k =
， 当ACB MPB ∠=∠时，由于CBA MBP ∠=∠， 所以ABC PBM ∆∆∽
过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，则GBC QOP ∆∆∽
在等腰直角三角形AGB 中，因为2BA =，所以BG
BC =
若AP k =，则0OP k =-，OQ k =，
所以QP
所以
BG OQ
BC PQ ==
整理，得2230k k +-=
解得，11k =，23k =-（不合题意舍去） 即当1k =，3
2
k =
时，ABC PBM ∆∆∽
15．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看
成一点）的路线是抛物线23
315y x x =-++的一部分，如图
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【解答】解：（1）将二次函数23315y x x =-++化成23519
()524y x =--+，
当52x =
时，y 有最大值，19
4
y =最大值， 因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
（2）能成功表演．理由是：
当4x =时，23
4341 3.45y =-⨯+⨯+=．
即点(4,3.4)B 在抛物线23
315y x x =-++上，
因此，能表演成功．
16．已知函数214
:(3)43
C y kx k x =+--
（1）求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；
（2）当0k ≠时，(3,7)A n n --、(1,7)B n n -+-是抛物线上的两个不同点： ①求抛物线的表达式； ②求n 的值．
【解答】（1）证明：①当0k =时，函数为一次函数，即4
43
y x =-，与x 轴交于点(3,0)； ②当0k ≠时，函数为二次函数，
△2244
(3)4(4)(3)033k k k =--⨯-=+，即△0，
∴与x 轴有一个或两个交点；
综上可知，无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；
（2）①当0k ≠时，函数214
:(3)43
C y kx k x =+--为二次函数，
(3,7)n n --、(1,7)n n -+-是抛物线上的两个不同点，
∴抛物线的对称轴为直线31
12
n n x --+=
=-， 43312k k
-∴-=-， 解得415
k =
， ∴抛物线的表达式为248
41515
y x x =
+-；
②(3,7)n n --是抛物线248
41515
y x x =
+-上的点， 248
7(3)(3)41515n n n ∴-=-+--， 解得119
4
n =
，23n =． 17．已知抛物线2(3)2y a x =-+经过点(1,2)-． （1）求a 的值．
（2）若点1(,)A m y ，(n ，2)(3)y m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小． 【解答】解：（1）抛物线2(3)2y a x =-+经过点(1,2)-，
22(13)2a ∴-=-+，
1a ∴=-；
（2）
2(3)2y x =--+，
∴此函数的图象开口向下，当3x <时，y 随x 的增大而增大，当3x >时，y 随x 的增大而
减小，
点1(,)A m y ，(n ，2)(3)y m n <<都在该抛物线上， 12y y ∴<．
18．已知抛物线242y x x a =-+-的最小值为 0 ，求a 的值 ． 【解答】解：242y x x a =-+-
24442x x a =-+-+- 2(2)6x a =-+-，
由题意得，60a -=， 解得，6a =．
19．如图，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为C ． （1）对于任意实数m ，点(,2)M m -是否在该抛物线上？请说明理由； （2）求证：ABC ∆是等腰直角三角形；
（3）若点D 在x 轴上，则在抛物线上是否存在点P ，使得//PD BC ，且PD BC =？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）假如点(,2)M m -在该抛物线上，
2243m m ∴-=-+， 2450m m ∴-+=，
∴△2(4)41540=--⨯⨯=-<， ∴此方程无实数解，
∴点(,2)M m -不会在该抛物线上；
（2）过点C 作CH x ⊥轴，交x 轴与点H ，连接CA 、CB ，
如图，当0y =时，2430x x -+=，11x =，23x =，由于点A 在点B 左侧，
(1,0)A ∴，(3,0)B
1OA ∴=，3OB =，
2AB ∴=
243y x x =-+ 2(2)1y x ∴=--，
(2,1)C ∴-，
1AH BH CH ∴===
在Rt AHC ∆和Rt BHC ∆中，由勾股定理得，
AC BC =
222AC BC AB ∴+=，
ABC ∴∆是等腰直角三角形；
（3）存在这样的点P ． //PD BC ，且PD BC =， ∴四边形PDCB 是平行四边形，
∴根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P 与点C 的线段应被x 轴平分， ∴点P 的纵坐标是1，
点P 在抛物线243y x x =-+上，
∴当1y =时，即2431x x -+=，解得12x =-22x =+
∴点P 的坐标是(2-1)或(2+1)
20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180︒，求所得抛物线的解析式？
【解答】解：223y x x =---，
2(21)13x x =-+++-， 2(1)2x =-+-，
所以，抛物线的顶点坐标为(1,2)--， 向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2,2)-，
再绕原点O 旋转180︒，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(2,2)-， ∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．
21．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作BC 的垂线，垂足为F ，点
D 、
E 的坐标分别为(0,6)，(4,0)-，连接PD 、PE 、DE ．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置时发现；当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请求出PDE ∆的周长最小时点P 的坐标；
（4）若将“使PDE ∆的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数．
【解答】解：（1）边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，
(0,8)C ∴，(8,0)A -，
