2013浙江省高等数学微积分竞赛(数学类)含答案

2013浙江省高等数学（微积分）竞赛试题数学类一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限()2221sin lim ln sin ln nn k k kn k k n n →+∞=-⎡⎤+--⎣⎦∑。

2．求异面面直线1:L 511431x y z --+==-与2224:292x y z L +--==-的公垂线L 的方程。

装订线3．求积分()()sin sin x a dx x b ++⎰,其中为,a b 常数。

4．设()cos xf x e x =，证明()()02n nn f x +∞=∑收敛并求和函数。

5．已知二元函数(),u x y 满足20u ux y y∂∂+=∂∂∂，且20,x uy ==1cos y ux ==，求(),u x y 的表达式。

二、（满分20）设()ln n n f x x x =，证明极限()11lim !n n n f n n →+∞⎛⎫⎪⎝⎭存在。

三、（满分20分）设f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，()()010f f ==，证明：() 0,1 x ∀∈()()()0,1 f f x ξξ'∃∈=。

四、（满分20分）证明：()()1 01x f x x αβαβ-=>>-在()0,1上严格单调增。

五、（满分20分）设数列{}n x 满足：11x =，()0,/2n x π∈，1sin cos n n n x x x +=，1,2,n = 证明：1）lim 0n n x →+∞= ；2）级数1nn x+∞=∑收敛。

2013浙江省高等数学（微积分）竞赛试题数学类参考答案一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限()2221sin lim ln sin ln nn k k kn k k n n →+∞=-⎡⎤+--⎣⎦∑。

解：记()ln(1)f x x x =+， 11,k k k x x n n -=∆= 1k k x ξ-<2s i n k k kx n-=< ()()22211sin ln sin ln nnk k k k k k n k k n f x n ξ==-⎡⎤+--=∆⎣⎦∑∑ 原极限10ln(1)x x dx =+=⎰210111ln 22214x dx x =-=+⎰ 2．求异面面直线1:L 511431x y z --+==-与2224:292x y z L +--==-的公垂线L 的方程。

解：{}1253,2,6l l ⨯=--，公垂线L 法矢量为l = {}3,2,6-过公垂线L 与1L 的平面1π，其法矢量为{}1116,27,17n l l =⨯=取1L 上点()15,1,1M -，则方程为 ()()()1652711710x y z -+-++= 即1π：16271790x y z ++=同理可得过公垂线L 与2L 的平面2π的方程为：5863120x y z ++= 所以公垂线L 的方程为162717905863120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩3．求积分()()sin sin x a dx x b ++⎰,其中为,a b 常数。

解：()()()()()sin sin cos cos sin x a x b a b x b a b +=+-++-()()()()()()sin cos cos sin sin sin x a x b dx a b x a b dx x b x b ++=-+-++⎰⎰ ()()()cos sin ln sin a b x a b x b c =-+-++4．设()cos xf x e x =，证明()()02n nn f x +∞=∑收敛并求和函数。

解：()()cos sin cos /4x xx f x e x e x x π'=-=+所以 ()()()cos /4nn x fx e x n π=+()()n nxfx e ≤ 所以()()02n xnn n f x +∞+∞==≤∑收敛。

且()()2n nn f x +∞=∑()()()/410Re Re 1cos sin x ix in x i x n e i e x x π+∞+=⎡⎤==+=-⎣⎦ 5．已知二元函数(),u x y 满足20u ux y y∂∂+=∂∂∂，且20,x uy ==1co s y ux ==求(),u x y 的表达式。

解： ()x u u c x += ()()()()xx x x x x eu u e c x e u e c x ⇒+=⇒=()()()()x x x e u e c x dx g y u f x e g y -⇒=+⇒=+⎰ ,f g 为为任意函数()()()()222000x uy f g y y g y y f ==⇒+=⇒=- 1cos y ux ==()()()()1cos cos 1x x f x e g x f x x e g --⇒+=⇒=-()()()()22cos 01cos 1x x x u x e y e f g x e y ---=+-+=+-二、（满分20）设()ln n n f x x x =，求()11lim()!n n n n f n →+∞解：()11ln n n n f x nx x x --'=+()()()()(1)1111(())ln (())1!n n n n n n n f x nx x x n f x n -----=+=+-()()()11111(())(())!1!n n n n f x f x n n n --=+-()121111ln 1!n nk k f x x k k=='=+=+∑∑ 记()()11!nn n n n x f =11ln nk n k ==-∑ 则11111ln01n n n n n x x dx n n n x ---=-=-<-⎰ 且111111111ln ln n k n n kk x x dx n dx n x n n n-+=>+-=+-=∑⎰⎰ 即{}n x 单调减有下界所以{}n x 收敛 所以()()11!lim n nn n n f c →+∞= 欧拉常数 三、（满分20分）设f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，()()010f f ==，证明：() 0,1 x ∀∈()()()0,1 f f x ξξ'∃∈=。

解：() 0,1 x ∀∈若 ()=0 f x 则由罗尔定理 ()()()0,1 0f f x ξξ'∃∈==若 ()0 f x ≠ 则考虑函数 ()()()g t f t tf x =-()()()()2110g x g x f x =--< 所以(),1 x η∃∈()0g η= 又()00g =所以 ()()0, 0g ξηξ'∃∈= 即()() 0f f x ξ'-=四、（满分20分）证明：()()1 01x f x xαβαβ-=>>-在()0,1上严格单调增。

解：()f x 严格单调增等价于()1 (=1)1t h t t λαλβ-=>-的严格单调增记()1g t t λ=- 则 ()2(1)0g t tλλλ-''=--< 从而 ()g t 是凸函数所以12 1t t ∀<< 2212112121111 0 011t t tt t t t λλλλ--=+⨯=>=>-- ()()()21121g t g t g λλ>+()21111t g t t -=- ()()212111g t g t t t ⇒>--()()12h t h t < 所以()f x 严格单调增。

五、（满分20分）设11x =，1sin cos n n n x x x += ()10,/2n x π+∈，证明： 1）lim 0n n x →+∞= 。

2）级数1nn x+∞=∑收敛解：由微分中值定理 得()0,1ξ∃∈ 使2sin1sin 0cos cos x ξ-==21x ξ⇒=< 一般地1sin sin0cos cos n n n n x x x x ξ+-==11n n x x ξ+⇒=<<3sin /6n n n x x x >- 24111cos 1/2/24n n n x x x +++<-+3/6n n x x ⇒-()24111/2/24n n n x x x ++<-+24211/12/3n n n x x x ++⇒-<因为1n x < 所以()()2222111111/121/12/32n n n n n n x x x x x x ++++-<-<⇒<1n n x -⇒≤ 所以1）lim 0n n x →+∞= 2）级数111n n n n x +∞+∞-==≤∑∑收敛。