高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》

数学归纳法（1）
苏州市第三中学 夏正华
教学目标：
1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．
2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．
教学重点：
掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．
教学难点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
活动一：情境引入,给出定义和操作步骤
一、情景引入：
老师：前面我们用归纳法得到许多结论，如等差数列{n a }的通项公式1(1)n a a n d =+-；自然数平方和公式2222(1)(21)1236
n n n n ++++++=这些命题都与自然数有关，自然数有无限个，我们无法对所有的自然数逐一验证，那么
问题：能否依据归纳法的特征来证明这些与自然数有关的命题呢？
我们今天一起来研究这个内容
老师：大家用归纳法来求一个数列的通项公式
问题：已知数列{n a }，1a ＝1，且11n n n
a a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…），计算2a ，3a ,4a ，猜想n a 学生：212a =，313a =，414a =，1n a n
= 老师：我们用3次计算猜出了通项公式，后面的没有验证怎么能够保证通项公式一定正确呢？这里用了不完全归纳，由有限项归纳出无限项，这未必可靠，如何解决这个问题呢？我们不能用前面学习过的完全归纳法来解决，我们生命是有限的。

问题：能否寻找到一种方法，通过有限步骤的推理，替代无限的逐个验证呢？
老师：我们一起来回顾找到通项公式的过程
12a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭
23a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭34a a ⎛⎫ ⎪⇓ ⎪ ⎪⎝⎭
… 老师：不想一直写下去。

观察推理结构特征，能否得出一般的推理形式呢？
学生：若能由1k a k =推出111
k a k +=+即可 老师：这样就解决了无穷的问题
老师：大家说对吗？很多学生有疑惑，没关系。

刚才从数的角度理解有困难，找形来帮忙把。

游戏：播放多米诺骨牌视频
播放视频：多米诺骨牌（正常）
问题：同学们眼神都很惊诧，你在惊诧什么呢？
学生：第一块骨牌倒下后，其它的都倒下了。

老师：要使得骨牌全部倒下去需要具备哪些条件呢？大家可以讨论一下
播放视频：多米诺骨牌（第一块没倒）
播放视频：多米诺骨牌（中间断开）
学生：首先第一块骨牌倒下，然后每一块骨牌倒下去之后带动下一块骨牌也倒下去。

老师：非常透彻
老师：总结一下分2步完成。

第一步，第一块骨牌倒下；第二步，保证某一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌。

问题：如何用用数学语言描述某一块及其后一块呢？
学生：第块倒下击倒第1块
老师：第一块倒下依据第二步可以保证第二块倒下，第二块倒下可以保证第三块倒下，如此下
去可以保证所有骨牌全部倒下。

老师：第一步第一块倒下保证了骨牌倒下去的可能性，第二步保证了骨牌倒下去的传递性，二者缺一不可，完成了这二个条件后就保证了骨牌全部倒下。

这就是多米诺骨牌蕴含原理。

老师：能否从中获得启发解决前面的问题呢？用有限步推理代替无限步的验证呢？
学生：骨牌相当于正整数n,骨牌倒下相当于命题成立。

要证明命题成立，可以类比完成骨牌倒下去的2步。

老师：这里用到了类比的方法。

如何类比呢？ 学生：要证明1n a n
=对于一切正整数都成立相当于保证所有骨牌都倒下 学生：第一块骨牌倒下相当于验证n=1猜想是成立的，即证左边=1，右边=1
学生：第块骨牌倒下保证击倒第1块骨牌相当于若n=时1k a k =，则当n=1时111
k a k +=+ 老师：假设当n=猜想成立要能够推出当n=1时猜想也成立，这是命题，条件是1k a k =
，结论是111
k a k +=+。

如何解决这个命题呢？ 学生：条件是1k a k =，则11
11111k k k a k a a k k
+＝＝＝＋＋＋ 老师：保证上述2步就证明了对所有正整数1n a n
=，解决了用2步推理代替无限步的验证。

老师：刚才的证明方法可以用到一开始引入的两个结论的证明吗？
学生：可以
老师：我们把这个方法叫数学归纳法。

请一位同学提炼一下何为数学归纳法？
学生：证明正整数有关的命题可以分2步（1）当n =1时命题成立．
（2）假设n ＝≥n 0，∈N *时命题成立，证明当n ＝＋1时命题也成立．
最后得结论
老师：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立．
（2）（归纳递推）假设n ＝≥n 0，∈N *时命题成立，证明当n ＝＋1时命题也成立．
那么，命题对从n 0开始的所有正整数都成立．
老师：这两个步骤缺一不可，单靠步骤（1），无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．
老师：介绍了一个新的方法大家想不想试试是否好用呢？我们来解决一下刚开始的一个公式。

活动二：课堂训练
二、课堂训练
例1 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋n －1d ．
例2 辨析以下数学归纳法证明过程中的谬误
（1）设*n N ∈，求证：224621n n n ++++=++…
证明：假设当n k =时等式成立，即
224621k k k ++++=++… 那么，当1n k =+时，有24622(1)k k ++++++…
212(1)k k k =++++2(1)(1)1k k =++++
因此，对于任何*n N ∈等式都成立
（2）设*n N ∈，求证：2
135(21)n n ++++-=… 证明：①当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立
②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=…
那么，当1n k
=+时，有]()()21(21)1135(21)12k k k k ⎡+++⎣+++++==+… 这就是说，当1n k =+时等式成立
根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立
活动三：数学归纳法历史介绍
三、数学归纳法历史介绍
活动四：回顾小结
四、回顾小结：
1两个步骤、一个结论缺一不可:
第1步是命题论证的基础，称为___________；
第2步是___________，是推理的依据，是判断命题的
正确性能否由特殊推广到一般
第3步是总体结论，也不可缺少
=到n=1的证明中必须用到n=时所做的___________，否则就不是数学归纳法了3数学归纳法历史演变。