设抛物线解析式为：2y ax c =+，则8640
c a c =⎧⎨+=⎩，
解得：188
a c ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩
故抛物线的解析式为：21
88y x =-+；
（2）正确，
理由：设21
(,8)8
P a a -+，则(,8)F a ，
(0,6)D ，
222222111
(2)(2)2888
PD a a a a ∴=+-=+=+．
2211
8(8)88
PF a a =--+=，
2PD PF ∴-=；
（3）在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，PDE ∆的周长最小，
2PD PF -=，2PD PF ∴=+， 2PE PD PE PF ∴+=++，
∴当P 、E 、F 三点共线时，PE PF +最小，
此时点P ，E 的横坐标都为4-，
将4x =-代入21
88
y x =-+，得6y =，
(4,6)P ∴-，此时PDE ∆的周长最小．
（4）由（2）得：21
(,8)8P a a -+，
点D 、E 的坐标分别为(0,6)，(4,0)-，
①当40a -<时，
22211111
(4)(8)[(86)46]34282824PDE a S a a a a a ∆=-+-+---+-+⨯⨯=--+；
412PDE S ∆∴<，
②当0a =时，4PDE S ∆=， ③
84
a -<<-时，
222111111
(86)()46(4)(8)34822824PDE S a a a a a a ∆=-++⨯-⨯-⨯⨯---⨯-+⨯=--+，
1213PDE S ∆∴，
④当8a =-时，12PDE S ∆=，
PDE ∴∆的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，即存在11个好点．
22．已知抛物线2:(2)2(L y m x x m m =-+-是常数且2)m ≠ （1）若抛物线L 经过原点，求m 的值； （2）若抛物线L 有最低点，求m 的取值范围；
（3）若抛物线L 与抛物线2y x =的性状相同，开口方向相反，求m 的值． 【解答】解：（1）抛物线L 经过原点， 20m ∴-=， 0m ∴=；
（2）抛物线L 有最低点， 20m ∴->， 2m ∴>；
（3）抛物线L 与抛物线2y x =的性状相同，开口方向相反， 21m ∴-=-，
1m ∴=．
23．已知抛物线23(y ax bx a =++，b 是常数）的对称轴是直线1x = （1）求证：20a b +=；
（2）若关于x 的一元二次方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根． 【解答】解：
（1）证明：对称轴是直线12b x a
==-， 20a b ∴+=；
（2）解：280ax bx +-=的一个根为4， 16480a b ∴+-=， 20a b +=， 2b a ∴=-， 16880a a ∴--=，
解得：1a =，则2b =-，
280ax bx ∴+-=为：2280x x --=，
则(4)(2)0x x -+=， 解得：14x =，22x =-， 故方程的另一个根为：2-．
24．如图，点A 、点E 的坐标分别为(0,3)与(1,2)，以点A 为顶点的抛物线记为
211:C y x n =-+；以E 为顶点的抛物线记为222:C y ax bx c =++，且抛物线2C 与y 轴交于点5
(0,)2
P ．
（1）分别求出抛物线1C 和2C 的解析式，并判断抛物线1C 会经过点E 吗？
（2）若抛物线1C 和2C 中的y 都随x 的增大而减小，请直接写出此时x 的取值范围； （3）在（2）的x 的取值范围内，设新的函数312y y y =-，求出函数3y 与x 的函数关系式；问当x 为何值时，函数3y 有最大值，求出这个最大值．
【解答】解：（1）根据题意将点(0,3)A 代入21y x n =-+，得：3n =，
213y x ∴=-+；
抛物线2C 的顶点坐标为(1,2)，
∴设抛物线2C 的解析式为2(1)2y a x =-+， 将点5(0,)2
P 代入，得：522a +=， 解得：12
a =， ∴抛物线2C 的解析式为222115(1)2222
y x x x =-+=-+， 当1x =时，21132y =-+=，
∴抛物线1C 经过点E ；
（2）在213y x =-+，当0x >时，y 随x 的增大而减小， 在221(1)22
y x =-+中，当1x <时，y 随x 的增大而减小， ∴当01x <<时，抛物线1C 和2C 中的y 都随x 的增大而减小；
（3）222231215313123()()2222233
y y y x x x x x x =-=-+--+=-++=--+， 01x <<，
∴当13x =时，函数3y 有最大值，最大值为23
． 25．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x 的两个二次函数1y ，2y ，且21()4(0)y a x m m =-+>，1y ，2y 的“生
成函数”为：2414y x x =++；当x m =时，215y =；二次函数2y 的图象的顶点坐标为(2,)k ．
（1）求m 的值；
（2）求二次函数1y ，2y 的解析式．
【解答】解：（1）21()4(0)y a x m m =-+>，1y ，2y 的“生成函数”为：2414y x x =++；
22222414()4()410y x x a x m x a x m x ∴=++---=--++，
当x m =时，215y =，
2215()410m a m m m ∴=--++，
解得：11m =，25m =-（不合题意舍去）；
（2）由（1）得：2222(1)410(1)(24)10y x a x x a x a x a =--++=-++-+， 二次函数2y 的图象的顶点坐标为(2,)k ．
2422(1)
a a +∴-=-， 解得：4a =，
214(1)4y x ∴=-+，223126y x x =-++．
26．如图，抛物线223y x x =--+ 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．
（1）求A 、B 、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求AEM ∆的面积．
【解答】解：（1）由抛物线223y x x =--+可知，(0,3)C ，
令0y =，则2023x x =--+，解得3x =-或1x =，
(3,0)A ∴-，(1,0)B ．
（2）由抛物线223y x x =--+可知，对称轴为1x =-，
设M 点的横坐标为m ，则223PM m m =--+，(1)222MN m m =--⨯=--， ∴矩形PMNQ 的周长2222()(2322)22822(2)10PM MN m m m m m m =+=--+--⨯=--+=-++， ∴当2m =-时矩形的周长最大．
(3,0)A -，(0,3)C ，设直线AC 解析式为y kx b =+，
则30
3k b b -+=⎧⎨=⎩
解得：1
3k b =⎧⎨=⎩，
∴解析式3y x =+，当2x =-时，则(2,1)E -，
1EM ∴=，1AM =，
1122S AM EM ∴==．。